离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质

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4.吸收律
给定<S，⊙，○>，则
⊙对于○满足左吸收律
:=(x)(y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x)
⊙对于○满足右吸收律
:=(x)(y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收
律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于 和吸收律类似地定义。 若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可 吸收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时 满足吸收律。
同理可证， ○对于⊙满足吸收律。故⊙和
○互为吸收的。
5.等幂律与等幂元 给定<S，⊙>，则 “⊙”是等幂的或“⊙”满足等幂 律:=( x)(x∈S→x⊙x=x) 给定<S，⊙>且x∈S，则 x是关于“⊙”的等幂元:=x⊙x=x 于是，不难证明下面定理： 定理12.2.2 若x是<S，⊙>中关于⊙的等幂 元，对于任意正整数n，则xn=x。
例12.2.1 给定<A，⊙>且对任意a，b∈A有
a⊙b=b。证明运算“⊙”是可结合的。
证明：因为对任意a，b，c∈A
(a⊙b)⊙c=b⊙c=c
a⊙(b⊙c)=a⊙c=c
故 (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) 注意，不是任何代数结构上的运算都满足 结合律，如整数集上“－”运算就不满足结合 律。如：5－(2－1)＝4,但是(5－2)－1＝2.
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
因此，一个代数结构需要满足二个条件： (1)有一个非空集合S (2) 在集合S上定义的运算一定是封闭的
此外，我们把集合S的基数即|S|，定义为代 数结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结 构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构.
有时，要考察两个或多个代数结构，这里 就有个是否同类型之说，请看下面定义：
若e既为⊙的左幺元又为⊙的右幺元，称e 为关于⊙的幺元。亦可定义如下：
e为关于⊙的幺元 :=( x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)。
定理12.2.3 给定<S，⊙>且el和er分别是关于 ⊙的左、右幺元，则el=er=e且幺元e唯一。 例：实数集R上的代数结构<R，＋，×>的 “×”运算的幺元为1，因为对任意xR有x×1＝ 1×x＝x。而“＋”运算的幺元为0，因为对任意 xR有x＋0＝0＋x＝x。 例：前面例子中关于串的并置运算，它的单 位元素是空串，因为对任一串A，均有 // A = A // = A。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
例12.2.2 给定<Q，○>，其中Q为有理数集 合，并且对任意a，b∈Q有a○b = a + b - a·b， 问运算○是否可交换?
证： a○b = a + b - a·b= b + a - b·a ＝ b ○ a ，故运算○是可交换的。
第十二章

