复合函数知识总结及例题

复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）
例2. 若函数f x x ()=
+1
1
，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1
1
，知x ≠-1
即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应
满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪
1
11
1，解得x x ≠-≠-12且
故函数[]f f x ()的定义域为{}
x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]
x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]
3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]
x ∈-15，
即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 2
2
248
-=-，则函数f x ()的定义域为-------
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2
2248-=-，知x x 2
2
8
0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞
（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x
()2的定义域为[]
-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x
()2的定义域为[]-11，，即[]
x ∈-11，，由此得21
22x
∈⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥，
f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥，又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦⎥，，解得[
]
x ∈
24，
即f x (log )2的定义域为
[
]
24，
评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.
证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即
),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函
数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练
例1、 求函数)32(log 2
2
1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域 130322
-<>⇒>--x x x x 或
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则
)32(log 1212
11--=x x y )32(log 22
22
12--=x x y
---)32(12
1x x )32(22
2--x x =)2)((1212-+-x x x x
∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x
∴)32(121--x x >)32(22
2--x x 又底数12
1
0<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数
同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数
［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为
}.3
1
,1|{-<>x x x 或
则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3
1-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若3
1
-
<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
例3、.已知y=a log (2-x
a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1
当a ＞1时，函数t=2-x
a >0是减函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2
当0<a<1时，函数t=2-x
a >0是增函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2
例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设
)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函
数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ，
其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得
.3
7
213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a
∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，
即.1)(2+-=x x f 2
4
2
2
21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F
假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，
∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，
∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴1822
21>+x x , ∴11612)(22
21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①
当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F
∵02221>-x x ,∴11612)(22
21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②
由①、②可知161-=p ，故存在.16
1
-=p
一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：
例1．（1）若21a b a >>>，则log b b
a
，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z
==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；
（3）设0x >，且1x x
a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ） （A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b <<
解：（1）由2
1a b a >>>得b a a <，故log b b a
<log b a 1<<log a b ．
（2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =
，lg lg 3t y =，lg lg 5
t
z =， ∴2lg 3lg lg (lg9lg8)
230lg 2lg3lg 2lg3
t t t x y ⋅--=
-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．
例2．已知函数2
()1
x x f x a x -=++(1)a >，
求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 证明：（1）设121x x -<<，
则1212121222()()11
x
x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()
11(1)(1)
x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，
∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<，
∴
12123()
0(1)(1)
x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x
a a <，∴120x x a a -<，
∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则0002
01
x
x a x -+=+， 即0
0000023(1)3
1111
x x x a
x x x --+=
==-+++， ① 当010x -<<时，0011x <+<，∴
0331x >+，∴03
121
x ->+，而由1a >知01x a <， ∴①式不成立；
当01x <-时，010x +<，∴
0301x <+，∴03111
x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．
综上所述，方程()0f x =没有负数根．
例3．已知函数()log (1)x
a f x a =-（0a >且1a ≠）．
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．
证明：（1）由10x a ->得：1x a >，
∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率12
12
y y k x x -=-，
11
2
2121
log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，
当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12011x x
a a <-<-，
∴121
011
x x
a a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x x
a a ->->， ∴12
1
11
x x
a a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．
同步练习
（二）同步练习：
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数
)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)
23
,1()0,2
1(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,2
22 2.x
x
⎧
-<<⎪⎪
⎨
⎪-<
<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。

故
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--
5、已知函数)(x f 的定义域为)2
3
,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a
x f ax f x g 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232
,2321
,2321,2321a x a a
x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2
3
21|{<<-
x x ； （2）当a a 23
23>，即10<<a 时，有2
21a a ->-，
定义域为}23
2|{a x a x <<-；
（3）当a a 2323<，即1>a 时，有2
21a
a -<-，
定义域为}2321|{a
x a x <<-
. 故当1≥a 时，定义域为}23
21
|{a x a x <<-； 当10<<a 时，定义域为}.2
32
|{a x a
x <
<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

练习二
（5）同步练习：
1．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在
（2，＋∞）上单调递减． 答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）)1(2
32>=++-a a y x x ； （2）.2
3
22++-=x x y
答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),2
3[+∞上是减函数。

（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x
a 且的单调性。

答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。

4．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋
，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x
＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝3
1log μ（x ）在其定义域上是单调
递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，
25）上为减函数，在［2
5
，＋∞］上为增函数．考虑到函数
的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）为减函数、μ
（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ
（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
变式练习 一、选择题
1．函数f （x ）＝)1(log 2
1－x 的定义域是（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，2）
D ．]21(，
解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以⎪⎩⎪
⎨⎧≥0)1(log 0
12
1
－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D
2．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在
（2，＋∞）上单调递减． 答案：B
3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则x
y
的值为（ ） A ．4
B ．1或41
C ．1或4
D ．4
1
错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有x y ＝4
1
或y x ＝1．
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2
1
） B ．（0，1） C ．（
2
1
，＋∞）
D ．（0，＋∞）
解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜
2
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x
－12
－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x
x －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题
已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________．
解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜
x
2
（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）
7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（3
1）x
的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．
解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3
1log x
则f （2x －x 2）＝3
1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．
μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）
］在（0，1）上单调递减；
μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）
］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1
）＝0， 则不等式f （l og 4x ）＞0的解集是______．
解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （2
1
）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－2
1
．
解得x ＞2或0＜x ＜21
．
答案：x ＞2或0＜x ＜2
1
三、解答题
9．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋
，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x
＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝3
1log μ（x ）在其定义域上是单调
递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，
25）上为减函数，在［2
5
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1log μ（x ）为减函数、μ
（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ
（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝
532＋x ＋x
x
2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；
（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f （x ）的反函数f －
1（x ），问函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点
坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜2
3
． （2）令 （x ）＝
5
32
＋x ，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x
236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝
5
32
＋x ＋x
x 2323lg ＋－是减函数．
（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f （x ）的反函数f －
1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关
系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝5
2．所以函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（5
2
，0）。