第16章《 二次根式》单元复习课件

2、利用二次根式的非负性化简或计算.
二次根式 a (a≥0)是一个非负数，a也 是非负数. 因此，我们可以利用二次根式的 两个非负性来建立数学模型，若式子中含 有多个二次根式，则字母的取值应确保二 次根式中的被开方数都是非负数，最后利 用非负性来建立方程或不等式（组），从 而使问题获得解决.
计算：⑴ 2 ＋ 8
⑵ ( 24 － 0.5 ＋2 ⑶ 2 )－ ( 3 1 － 6) 8 1 ＋ 8 － 2 ＋1 2 －1
1、先将二次根式化成最简二 次根式，再合并同类二次根式.
2、在进行二次根式的加减运算 时，整式加减运算中的运算律及去 括号、添括号法则仍适用.
解：⑴
2 ＋ 8 ＝ 2 ＋2 2 ＝3 2
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
1
化简二次根式的条件： ⑴ 被开方数不含分母； ⑵ 被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式. 化简二次根式的方法：
⑴ 将被开方数中能开得尽方的因数或 因式进行开方； ⑵ 化去根号下的分母； ⑶ 被开方数是多项式时要先因式分解.
⑴ 求差法：
设a、b为任意两个实数，先求出a与b的 差，再根据“当a－b＜0时，a＜b；当a－ b＝0时，a＝b；当a－b＞0时，a＞b”来 比较a与b的大小.
⑷ 移动因式法：
当a＞0、b＞0时，若要比较形如 a c 与 b d 两数的大小，可先把根号外的正因数 a与b平方后移入根号内，再根据被开方 数的大小进行比较.
比较下列各式的大小：
⑴ 5－ 3 与2＋ 3 ⑶ 3 7 与2 15
7 5 ⑵ 与 2 5
⑴ 可选用求差的方法进行比较；⑵ 可选用求商的方法进行比较；⑶可选用移 动因式的方法进行比较.
分母有理化：
⑴ 7 5 ⑵ 1 2 5 2 ⑶ 3＋ 5
利用分数的基本性质，将分子、 分母同时乘以分母的有理化因式， 使原数的分母中不再带有根号.
解： 7 7× 5 35 ⑴ ＝ ＝ 5 5 5× 5
1× 5 5 ⑵ ＝ ＝ 2 5 2 5× 5 10
2 2×(3－ 5) ⑶ ＝ 3＋ 5 (3＋ 5)(3－ 5) 2×(3－ 5) ＝ 3² －( 5)² 3－ 5 ＝ 2
⑷ ＝ 5 3 × 1.8× 3 25 5 3 5 9 3 ×1.8× ＝ × × ＝ 3 25 3 5 25
9 3 ＝ 25 5
a ＝ b
a (a≥0，b＞0) b
两个二次根式相除，等于把被开 方数相除，作为商的被开方数
a a ＝ (a≥0，b＞0) b b
商的算术平方根等于分子的算术 平方根除以分母的算术平方根的商。
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
( a )2＝a(a≥0)，即非负数的算术平
方根的平方等于它本身.
⑴ a ≥0(a≥0) 具有双重非负性： ① a≥0；② a ≥0. ⑵ ( a )2＝a(a≥0) 是逆用：a＝( a )2 (a≥0)，可以利用此公式把一个非负数写 成它的算术平方根的平方的形式.如： 2 2 2 6＝( 6) ， ＝ 等. 3 3 ⑶ 易错点：在运用性质 1 时，容易忽略 a≥0 这一限制条件，导致类似( －3)² ＝－3的错误.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
确定二次根式中字母的取值范围， 关键是根据二次根式的被开方数是非 负数，建立关于被开方数（式）的不 等式（组），通过解不等式（组）确 定字母的取值范围.
例 1 ：当 x 取何值时，下列各式 有意义？
⑴ 5－2x ⑶ x＋3 － 1－2x ⑵ (3x－1)² 3 ⑷ ＋ x＋4 x－2
解决这类问题，既要考虑到二次根 式有意义的条件，即被开方数是非负数， 又要考虑到分式有意义的条件，即分母 不为零.把所有的条件都列成式子，组成 不等式（组），解之即可.
