第二节定积分基本定理优秀课件

x
显然 x 0 x,
y y f(x)
又 f(x)C[a,b],
l i mf ()limf()f(x).
x
x0
x
oa
xlim limf() f(x).
x xx bx
x0 x x
注 定理说明了：若 f(x) C a,b
x
(x)a
f(t)dt就是
f
x在
a,
b
上的一个原函数.
由此
x
肯定了连续函数的原函数是存在的
b
a f(x)dxF(b)F(a)
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特 弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本 定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函 数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成 为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛 运用。
(sx i n co x)c so ssi2(x n )
0s int2dt
例3
解
求 lim x0
2x
x3
0s int 2dt
lim
x0
2x
x3
0
0
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
( x 3 )'
lxi m 0sin23(xx)2 2(2x)'83lxi m 0 si4nx42x2
8 3
证 ⑴ 设 u(x) ,(u)uf(t)d,t a d dduf(u)(x)f((x))(x) dx dudx
(2) u(x), (u)af(t)dt u
a
u
(u)uf(t)d ta f(t)dt
d ddu f(u)(x)f[(x) ](x).
dx dudx
(3) d d x ( ( x x ) )f(t) d td d x a (x )f(t) d ta (x )f(t) d t
x(a,b)，Fra Baidu bibliotekx得 x(a,b), y y f(x)
因为
xx
(xx) f(t)d.t
a
(x x ) (x )
x
xxftd t xftdt
a
a
oa
x xx bx
xf(t)d t xxftdt
x
f (t)dt
xx
f(t)dt
a
x
a
x
f()x
积分中值定理
f ( ) x , x , x x f ()
上的上限变动的定积分
定积分与积 x f ( x)dx 分变量无关
a
x
f (t)dt
a
又确定了一个在a, x上的新函数，记作x, 即
x
x
a
f
t dt
(a x b)
积分上限函数
2. 定理1 若 f(x) C a,b(x),
且
( x)
d x
dx a
f (t)dt
f (x)
a
x b
证 思路：根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限”
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条
目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想
为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐 渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说， 路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间
[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲
x
tf (t)dt
F(x) 0 x
在 0, 内是单调增加函数。
0 f (t)dt
证 只要证 F(x)0即可。
d d x 0 x t( f t) d tx(x f )d d , x 0 xf( t) d tf(x ),
x
x
xf(x) f(t)dtf(x) tf(t)dt
F(x)
线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何 中的基本概念。
对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要 的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数 学，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。
一、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f(x)C[a,b],x[a,b],f x在区间a, x
1 et2dt
例4
求lim x0
co sx
x2
解
lim
x0
1 e t 2 dt
cos x
0
0
lim
x2
x0
1 e t 2 dt
cos x
'
eco2sx(sinx) lim
x2 '
x0
2x
ecos2x sinx 1
lim
x0 2
x 2e
例5 设 fx C 0 , ,f x 0 ,求证
f [( x ) ] ( x ) f [( x ) ( ] x )
例1求d x3 3 1t2dt dx 1
解 d x3 3 1t2dt3 1x6(x3) 3x23 1x6 dx 1
例2 求d coxscost(2)dt
dxs i nx
解
d
coxs
co
s(t2)dt
dxsi nx
co cs 2 o x ) (s (x c ) c oo sss 2 ix ) n ((x s )in
c o cs 2 o x ) ( ssx i n c o ss 2 ix ) n ( cx os
c o s s2 i ( x ) n sx i n c o s2 i s x ) n c (x os
co ss 2 ix n ) (sx i n co ss 2 ix n ) (cx os
第二节定积分基本 定理
另一方,这 面段路程又是位s(置 t)在函区数 间[t1,t2]上的增量
s(t2)s(t1)
所以 t1 t2v(t)d ts(t2)s(t1)
注意 s'(t到 )v(t)，即位s置 (t)是 函速 数度 函v数 (t)的原函数。
猜想： F(x)设 是f(x)在区 [a,间 b]上的原函 数,则
0
0
0xf(t)dt2
f(x)x
x
f(t)dt
xtf(t)dt
F(x)
0
0
0xf(t)dt2
f (x)
x
(x t) f (t)dt
0
x 0
f
2
(t)dt
t 0 ,x ,f t 0 ,( x t ) f ( t ) 0 ，
f
xdx a
f(t)d tC揭示了定积分与原函数之间的关系
3. 定理1` 若 ft C x ,x
x、 x在 a,b内可 导
d(x )f(t)d tf[(x )] (x )
da x
(1)
d d a x (x )f(t) d t f[(x )] (x )
(2)
d d ( ( x x x ) ) f ( t ) d f t [( x ) ( ] x ) f [( x ) ( ] x )(3)