非线性时滞系统的随机稳定化

非线性时滞系统的随机稳定化

夏方;兰光强

【摘要】Stochastic stabilization for nonlinear systems with time delay is discussed in this paper.For a given nonlinear system with time

delay,introducing a stochastic noise can afford a new nonlinear stochastic differential system with time delay.Moreover,the new system has a unique global solution for any initial value under certain conditions,and the exact solution shows almost sure stability with a general decay rate.%本文讨论非线性时滞系统的随机稳定化问题.对于给定的非线性时滞系统,通过引入一个随机噪音项,可得到一个新的非线性随机时滞系统.在给定条件下,对于任意给定初值,可保证该非线性随机时滞系统具有唯一整体解,且该精确解以一般衰减速度几乎处处稳定.【期刊名称】《北京化工大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2017(044)004

【总页数】5页(P124-128)

【关键词】随机时滞系统;稳定化;指数鞅不等式;几乎处处稳定性;一般衰减速度【作者】夏方;兰光强

【作者单位】北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京100029

【正文语种】中文

【中图分类】O211.6

通常情况下，随机噪音对系统的稳定性有一定影响，有些不稳定的常微分系统在加入随机噪音后会变得稳定，因此许多学者开始研究随机噪音稳定化理论。Khasminskii[1]在随机噪音稳定化方面的研究结果具有开创性意义，他通过增加两个随机噪音项使得二维线性的不稳定系统达到稳定。此后，与其相关的部分问题也陆续地得到了解决。Mao[2-3]选用布朗运动作为随机因素，对随机微分方程的稳

定性进行了详细的介绍，并建立了随机稳定化的一般理论；Caraballo等[4]研究

了随机微分方程一般衰减速度的几乎处处稳定性以及确定的偏微分系统的稳定化问题；Wu等 [5-6]分别研究带有两个随机项的非线性系统和非线性时滞系统的正则

化(suppression)和稳定化问题，加入的两个独立的随机项中，一项保证整体解的

存在性，另一项保证系统的稳定性。

上述研究都对漂移项系数有着严格的增长性限制。针对这一问题，Li等[7]研究了

在更为一般的增长条件下非线性系统的超指数以及一般衰减速度的几乎处处稳定问题，却没有考虑相应的时滞系统的稳定性。基于此，本文考虑非线性时滞系统的稳定化问题，并建立随机时滞系统以一般衰减速度几乎处处稳定的判定定理，来解决时滞系统的稳定化问题。

设(Ω,F,P)为完备的概率空间，且带有满足通常条件的子流{Ft}t≥0，即{Ft}t≥0是右连续的且F0包含所有的零测集。令n,m∈,对任意给定的τ>0,([-τ,0];n)表示从[-τ，0]到n的连续函数的集合，且范数为|·|表示n中的欧氏范数；([-τ,0];n)表示几乎所有有界的F0可测的函数族。若x(t)表示在t≥0上连续的n值的随机过程，则

Xt={x(t+s):-τ≤s≤0}(t≥0)是属于([-τ,0];n)的随机过程。

考虑以下随机时滞微分系统

dx(t)=f(x(t),x(t-τ),t)dt+g(x(t),x(t-τ),t)dB(t)

其中x(t)=[x1(t),…,xn(t)]T∈n，且定义初值为n)；B(t)是定义在空间(Ω,F,P)上的

m维的布朗运动；漂移项系数f:n×n×+→n和扩散项系数g:n×n×+→n×m均为

连续函数，且满足f(0,0,t)≡0,g(0,0,t)≡0。显然，式(1)有平凡解x(t)≡0。

为保证式(1)解的存在唯一性，给定如下的局部Lipschitz条件：

假设1 对任意T≥0和任意k∈+，存在正常量Ck,T>0，使得

|f(x,y,t)-f(x′,y′,t)|∨|g(x,y,t)-g(x′,y′,t)|≤Ck,T(|x-x′|+|y-y′|)

对任意0≤t≤T和|x|∨|x′|∨|y|∨|y′|≤k成立，其中a∨b表示max {a,b}。

引理1[8] 若假设1成立，则对任意初值n))，式(1)在t∈[0,τe)上有唯一的最大局

部强解。其中τe是解的爆炸时间，即τe=inf {t≥0,|x(t)|=∞}。

下面给出几乎处处稳定性的定义。

定义1 设函数λ(t)∈(+;+)单调递增，且满足t→∞时，λ(t)→∞，若式(3)

a.s.

对任意初值([-τ,0];n)均成立，则称式(1)(或式(1)的平凡解)以一般衰减速度λ(t)几乎处处稳定，阶为γ。

考虑非线性系统：

dx(t)=f(x(t),x(t-τ),t)dt

其中x∈n且初值x0=ξ∈C([-τ,0];n)，f:n×n×+→n是连续函数，满足条件

f(0,0,t)≡0。

假设时滞微分系统式(4)是不稳定的，则需要引入合适的随机噪音使其稳定。

2.1 非线性随机时滞系统的构造

首先，给定一元函数h∈(+;+) 和n元函数γ,δ∈(n;+)。为研究式(4)的稳定化问题，对f施加以下假设条件：

假设2 存在未知常数θ>0，使得式(5)

xTf(x,y,t)≤θh(t)(γ(x)+δ(y))|x|2

对于任意的t>0和x,y∈n成立。

当式(5)成立时，式(4)包含文献[7]中定义的“serious parameter unknowns”(重