关于泊松分布及其应用

关于泊松分布及其应用
论文提要：
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。

服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。

并且在某些函数关系起着一种重要作用。

例如线性的、指数的、三角函数的等等。

同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。

泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。

为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。

本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。

关键词泊松过程泊松分布应用
摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数
学模型, 它具有很多性质。

研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期
望; 方差
一、 泊松分布的概念：
定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且
{}0,,2,1,0,!
>===-λλ
k e k x k X P k 为常数。

则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。

定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。

主要结论：
定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。

证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。

设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,!
k} X P{>===-λλλ e k k
则()()λλλλλλλλ
λ
=⋅=-==-
∞
=--∞
=-∑∑
e e k e
k e k X E k k k k
11
0!1!
从而()()()
λλλλλλλ
λ
+=-+-==-∞
=-∞
=--∞
=∑
∑
∑212
2
2
2
!1!2!
e k e k e
k k
X
E k k
k k k k
故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==
定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为
{}n k p p C k x P k n n k
n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞
→==e k k x P k
n n !
lim。

证明 由λ=n np 得:
{}()()n n
k
n k
k
n k
n n n k n n k n n k k n n n k x P ⋅--⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯=
⎪
⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==λλλλ11121111!1!11
显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。

当k ≥1 且k → ∞时,有
λλ-⋅-→⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯e n n k n n n n
k
n 1,11121111
从而{}λ
λ-→
=e k k x P k
n 1
，故{}λλ-∞
→=
=e k k x P k
n n !
lim 。

定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:
dt e
x p P x
t ⎰
∞
--
∞
→=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<-2
221lim π
λ
λ
λλ
证明 已知ελ的特征函数为()()1
-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函数为:
()1
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Φ=-λλλλλλit
e
t
t
e e
t t g
对任意的t ,有()∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=λλολλλ
1!212t it
e
it。

于是()∞→-→⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-λλολλλλ
212122t t t i e it。

从而对任意的点列∞→n λ,有()2
2lim t e t g n
n
-
∞
→=λλ。

但是2
2t e
-
是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于
分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x)
的特征函数Φ( t)。

所以dt e
x P x
t n n n n ⎰
∞
--
∞→-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-2
2
21lim πλλελλ成立;又因为
n λ是可以任意选取的,这就意味着dt e
x p P x
t ⎰∞
--
∞
→=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<-2
221
lim π
λλλλ成立。

二、 计数过程为广义的泊松过程
1.计数过程
设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。

将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。

“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

2.泊松过程
计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =;
(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1∆+∆==∆+=∆+λ其中常数0>λ,称为过程)(t N 的强度。

(4)对于充分小的Δt
(){}()t j t t t N P t t t P j j j ∆==∆+=∆+∑∑∞
=∞=ο2
2
,),(
亦即对于充分小的t ∆,在()t t t ∆+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。

了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔
内出现质点数目的计数。

三、 泊松分布及泊松分布增量
1.泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流) 。

例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率
(1)泊松分布的概率:
对泊松流,在任意时间间隔(0, t)内,事件出现的次数服从参数为λt 的泊松分布,λ称为泊松流的强度。

设随机变量X 所有可能取的值为0, 1, 2, ⋯,且概率分布为:
2 1, 0, k ,!
e
k) (X P k
-===k λλ
其中0>λ是常数,则称X 服从参数为λ的泊
松分布,记作X ～P (λ)。

(2)泊过分布增量的概率:
2 1, 0, k , t t ,e !
] ) t - t ([ }k t), t ( {N P t), t ( P 0)
t - t (-k 000k 0=>===λλk
由上式易知增量) t ( N - t)( N t), t ( N 00=的概率分布是参数=) t - t (0λ的
泊松分布,且只与时间0t t -有关。

3.泊松分布的期望和方差：
由泊松分布知) t - t ( ] ) t ( N - t)( [N D ] ) t ( N - t)( E[N 0 00λ==
特别地,令00=t ,由于假设N (0) = 0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：
t, ] t)( [N D ,t ] t)( E[N λλ==
泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。

即对泊松分布有:λ== (X) D (X) E
四、 泊松分布的特征
(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。

要观察到这类
事件,样本含量n 必须很大。

(2) λ是泊松分布所依赖的唯一参数。

λ值愈小,分布愈偏倚,随着λ的增大,分布趋于对称。

(3)当λ= 20时分布泊松分布接近于正态分布;当λ= 50时,可以认为泊松分布呈正态分布。

在实际工作中,当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

五、 泊松分布的应用
1) 二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中事件出现的概率p 很小,而贝努里试验的次数n 很大时,事件发生的概率。

例1 通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p = 0.0001 ,假设在某路段时间内有1000 辆汽车通过此路口,试求在此时间内发生事故次数X 的概率分布和发生2次以上事故的概率。

分析 首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件,观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否,可视为是n = 1000次伯努里试验,出现事故的概率为p = 0.0001 ,因此X 是服从二项分布的,即,0.0001) B(1000~X 。

)0.9999 0.0001 1000 - 0.9999 - 1 1 x p{ - 0 x p{ - 1 2 x ( p Q 9991000⨯⨯=}=}==}≥= 由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子计算工作量很大,则可以用:
n) , , ,1 0 m ( e m !
np
p) - (1p C m } v p{np -m m
-n m n
m n
n =≈== 求近似.注意到0.1 .000101000 np =⨯=,故有 0.0045 e 1!
0.1- e !01.0- 1 2 x p{0.1
-0.1 -0==}≥.
2) 泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。

这里的
频数指在相同条件下, 进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发生的次数。

例2 已知患色盲者占0.25 %,试求: ①为发现一例色盲者至少要检查25人的概率; ②为使发现色盲者的概率不小于0.9 ,至少要对多少人的辨色力进行检查?
分析 设X 表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则
G(0.0025) ~ X 。

解 ()
()()94.09975.01p -1p 25 x p{24
24
25
25
k ≈=-==}≥-∞
=∑p k
设至少对n 个人的辨色能力进行检查,于是p{ x ≤n}≥0.9。

从而: ()
()
()n
k n k k p p p --=--
==≤-∞
+=-∞
=∑∑1111p -1p n} x p{1
1
1
1k
由0.9 p) - (1 - 1n ≥,得8827.9199975
.0lg 1
.0lg =≥n .因此至少要检查920人。

参考文献
[ 1 ]魏宗舒等. 概率论与数理统计教程[M ]. 高等教育出版社. 1983. 10.
[ 2 ]复旦大学编. 概率论(第一册) . 概率论基础[M ]. 人民教育出版 社. 1979.
[ 3 ]王梓坤. 概率论基础及应用[M ]. 科学出版社1976. 9.
[ 4 ] 潘孝瑞, 邓集贤1 概率引论及数理统计应用[M] 1 北京: 高等教
育出版社, 19861。