⑶ 易错点：在运用性质 2 时，容易 产生 a 是正数的思维定式，从而出现 形如 (－ 3)² ＝－ 3 的错误 .
先化简再求值：
4x² －36x＋81 ，其中 x＝ 5.
首先利用二次根式的性质将已知 式子进行化简，脱去根号后，再把 x 的值代入求值.
解： 4x² －36x＋81 ＝ (2x－9)² ＝ 2x－9 当 x＝ 5 时， 2x－9 ＝ 2× 5 －9 ＝ 2 5 －9 ＝9－2 5
2 1 ⑵ ( 24 － 0.5 ＋2 )－ ( － 6) 3 8 1 2 1 ＝(2 6 － 2 ＋ 6)－( 2 － 6) 2 3 4 1 2 1 ＝2 6 － 2 ＋ 6 － 2 ＋ 6 2 3 4 2 1 1 11 3 ＝(2＋ ＋1) 6 ＋(－ － ) 2 ＝ 6－ 2 3 2 4 3 4 1 ⑶ ＋ 8 － 2 ＋1 2 －1 1× ( 2 ＋1) ＝ ＋2 2 － 2 ＋1 ( 2 －1)( 2 ＋1) ＝ 2 ＋1＋2 2 － 2 ＋1＝2 2 ＋2
计算：
⑴ 5× 15 2 ⑶ 6×(－9 3) 3
二次根式 的乘法
⑵ 3 6×2 18 5 3 ⑷ × 1.8× 3 25
化为最 简形式
被开方数相 乘 根指数不变
解： ⑴ 5× 15 ＝ 5×15 ＝ 25×3 ＝5 3
⑵ 3 6×2 18 ＝(3×2) 6×18 ＝6 36×3 ＝36 3 2 ⑶ 6×(－9 3) 3 2 ＝ ×(－9) 6×3 ＝－6 9×2 ＝－18 2 3
解： ⑴ ∵ (5－ 3)－(2＋ 3) ＝3－2 3 ＝ 9 － 12 ＜0 5－ 3 ＜2＋ 3
7 5 ⑵∵ ＞0， ＞0 2 5 7 5 2 7 且 ÷ ＝ ＞0 2 5 5 7 5 ＞ 2 5
( )( )
⑶ ∵ 3 7 ＝ 63 ，2 15 ＝ 60 而 63 ＞ 60 3 7 ＞2 15
3. a≥0 在二次根式概念中必不可少， 因此，对于一些式子，只有在一定的 条件下才是二次根式.如 只有在 x＋ 5 x≥－5 时，才是二次根式.
分别指出下列根式是不是二次根式： 3 2 ⑴ －7 ⑵ (－5)² ⑶ 7 ⑷ 2＋a2 ⑸ －2a2－1 ⑹ m2－2m＋1
二次根式必须满足的条件：⑴ 有 二次根号；⑵ 被开方数大于或等于零. 解：⑴ ⑶ ⑸ 不是二次根式； ⑵ ⑷ ⑹ 是二次根式.
⑴ 公式中，a 必须是非负数，b 必须是
正数，式子才成立.如果 a、b 都是负数， a a 虽然 ＞0， 有意义，但 a ， b 在实 b b 数范围内无意义. ⑵ 二次根式的运算结果要化到最简，分 母中不能带根号. ⑶ 如果被开方数是带分数，应先将其化 成假分数.
计算：
⑴ 32÷ 8 ⑵－ 27 ÷ 6 ห้องสมุดไป่ตู้ 12
⑵ 求商法：
如果a、b都是正实数，若 a ＞1，则a＞ a a b b；若 ＞1，则a＞b；若 ＞1，则a＞b. b b
⑶ 平方法：
先将两个根式各自平方，然后比较平 方后的大小，再说明原数的大小，即若a ＞0，b＞0，且a² ＞ b² ，则a＞b；若a＜0， b＜0，且a² ＞ b² ，则a＜b.
