数学物理方程数学物理第一章PPT课件

联系着相应的物理模型 进行的，所以19世纪偏微分方程的内容
也称为数学物理方程 .
19世纪打开偏微分方程研 究热烈局面的第一人是 Fourier。
当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部 各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴
趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。
2u t 2
a
2
2u x 2
称作振动方程
例4 描述梁的横振动时其位 移u( x,t)所满足的方程
2u a2 4u f (x,t)
t 2
x 4
例5 描述静电、磁场的力函 数u和位函数v所满足的方程
u x
v y
0
v x
u y
0
二、数学物理方程的起源
偏微分方程诞生于18世纪。19、20世纪是其迅速发展时期.
法国数学家、物理学家 首先给出弦振动方程（1747年）：
2u a2 2u
twenku.baidu.com2
x 2
2u 2u 2u x 2 y 2 z 2 0
2u t 2
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
并给出其解：u( x,t) 1 [ (at x) (at x)]
2
这引起伯努利家族、欧 拉等人对弦振动的深入 研究。
u t
a
2
2u x 2
,
并创立了所谓的分离变 量法！他的研究是沿用18世纪数学物理界流行的
“形式”风气进行的.却在理论上因为缺乏严 格性而遭到质疑 .
Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的 形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条
件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.
柯西（法1789-1857） 黎曼（德1826-1866）
二、 关于偏微分方程的基本概念
1.1.方程的阶
包含在偏微分方程中的 未知函数的偏导数的最 高阶数.
2u a2 2u
t 2
x 2
2u a2 4u
t 2
x 4
u x
v y
0
v x
u y
0
二阶偏微分方程 四阶偏微分方程
一阶偏微分方程组
1.2 线性微分方程
出现在偏微分方程中的 未知函数和其偏导数都 是线性的.
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2 )
f
( x,
y, z, t )
2u t 2
a
2
2u x 2
线性的
否则成为非线性的，如 u u xt u 0 一阶非线性
1.3半
线性微u分方cu程u、拟线3u性t 方0 程
x 半线性偏微分方程
§1绪论
一、本课程的研究对象
数学物理方程是以物理 理论和实际问题为研究 基础和背景
研究方法是数学分析， 工具是偏微分方程理论 .
本课程主要内容：介绍 三种典型物理方程的求 解方法.
我们把描述物理现象的 偏微分方程称作数学物 理方程.
什么是偏微分方程？
含有未知多元函数及其 偏导数的等式称作偏微 分方程.
例1 u( x, y, z,t)描述某一物体在某一时 刻其内部某一点处温度
u a 2 ( 2u 2u 2u) f ( x, y, z,t) 热传导方程
t
x 2 y 2 z 2
例2
2u 2u 2u x 2 y2 z 2 0
称作拉普拉斯方程
例3 描述弦（杆）振动时其 位移u( x,t)所满足的方程
19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家 Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼..
这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容
2u a 2 2u (达朗贝尔的弦振动方程 ）
t 2
x 2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
（0 laplace的位势方程）
1752年欧拉在论文中首次出 现位势方程！后来因为 拉普拉斯的
出色工作，称作拉普拉 斯方程. 1759年欧拉在在研究矩形鼓 和球面波时建立了二维 、三维波动方程
到了19世纪随着物理科学发展的不断深入方展，作为其数学模型 的偏微分方程，空前繁 荣起来.众多数学家系统地研究 各类偏微分
方程古典解的存在唯一 性和求解方法。这些研 究方法大多都
u t
a
2
x2u2（Fourier的热传导方程）
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
欧拉 - -球面波研究先驱
数学物理方程中的著名数学家物理学家
位势方程的研究者拉普拉斯 （法1749-1827）
傅立叶（法1768----1830）--热传 导方程的研究先驱
§1绪论
• 数学物理方程是数学建模的最好例证，从 中我们可以学习如何将一个实际问题通过 适当的简化和假设，用适当的数学结构来 表示，即如何建立一个实际问题的数学模 型，然后求解该模型，模型的解能否解释 实际问题的现象。也就是说求得的解是否 能够描述实际问题，这要通过物理实验来 验证。这一过程就是科学研究所需要的或 者说必经的过程。我们从所学的三类方程 中可以看到数学的抽象性而决定的数学模 型应用的广泛性，经典方程的经典解法具 有的一般性和普适性。
偏分方程中t所有最x 高阶x3偏导数都是线性的，而 其系数
不如含果有其未系vutt知数 vv函含xvux数有及未cuu2其知xvux低函0阶0数偏及拟导其线数低性,阶一称偏阶作导偏半微数线分，性方则的程称；组作拟线性的
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式
一阶线性偏微分方程的一般表达形式
a(x, y) u b(x, y) u c(x, y)u f (x, y)
x
y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u
2u
2u
A(x, y) x2 2B(x, y) xy C(x, y) y2
D(x, y) u E(x, y) u F (x, y)u G(x, y) 0
x
y
1.4非齐次、齐次偏微分方程
在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作 非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作
齐次方程。 非齐次二阶三维线性微 分方程
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2 )
f
( x,
y, z, t )
F非齐次项
2u a2(2u 2u)
t 2
x 2 y 2
齐次二阶二维线性微分 方程
维数是指所研究的物理 对象所展布的空间维数 。
1.5偏微分方程的古典解
m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶连续偏导数 的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。