(完整word版)对数与对数运算知识点及例题解析

对数与对数运算知识点及例题解析

1、对数的定义

①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .

3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N

4、对数的性质:

(1)log 10,

log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．

5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N

-= ③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈ ⑤log a m M n ＝n m log a M .

⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且 特殊情形：log a b ＝

1

log b a

，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

类型一、指数式与对数式互化及其应用

例1、将下列指数式与对数式互化：

（1）；(2)；(3)

；(4)；(5)；(6).

思路点拨：运用对数的定义进行互化.

解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

例2、求下列各式中x 的值：

(1) (2) (3)lg100=x (4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：(1)

；

(2)

；

(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由

例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于()

A.9

4 B.

5

4 C.

10

3 D.

4

3

解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝

3

3，所以(2

x－2－x)2＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

23

3

2＝

4

3.

类型二、利用对数恒等式化简求值

例4、求值：解：.

总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数

例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解：.

类型三、积、商、幂的对数

例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b

（2）原式=lg26=6lg2=6a

（3）原式=lg2+lg3=a+b

（4）原式=lg22+lg3=2a+b

（5）原式=1-lg2=1-a

（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

例7、(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

例8、已知3a=5b=c，，求c的值.

解：由3a=c得：

同理可得

.

例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.

证明：

.

例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.

证明：∵ a2+b2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，∵ a>0，b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即.

类型四、换底公式的运用

例11、(1)已知log x y=a，用a表示；

(2)已知log a x=m， log b x=n， log c x=p，求log abc x.

解：(1)原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.

方法一：a m=x， b n=x， c p=x

，

；

方法二：.

例12、求值：(1)；(2)；(3).解：

(1)

（2）；

（3)法一：

法二：.

总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

例13、求值

(1) log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

例14、已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?

解：∵∴，