代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质


12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
8．逆元 给定<S，⊙>且幺元e，x∈S，则 x为关于⊙的左逆元:=(y)(y∈S∧x⊙y=e) x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)
x为关于⊙可逆的
:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
可建立这两个运算之间的某种联系。
给定<S，⊙，○>，称运算⊙对于○满足左
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，如果有
(x)(y)(z)(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z)) 同理，称运算⊙对于○满足右分配律或⊙对 于○是可右分配的，如果有 (x)(y)(z)(x,y,z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x))
类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律.
若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可定 义○对于⊙满足分配律。
由定义不难证明下面定理： 定理12.2.1 给定<S，⊙，○>且⊙是可交换的。 如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙对于○满足 分配律。
例12.2.3 给定<B,⊙,○>，其中B={0,1}。 表12.2.1分别定义了运算⊙和○，问运算⊙对 于○是可分配的吗？○对于⊙呢？
注意，n元运算首先是一个函数，其次是
个闭运算(所谓闭运算是指：集合上的运算，其
运算结果都在原来的集合中，我们把具有这种
特征的运算称作封闭的，简称闭运算)。封闭性
表明了n元运算与一般函数的区别之处。此外， 有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特 殊的作用，称它为S中的特异元或常数。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，
定义12.1.3 设两个代数结构<S，f1，f2，…， fm>和<T，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具 有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。 可见，判定两个代数结构是否同类型，主要 是对其运算进行考察： ①两个代数结构是否有相同个数的运算符； ②每个相对应的运算符是否有相同的元数。
设有<S，⊙>且aS，对于mZ+，其中Z+ 表示正整数集合，可有： (1) a1=a (2)am+1=am⊙a 由此利用归纳法不难证明指数定律： (1)am⊙an=am+n (2)(am)n=amn 这里，m,nZ+。 类似地定义某代数结构中的负幂和给出负 指数定律。
3.分配律 一个代数结构若具有两个运算时，则分配律
例12.2.4 给定<N，⊙，○ >，其中N是自 然数集合，⊙和○定义如下： 对任意a，b∈N有a⊙b = max{a，b}，a ○
b = min{a，b}，试证，⊙和○互为吸收的。
证明：不妨假设a＞b a⊙(a○b) = max{a， min{a，b}}= a (a○b)⊙a = max{min{a，b} ，a}= a 故⊙对于○满足吸收律。
定义12.1.4 设<S，f1，f2，…，fm>是一代 数结构，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作 用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元， 则称<T，f1，f2，…，fm>为代数结构<S，f1， f2，…，fm>的子代数。记为<T，f1，…><S， f1，…>。
例：设 E是所有偶数所组成的集合，则代 数结构< E，＋>是< Z，＋>的一个子代数结构
⊙ 0 1
0 0 0
表 12.2.1 1 ○ 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
形如表12.2.1的表常常被称为运算表或复合表， 它由运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四 部分组成。当集合S的基数很小，特别限于几个时，代 数结构中运算常常用这种表给出。其优点简明直观， 一目了然。 解 可以验证⊙对于○是可分配的，但○对于⊙ 并非如此。因为 1○(0⊙1)(1○0)⊙(1○1)
置或肩置，如┐x、 、x'；而二元运算符习惯于 x
前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数
结构了。
定义12.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的ni 元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…， fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1， f2，…，fm>。 例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加 法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
同样，并不是所有代数结构上运算均满 足交换律，如矩阵的乘法就不满足交换律。
易见，如果一代数结构中的运算⊙是可 结 合 和 可 交 换 的 ， 那 么 ， 在 计 算 a1⊙a2⊙·⊙am时可按任意次序计算其值。 · ·
特 别 当 a1 ＝ a2 ＝ · ＝ am ＝ a 时 ， 则 · · a1⊙a2⊙·⊙am＝am。称am为a的m次幂，m称a · · 的指数。 下面给出am的归纳定义：
例：设R是实数集 ，“＋”与“×”是实数 集R上的普通加法和乘法运算，则<R,＋,×>是 一个代数结构。
例：我们可以构造下述的一个代数结构： 设有一个由有限个字母组成的集合∑ ，叫 字母表，在∑上任意长的字母串，叫做∑上句 子或字符串，串中字母的个数m叫这个串的长 度，我们假定当一个字的长度m=0时用符号 表示，它叫做空串。这样我们可以构造一个在 ∑上的所有串的集合∑*。 其次，我们定义一个在∑*上的运算“//”— —并置运算或者连接运算，设， ∑*，则 //＝。通过并置运算将两个串联成一个新 的串，而此联成的新串也在∑*内，这样构造的 <∑*，//> 是一个代数结构
例： 显然，<Z，＋，×> <R，＋，×>.
12.2 代数结构的基本性质
所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所 具有的性质。以下我们均假设运算为二元运算。
1.结合律
给定<S，⊙>，则运算“⊙”满பைடு நூலகம்结合律或
“⊙”是可结合的，即
(x)(y)(z)(x,y,z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))
例12.2.5 给定<P(S)，∪，∩>，其中P(S)是
集合S的幂集，∪和∩分别为集合的并和交运算。 验证：∪和∩是等幂的。 证：对任意A P(S)，有A∪A=A和A∩A=A， 故∪和∩是等幂的。
6. 幺元或单位元 给定<S，⊙>且el，er，e∈S，则 el为关于⊙的左幺元:=( x)(x∈S→el⊙x=x) er为关于⊙的右幺元:=( x)(x∈S→x⊙er=x)
唯一的。
定理12.2.5
给定<S，⊙>且|S|＞1。如果θ，
e∈S，其中θ和e分别为关于⊙的零元和幺元，
则θ≠e。
例：代数结构<Z，×>上的零元是“0”，
因为对于任何整数x，均有x×0＝0×x＝0。
例：正整数集Z+上的运算“min”，叫“取
最小”运算。min(a,b)为取a,b的最小者。代数
结构<Z+，min>中对应于运算“min”的零元为1。
例：代数结构<N，＋>与代数结构<Z，×> 是相同类型的，因为它们都有一个二元运算符。 例：代数结构<Z，＋，×>与<N，＋>的类 型是不相同的，因为它们的运算符的个数不同。
例：设S是非空集合，P(S)是它的幂集。对任 意集合A，B∈P(S)上的运算和如下: AB =(A－B)∪(B－A) AB = A∩B 则<P(S)，，>是一代数结构。因为，显 然和是闭运算。 <R，＋，×>与<P(S)，，>是同类型代 数结构的。 有时还需要在代数结构中集合的某个子集上 讨论其性质，这就引出子代数结构的概念.
7.零元 给定<S，○>及θl，θr，θ∈S，则 θl为关于○的左零元 :=( x)(x∈S→θl○x=θl)
θr为关于○的右零元
:=( x)(x∈S→x○θr=θr) θ为关于○的零元 :=( x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)
定理12.2.4 给定<S，⊙>且θl和θr分别为关
于⊙的左零元和右零元，则θl=θr=θ且零元θ是
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。