5 解：⑴ 当5－2x≥0，即x≤ 时， 5－2x 有意义. 2 ⑵ ∵ x取任意实数时，均有(3x－1)² ≥0 当x取任意实数时， (3x－1)² 均有意义. 1 ⑶ 由x＋3≥0且1－2x≥0，得－3≤x≤ 2 1 当－3≤x≤ 时， x＋3 － 1－2x 有意义. 2 3 ⑷ 由分式 有意义，得x－2≠0，解得x≠2； x－2 由二次根式 x＋4 有意义，得x＋4≥0，解得 x≥－4. 3 当x≥－4且x≠2时， ＋ x＋4 有意义. x－2
利用二次根式除法法则进行计 算，被开方数相除时可以用除以一 个数（不为零）等于乘以这个数的 倒数这个性质约分化简.
解： ⑴ 32÷ 8 ＝
27 ÷ 6
32 ＝ 4 ＝2 8
9 ＝－ 12 ＝－ ＝－ 6 27 9 ÷ 6 12 27 12 × 6 9
⑵－
二次根式的除法运算，通常采 用分子、分母同乘以一个式子化去 分母中的根号的方法来进行，这种 把分母中的根号化去的变形，叫做 分母有理化. 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式. 如： 2 3与 3 ，( 6 ＋ 5 )与( 6 － 5).
二次根式混合运算顺序和有理数 （式）的运算顺序相同，即先算乘方， 再算乘除，最后算加减，有括号的先算 括号内的.
⑴ 二次根式的和相乘，与多项式乘法 类似，并且乘法公式仍然适用； ⑵ 运算结果如果是二次根式，要化为 最简二次根式； ⑶ 在进行二次根式的运算时，能用乘 法公式的，要尽量使用乘法公式，这样 可以使计算过程简化.
4 ＝9× ＝4 9
⑶ (－ 2.7)² ＝(－1)² ×( 2.7)² ＝2.7
⑷ (－2 5)² ＝(－2)² × ( 5)² ＝4× 5＝20
a ＝a＝
2
a（a≥0）
－a（a＜0）
⑴ 在化简 a2 时，首先一定要弄清 楚 a 是非负数还是负数，若 a 是非负 数，则 a2 ＝ a；若 a 是负数，则 a² ＝ － a. ⑵ a² 表示 a² 的算术平方根，在这 个式子中， a 的取值不仅可以是非负 数，也可以是负数，因为任何数的平 方都是非负数，即 a² ≥ 0，所以无论 a 取何值，二次根式 a² 都有意义 .
⑵ (4 6 －3 2)÷ 2 2 3 ＝4 6÷ 2 2 －3 2÷ 2 2 ＝2 3 － 2 ⑶ ( 10 ＋ 7)( 10 － 7) ＝( 10)² －( 7)² ＝10－7＝3
⑷ ( 6 －2)² ＋ 12÷ 2 ＝( 6)² －4 6 ＋4＋ 6 ＝10－3 6
1、利用二次根式的定义求所含 字母的取值范围.
计算：
⑴ ( 6 ＋ 8)× 3 ⑵ (4 6 －3 2)÷2 2 ⑶ ( 10 ＋ 7)( 10 － 7) ⑷ ( 6 －2)² ＋ 12÷ 2
二次根式的运算规律与整式的运算规 律相同，且多项式乘法法则和乘法公式仍 然适用.注意将结果化为最简二次根式.
解：⑴ ( 6 ＋ 8)× 3 ＝ 6× 3 ＋ 8× 3 ＝ 18 ＋ 24 ＝3 2 ＋2 6
a b ab
(a≥0，b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方 数积的算术平方根
ab a b (a≥0，b≥0)
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
⑴ a≥0，b≥0是公式成立的前提条件， 如果不满足这个条件，等式的左端就没有 意义，等式也就不能成立了。 如： －3 · －5 ≠ (－3)× (－5) ⑵ 在涉及二次根式运算时，如果没有特 别说明，被开方数都是非负数. ⑶ 公式中的 a、b 既可以是数，也可以 是代数式，但都必须是非负的. ⑷ 当二次根式前面有系数时，可类比单 项式乘以单项式的法则进行运算，即系数 之积作为系数，被开方数之积作为被开方 数. ⑸ 二次根式乘法运算的结果必须化成最 简形式.