对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线
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L P(x, y)dx Q(x, y)dy
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
对有向曲线曲线 L, 规定L 上任一点 x, y 处的切向
量的方向与曲线的方向一致（见下图）.
z
AB
A
r t
B
O
y
x
例8.7 设有向曲线 y x2 x : 0 1, 求任意一点处
的单位位切向量. 解 按以上对有向曲线切向量的方向的规定, 从图上可 以看出, 此曲线在任意点处的切向量为
这种合并起来的形式. 为简单起见, 记为
L P(x, y)dx Q(x, y)dy.
由此, 变力沿曲线做的功可写成
W L P(x, y)dx Q(x, y)dy.
（8.6）
如果曲线L是分段光滑的, 则规定函数在 L 上对坐标
的曲线积分等于在光滑的各弧段上对坐标的曲线积分的 和.
当P(x, y),Q(x, y)连续时, 对坐标的曲线积分
y)dy
lim
0
i1
Q i
,i
yi .
（ 8.5）
其中P(x, y),Q(x, y)称为被积函数, P(x, y)dx及
Q(x, y)dy 称为被积表达式, L称为（有向）积分弧,
dx,dy 称为有向弧L的投影元素.
在应用中经常出现
L P(x, y)dx LQ(x, y)dy
这种和式的极限在研究其它问题时也会经常遇到. 我 们引入下述定义.
3.第二类曲线积分的定义
定义8.2 设L是 xOy平面上从点 A到点B 的一条光滑的
有向曲线弧, 函数P(x, y),Q(x, y)在L上有界, 沿 L的
方向依次取分点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1, M n B,
例如对单位圆C : x cost, y sin t. 若规定其方向
为逆时针方向（即当参数t 由 0变为 2 时曲线上动点
x, y 的移动方向）, 则 C就成为一条有向曲线.
对非封闭曲线弧 L, 如果规定它的两个端点中的一个 （记作 A）为起点, 另一个（记作B ）为终点, 此时有 向曲线 L为 AB.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
点 i ,i 处的力来近似代替, 即在Mi1Mi 上有
F x, y F i ,i Pi ,i i Qi ,i j,
于是变力沿有向小弧段 M M i1 i 所
1,2x,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
动过程中, 质点受到力
F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j
的作用, 其中P x, y,Q x, y为 L 上的连续函数, 求
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
由于 Mi1Mi 光滑且很短, 可以用
M
i
为
y
xi , yi
.
yi
有向线段 Mi1Mi xii yi j
L i,i Mi M i1
B Mn
来近似代替. 其中xi xi xi1
M1
xi
是向量Mi1Mi 在 x 轴上的投影,
A M0
O
x
yi yi yi1是向量Mi1Mi在y轴上的投影. 因函数
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
P(x, y)dx 和 Q(x, y)dy.
L
L
总存在（以下总假定 ห้องสมุดไป่ตู้,Q 在 L上连续）.
5.积分性质
⑴若C AB, 则
P(x, y)dx Q(x, y)dy AB
P(x, y)dx Q(x, y)dy AC
P(x, y)dx Q(x, y)dy. CB
⑵若 L 是 L 的反向曲线, 则
L P(x, y)dx.
类似地, 如果极限
n
lim Q
0 i1
i ,i
yi
存在, 则称此极限为函数 Q(x, y)在有向线段 L上对坐
标 y的积分, 记为
LQ(x, y)dy.
即
n
L
P(x,
y)dx
lim
0
i1
P
i
,i
xi
,
（8.5）
及
n
Q(x, L
变力所做的功.
分析 若力F是常力, 曲线为直线,
则功 W为
A
B
F
W F AB F eAB AB .
若F是变力, 且质点沿曲线 L移动, 我们用定积分的
方法来解决.
