离散傅里叶变换

yL [n] g[n]* h[n]
m


g[m ]h[n m ]
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列 表 法 计 算 圆 周 卷 积 ：
14
n: 0 1 2 3 —————————————————————— g[n]: 1 2 0 1 h[n]: 2 2 1 1 ——————————————————————
g[n n] ] 的长度为 N ， h [n ]的长度为 的长度为 N ， h[ n ]的长度为 MM (1)两个序列均延长至 两个序列均延长至 （ 1 ） LL （ NN MM 1 ） ( 2)做 做L L点的 点的 DFT ，得到 (K )和 K) DFT ，得到 GG (K )和 HH ( K() ( 3)Y Y( (K K)) G G K )H (K (( K )H (K )) (4)IDFT IDFT{{ Y(( K )} yC y[ [] n ] y L [ n] Y K )} n L
yL (n rN ) RN (n) r

40
41
yL[n] g[n] * h[n] {2,6,5,5,4,1,1} yC [n] g[n] 4 h[n] ？
2,6,5,5,4, 1, 1 N=4 2,6,5,5,4, 1, 1 取主值序列 2,6,5,5,4, 1, 1 N =4 得yC [n] N=4 2,6,5,5… {,6,7,6,5， 6,7,6,5， }
可以想象，如果对线性卷积的结果序列做
L点（L≥ N1+N2-1）的周期延拓（即L点循 环卷积）就不会有混叠。 此时，L点循环卷积与线性卷积相同。
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yL[n] g[n] * h[n] {2,6,5,5,4,1,1} yC [n] g[n] 7 h[n] ？L=4+4-1=7
mn N
x( n) IDFT X [ k m
WN e
2 j N

] N

4. 循环卷积定理
设有限长序列 x1(n) 和 x2(n) 的长度分别为 N1 和 N2，令 N = max (N1, N2)，取 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT分别为 X1(k) 和 X2(k)，
i f X (k ) X1 (k ) X 2 (k ) 频域相乘 N x (n) 时域循环卷积 x(n) x1 (n) 2
…5,4,1,1
N=4
什么时候 yC [n] yL [n]?
yC [n] yL[n]原因：移位相加时产生混叠!
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N点循环卷积是线性卷积以 N 为周期进行 周期延拓，然后取N点主值的结果。
长度为N1的序列 x1(n)
与长度为N2的序列 x2(n)，其线性卷积的结果 y1(n) 的长度为 N1+N2-1。
N 1
2 j nk N

0 k N 1, 0 n N 1
3
5.4.1 序列的圆周移位（循环移位）
（circular shift）

Mathematically, circular shift is defined as a modulo operation (求模运算):
其中： N 表示循环卷积。
34
35
X (ω) H (ω) Y (ω) y( n)
IDTFT
DTFT
x ( n)
DFT
h( n)
LTI
?
X (k ) H (k ) ? 循环卷积定理 IDFT N h( n) Y ( k ) yc ( n) x( n)
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用公式算，计算量大！
2、循环卷积（ circular convolutio n） 其中 g n、hn假设补 0至2 N 1点，第一个非 0值为
m 0

N 1
g mhn m 0 n 2 N 2
N 1
最后一个非 值为 y 2 N 2 g N 1 h N 1 y0 n g m h n m L C N
N点循环卷积是线性卷积以 N 为周期进 行周期延拓，然后取N点主值的结果。
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计算N点循环卷积的第二种做法：
1）计算两个有限长序列的线性卷积； 2）以要求的循环卷积点数为周期做周期延拓； 3）取主值区间的主值序列，即得两个有限长序 列的循环卷积的结果序列。
yC (n) g (n) N h(n)
7
5.4.2 序列的圆周卷积（循环卷积）
nh 为 设 g n 、 h 点长的序列 设 g [ n] 、 [nN ]为 N点长的序列，0 n N 1
1、 NN 点序列的线性卷积（ on ） 1、 点序列的线性卷积（linear linear converluti convolution ） yL n
第5章 离散傅立叶变换
5.1 引言（DFT/IDFT的定义） 5.2 DFT/IDFT的矩阵形式 5.3 DFT与DTFT之间的关系 5.4 有限长序列的圆周移位与圆周卷积 5.5 有限长序列的分类（略） 5.6 DFT的对称关系（略） 5.7 DFT的性质（若干定理） 5.8 傅立叶域滤波（了解） 5.10 利用DFT做线性卷积
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2. 反转特性（反转定理）
若x(n)的离散傅立叶变换DFT为X(k)，则
DFT [ x( N n)] X ( N k )
19
Hale Waihona Puke Baidu
3. 序列的循环移位特性
如有 f [n] x[ n m
] N
时域的循环移位对应频域有一相移：
F (k ) W
W
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mk N
X (k )
频域的循环移位对应时域的调制：
什么时候圆周卷积等于线性卷积？
=
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第5章 离散傅立叶变换
5.1 引言（DFT/IDFT的定义） 5.2 DFT/IDFT的矩阵形式 5.3 DFT与DTFT之间的关系 5.4 有限长序列的圆周移位与圆周卷积 5.5 有限长序列的分类 5.6 DFT的对称关系 5.7 DFT的性质（若干定理） 5.10 利用DFT做线性卷积
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5.7 DFT的性质（若干定理）
1. 线性定理
设 : DFT[ x( n)] X ( k )，N点长 DFT[ y( n)] Y ( k )，N点长
则: DFT [ax(n) by(n)] aX (k ) bY (k ), 0 k N 1
如果两个序列的长度不同，则短的序列 补零，使得两个序列长度相同即可。
其中： N 表示循环卷积。
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%用DFT实现N点圆周卷积
x = [1 1 1]; y = [2 3 4 5]; N = 5; XK = fft(x, N); %做DFT YK = fft(y, N); %做DFT f = ifft(XK .* YK); %做IDFT
22
例：
利用DFT计算两个序列 的4点循环卷积：
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一、问题的提出
循环卷积定理: 设有限长序列 x1(n) 和 x2(n) 的长度分别为 N1 和 N2，令 N = max (N1, N2)，取 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT分别为 X1(k) 和 X2(k)，
i f X (k ) X1 (k ) X 2 (k ) 频域相乘 N x (n) 时域循环卷积 x(n) x1 (n) 2
m 0
8


