数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一:实验题目

一、 实验目的

掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法,并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容

1、编写二分法、牛顿迭代法程序,并使用这两个程序计算02)(=-+=x

e x x

f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4

10- ,比较两种方法收敛速度。

２、在利率问题中,若贷款额为２０万元，月还款额为2160元,还期为10年，则年利率为多少?请使用牛顿迭代法求解。

３、由中子迁移理论,燃料棒的临界长度为下面方程的根,用牛顿迭

代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程

的根，精确至8位有效数字。比较

牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

三、 实验程序

第1题:

02)(=-+=x

e x x

f 区间[0，1] 函数画图可得函数零点约为0.５。

画图函数：

f ｕn ｃti ｏｎ Te ｓｔ1(）

% f(x ） 示意图, ｆ(x) ＝ x + exp （x) - 2; ｆ(x) ＝ 0 r = 0:0.０１:１; y = r + e ｘp(r) - ２ p ｌot(r, y); gri ｄ ｏn

二分法程序：

计算调用函数：[c,n ｕm ］＝bisec ｔ(０，1,１e-４）

fu ｎｃｔi ｏn [ｃ,ｎｕm ］=ｂisect （a,b,de ｌt ａ) %Ｉｎp ｕt –ａ,b 是取值区间范围 ％ -de ｌta 是允许误差

%O ｕtput －ｃ牛顿迭代法最后计算所得零点值 % －num 是迭代次数 ya = a + ｅｘｐ(ａ) - 2; ｙｂ = b + e ｘp(b) - 2;

if ya* yb>0

reｔurn;

enｄ

ｆor k＝1:100

ｃ=(a+b)/2；

yc=c＋exp(c)－ 2；

if aｂs（yｃ）<＝ｄｅlｔａ

a=c;

ｂ=c;

ｅlsｅif yb＊ｙc>0

b=c;

yb=yｃ;

elｓe

a=c;

ya=yc;

eｎd

ｉf aｂs(ｂ-a）＜ｄelta

nｕm=k; %nuｍ为迭代次数

ｂreａk;

eｎd

ｅnd

c=(a+ｂ)/２;

ｅrr=aｂs（b-ａ);

ｙc =ｃ + exｐ(c） - 2;

牛顿迭代法程序：

计算调用函数:［ｃ，nｕｍ]=ｎewｔon(@fuｎc1,０．5,１e-4）调用函数:

function [y］ =fｕｎc1(x)

y = ｘ + ｅxｐ(ｘ) -2;

end

迭代算法：

funcｔioｎ［ｃ,num］=newton(func,ｐ0,deｌｔa）

%Ｉｎpｕt －func是运算公式

% -p0是零点值

% －delta是允许误差

%Ｏutpｕt -c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -num是迭代次数

num=-1；

fｏr k=1:1000

y０=fｕｎc（p0)；

ｄy0=diff(funｃ（[p0p０＋１e-8］))/１e-8;

p1=p０-y0／ｄy0;

eｒｒ=ａbs(p1-p0);

p０＝p１;

if(ｅrr<ｄｅlta)

num=k;%num为迭代次数

breaｋ;

eｎｄ

enｄ

ｃ＝p０;

第2题:

由题意得到算式：

计算调用函数:[c,ｎum]=newton(＠func２,０．02,1ｅ-8)

程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

画图程序：

ｆuｎcｔiｏn Tｅｓt2（)

% f(x）示意图， f(x） =２０00００*(1＋x）.^１0-21６0*12*10;ｆ(x) = ０ｒ =liｎsｐace(０，0.０6, 100);

y =２０00０0*(１+r）.＾1０-2１60*１２＊10;

plot(r，y）;

grid on

调用函数：

ｆunction[ｙ］=fuｎc2(r）

y=200０00*(1+r)．＾１0-21６０*１2*1０;

enｄ

牛顿迭代法算法程序：

fuｎctｉon [c，ｎum] ＝newtｏn（fuｎｃ,p0,ｄeｌta)

%Inpｕt-func是运算公式

% －p0是零点值

% －dｅlta是允许误差

％Output －c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -num是迭代次数

num＝－1;

forｋ＝1:100０

y０=fuｎc(p0)；

ｄｙ0＝diｆf(ｆuｎc(［p０ p0＋1e-8])）／１e－８;

p1=p0－y０/dy0;

err=aｂｓ（p1-p0);

ｐ0=p1;

ｉf(err＜delta)

nuｍ=k;

ｂrｅak；

eｎｄ

enｄ

ｃ＝p0;

第3题：求最小正数解

计算调用函数：[c,num]=ｎewtoｎ（@fｕnc３, 1 ,１e-8)

程序:先用画图法估计出最小正解位置在1到2之间

画图程序：

funcｔｉon Tｅst3()

% f(x）示意图， f(x） = ｃot(ｘ)-(x.^2-１）.／（2.*x); ｆ（x) = 0 ezｐlot('cｏt(x)-(x．^2-1)./(２.*x)'，[-6,６]);

ｇrid on

调用函数：

functiｏn［y]=ｆunc3（x）

y=cｏt(x)-（x.^2-1)./(2.*x);

eｎd

牛顿迭代法算法程序：

ｆｕnctiｏn[c，num] =ｎｅwton(ｆunc,p0,delｔａ）

％Input -fuｎｃ是运算公式

％ -p0是零点值

％ -dｅlta是允许误差

%Oｕtput -c牛顿迭代法最后计算所得零点值