在曲线 L上自 A至B取分点
A M 0 , M1, M 2 , , M n1, M n B,
将曲线L弧分成 n个小弧段. 设分点
做的功Wi 近似于常力F i ,i
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
对有向曲线曲线 L, 规定L 上任一点 x, y 处的切向
量的方向与曲线的方向一致（见下图）.
z
AB
A
r t
B
O
y
x
例8.7 设有向曲线 y x2 x : 0 1, 求任意一点处
的单位位切向量. 解 按以上对有向曲线切向量的方向的规定, 从图上可 以看出, 此曲线在任意点处的切向量为
这种合并起来的形式. 为简单起见, 记为
L P(x, y)dx Q(x, y)dy.
由此, 变力沿曲线做的功可写成
W L P(x, y)dx Q(x, y)dy.
（8.6）
如果曲线L是分段光滑的, 则规定函数在 L 上对坐标
的曲线积分等于在光滑的各弧段上对坐标的曲线积分的 和.
当P(x, y),Q(x, y)连续时, 对坐标的曲线积分
y)dy
lim
0
i1
Q i
,i
yi .
（ 8.5）
其中P(x, y),Q(x, y)称为被积函数, P(x, y)dx及
Q(x, y)dy 称为被积表达式, L称为（有向）积分弧,
dx,dy 称为有向弧L的投影元素.
在应用中经常出现
L P(x, y)dx LQ(x, y)dy
这种和式的极限在研究其它问题时也会经常遇到. 我 们引入下述定义.
3.第二类曲线积分的定义
定义8.2 设L是 xOy平面上从点 A到点B 的一条光滑的
有向曲线弧, 函数P(x, y),Q(x, y)在L上有界, 沿 L的
方向依次取分点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1, M n B,
例如对单位圆C : x cost, y sin t. 若规定其方向
为逆时针方向（即当参数t 由 0变为 2 时曲线上动点
x, y 的移动方向）, 则 C就成为一条有向曲线.
对非封闭曲线弧 L, 如果规定它的两个端点中的一个 （记作 A）为起点, 另一个（记作B ）为终点, 此时有 向曲线 L为 AB.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
点 i ,i 处的力来近似代替, 即在Mi1Mi 上有
F x, y F i ,i Pi ,i i Qi ,i j,
于是变力沿有向小弧段 M M i1 i 所
1,2x,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
动过程中, 质点受到力
F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j
的作用, 其中P x, y,Q x, y为 L 上的连续函数, 求
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
由于 Mi1Mi 光滑且很短, 可以用
M
i
为
y
xi , yi
.
yi
有向线段 Mi1Mi xii yi j
L i,i Mi M i1
B Mn
来近似代替. 其中xi xi xi1
M1
xi
是向量Mi1Mi 在 x 轴上的投影,
A M0
O
x
yi yi yi1是向量Mi1Mi在y轴上的投影. 因函数
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
P(x, y)dx 和 Q(x, y)dy.
L
L
总存在（以下总假定 ห้องสมุดไป่ตู้,Q 在 L上连续）.
5.积分性质
⑴若C AB, 则
P(x, y)dx Q(x, y)dy AB
P(x, y)dx Q(x, y)dy AC
P(x, y)dx Q(x, y)dy. CB
⑵若 L 是 L 的反向曲线, 则
L P(x, y)dx.
类似地, 如果极限
n
lim Q
0 i1
i ,i
yi
存在, 则称此极限为函数 Q(x, y)在有向线段 L上对坐
标 y的积分, 记为
LQ(x, y)dy.
即
n
L
P(x,
y)dx
lim
0
i1
P
i
,i
xi
,
（8.5）
及
n
Q(x, L
变力所做的功.
分析 若力F是常力, 曲线为直线,
则功 W为
A
B
F
W F AB F eAB AB .
若F是变力, 且质点沿曲线 L移动, 我们用定积分的
方法来解决.
在曲线 L上自 A至B取分点
A M 0 , M1, M 2 , , M n1, M n B,
将曲线L弧分成 n个小弧段. 设分点
做的功Wi 近似于常力F i ,i
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以