多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件
马丽君
（集宁师范学院 数学系）
我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。

若
0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值
点）
对于多元函数()
Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =L ，有与上面一元函数取得极值的充
分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12
,,,T
n f f f x x x ⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭L
为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，
则()f X 在点000
012(,,,)n X x x x =L 取得极值的必要
条件是
：
011
2(),,,0T
n n X X f f f gradf X x x x ⨯=⎛⎫
∂∂∂== ⎪
∂∂∂⎝⎭L
证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，
则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶
连续偏导数，000
012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，
现定义
()f X 在点0X 处的矩阵为：
2220002
112122220002021
22222
0002
1
2
()
()()()()
()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫
∂∂∂⎪⎪
∂∂∂∂∂⎪
⎪⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪
=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪∂∂∂∂∂⎩⎭
L L L L L L L L L L L
由
于
各
二
阶
偏
导
数
连
续
，
即
22(,1,2,,)i j j i
f f
i j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂L ，
所以0()f H X 为实对称矩阵。

定理 设n 元函数
()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =L ，具有对各自变量的二阶连续偏导
数，000
012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，则
（1） 当
0()
f H X 正定时，
000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的极小值
点；
（2） 当
0()
f H X 负定时，
000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的极大值
点；
（3） 当
0()
f H X 不定时，
000012(,,,)n X x x x =L 不是()f X 的极大
值点
证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式
00000112212
2200200
0001111222
112
2
00
0111220000221122
212
()()()()()()
()()()1()[()()()]2()()()
()()()()(n n n n n n f X f X f X f X X X X X X X f X f X f X X X X X X X X X X X X X f X X X X X X X f X f X X X X X X X X X X ∂∂=+-+-∂∂∂∂∂++-+-+--∂∂∂∂∂++--∂∂∂∂+--+-∂∂∂L L ()022*********
001112000222202
021212120)()()()
()()()
()()()()()]()()
1
()2
n n n n n n n n n n n n
n T n n n n f n f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X R X x x f X gradf X x x x x x x H X x ∂++--∂∂∂++--∂∂∂+--∂∂∂++-+∂∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦∆⎡⎤⎢∆⎢+
∆∆∆⎢⎢∆⎣L L L M L
M n
R ⎥
⎥+⎥⎥⎦
是 其中0
(1,2,,)i i i X X X i n ∆=-=L ，n R 比X ∆高阶的无穷小
对于驻点0X ，由引理结果01()0n gradf X ⨯=，则上述泰勒展开式又可写为：
()1201201
()()()2
n f n
n x x f X f X x x x H X R x ∆⎡⎤⎢⎥
∆⎢⎥-=
∆∆∆+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
L M
由此可见，当0()f H X 正定时，在点0X 的某去心邻域内就有0()()0f X f X ->， 即0()()f X f X >。

故000
012(,,,)n X x x x =L 为()f X 的极小值点。

同理可知：当0()f H X 负定时，000
012(,,,)n X x x x =L 为的极大值点：对0()f H X 不定时情况，本文不再详细讨论。