yC n gn N hn 矩阵形式
表示为
m 0
yC n gn N hn 阵形式 h N 1 h N 2 h1 g0 y C 0 h0 y 0 h1 g1 h 0 h N 1 h 2 C y C 0 h2 h1 h0 h3 g2 h N 1 hN 2 h N 3 h0 g N 1 y C 0 （循环矩阵， circulant matrix）
G( k ) g( n)e
n 0
N 1
j
2π nk N
23
24
G( k ) g( n)e
n 0
N 1
j
2π nk N
（同样的展开）
25
也可以用矩阵形式计算DFT：
26
27
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7 h[n] yc [n] g[n]
yL [n] g[n] h[n]
0
回顾：DTFT的时域卷积定理
y[n] x[n]* h[n]
1
5.4 有限长序列的圆周移位与圆周卷积
DFT的有些性质与DTFT相同，有些则不同； 不同点： （1）时移：圆周时移运算、圆周频移运算 （2）卷积：圆周卷积（循环卷积）

2
DFT
X ( k ) x ( n )e
n 0
y L ( n) x( n) h( n)
<--卷积 定理
后取主值序列的结果.
37
38
循环卷积与线性卷积的关系？
yC (n) g (n) N h(n) N点循环卷积 yL (n) g (n) h(n) 线性卷积 有：yC (n) yL (n rN ) RN (n) r
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DFT [a x(n) b y(n)] aX (k ) bY (k )
线 性 特 性 的 验 证 ：
x1 = rand(1,11); %生成序列x1 x2 = rand(1,11); %生成序列x2 alpha = 2.0; beta = 3.0; XK1 = fft(x1); %序列x1的DFT XK2 = fft(x2); %序列x2的DFT X12 = alpha*XK1 + beta*XK2; xn = alpha*x1 + beta*x2; %序列的组合 XK = fft(xn); %组合序列的DFT error = max(abs(XK-X12)); %校验
示为
矩阵中的每一行，是将上一行向右圆周移 动1个位置而得到。
9
10
11
yL[n] g[n]* h[n] {2,6,5,5,4,1,1} yC [n] yL[n] 在某些条件下 yC [n] y L [n]
12
yC [n] {6,7,6,5}
列表法计算线性卷积：
ere
m
N
m mod N , 0 m
N
N 1
（求最小的正余数）
e.g. if N 7 ,
25
N
4,
16
N
5 5
4
5
n0 1
x[n 1]
x[ n 1 4 ]
6
xc[n]n=0 = x[<n-n0>N] = x[<0-1>6] = x[<-1>6] = x[5]
45
46
% Linear Convolution Via the DFT x = [1,2,0,1]; h = [2,2,1,1]; L = length(x)+length(h)-1; XE = fft(x, L); HE = fft(h, L); XHE = XE .* HE; y1 = ifft(XHE); n = 0:L-1; subplot(2,1,1) stem(n,y1) xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); title('Result of DFT-based linear convolution') y2 = conv(x,h); error = y1-y2; %两种方法得到的结果是否相同? subplot(2,1,2) stem(n,error) xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude') title('Error sequence')
N=7 2,6,5,5,4, 1, 1 取主值序列 2,6,5,5,4, 1, 1
得yC [n]
N=7
2,6,5,5,4, 1, 1
...2,6,5,5,4, 1, 1,2,6,5,5,4, 1, 1,2,6,5,5,4, 1, 1
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yC [n] yL[n]
利用DFT计算线性卷积 yL(n)=g(n)*h(n) 的步骤：
1*2=2 1*2=2 0*1=0 2*1=2 2*2=4 1*2=2 1*1=1 0*1=0 0*2=0 2*2=4 1*1=1 1*1=1 1*2=2 0*2=0 2*1=2 1*1=1
——————————————————————
yc[n]:
15
6
7
6
5
第5章 离散傅立叶变换
5.1 引言（DFT/IDFT的定义） 5.2 DFT/IDFT的矩阵形式 5.3 DFT与DTFT之间的关系 5.4 有限长序列的圆周移位与圆周卷积 5.5 有限长序列的分类（略） 5.6 DFT的对称关系（略） 5.7 DFT的性质（若干定理） 5.8 傅立叶域滤波（了解） 5.10 利用DFT做线性卷积