多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件

马丽君

（集宁师范学院 数学系）

我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。若

0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值

点）

对于多元函数()

Y f X =，其中

12(,,,)n X x x x =L ，有与上面一元函数取得极值的充

分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中

12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12

,,,T

n f f f x x x ⎛⎫

∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭L

为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中

12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，

则()f X 在点000

012(,,,)n X x x x =L 取得极值的必要

条件是

：

011

2(),,,0T

n n X X f f f gradf X x x x ⨯=⎛⎫

∂∂∂== ⎪

∂∂∂⎝⎭L

证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，

则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶

连续偏导数，000

012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，

现定义

()f X 在点0X 处的矩阵为：

2220002

112122220002021

22222

0002

1

2

()

()()()()

()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫

∂∂∂⎪⎪

∂∂∂∂∂⎪

⎪⎪⎪

∂∂∂⎪

⎪

=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎪

∂∂∂⎪

⎪∂∂∂∂∂⎩⎭

L L L L L L L L L L L

由

于

各

二

阶

偏

导

数

连

续

，

即

22(,1,2,,)i j j i

f f

i j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂L ，

所以0()f H X 为实对称矩阵。

定理 设n 元函数

()f X ，其中

12(,,,)n X x x x =L ，具有对各自变量的二阶连续偏导

数，000

012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，则

（1） 当

0()

f H X 正定时，

000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的极小值

点；

（2） 当

0()

f H X 负定时，

000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的极大值

点；

（3） 当

0()

f H X 不定时，

000012(,,,)n X x x x =L 不是()f X 的极大

值点

证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式

00000112212

2200200

0001111222

112

2

00

0111220000221122

212

()()()()()()

()()()1()[()()()]2()()()

()()()()(n n n n n n f X f X f X f X X X X X X X f X f X f X X X X X X X X X X X X X f X X X X X X X f X f X X X X X X X X X X ∂∂=+-+-∂∂∂∂∂++-+-+--∂∂∂∂∂++--∂∂∂∂+--+-∂∂∂L L ()022*********

001112000222202

021212120)()()()

()()()

()()()()()]()()

1

()2

n n n n n n n n n n n n

n T n n n n f n f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X R X x x f X gradf X x x x x x x H X x ∂++--∂∂∂++--∂∂∂+--∂∂∂++-+∂∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦∆⎡⎤⎢∆⎢+

∆∆∆⎢⎢∆⎣L L L M L

M n

R ⎥

⎥+⎥⎥⎦

是 其中0

(1,2,,)i i i X X X i n ∆=-=L ，n R 比X ∆高阶的无穷小

对于驻点0X ，由引理结果01()0n gradf X ⨯=，则上述泰勒展开式又可写为：

()1201201

()()()2

n f n

n x x f X f X x x x H X R x ∆⎡⎤⎢⎥

∆⎢⎥-=

∆∆∆+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦

L M

由此可见，当0()f H X 正定时，在点0X 的某去心邻域内就有0()()0f X f X ->， 即0()()f X f X >。

故000

012(,,,)n X x x x =L 为()f X 的极小值点。

同理可知：当0()f H X 负定时，000

012(,,,)n X x x x =L 为的极大值点：对0()f H X 不定时情况，本文不再详细讨论。