高职高等数学教案傅里叶级数部分

§7-3 傅里叶级数

一、傅里叶级数的定义

定义：形如01

(cos sin )2

n n n a

a nx

b nx ¥

=+

+å

的级数为三角级数，

其中0,,(1,2,3,)n n a a b n = 都是常数。

三角函数族的正交性：

把1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,cos ,sin ,x x x x nx nx 称为三角函数族。

若,m n 是非负整数，则容易验证：

0,sin sin ,0π

πm n mx nxdx πm n -ì¹ïï

=íï= ïîò

sin cos 0π

π

mx nxdx -=ò

0,cos cos ,0π

πm n mx nxdx πm n -ì¹ïï

=íï= ïîò

以上性质称为三角函数族的正交性。

确定傅里叶级数及其系数：

假设()f x 是以2π为周期的周期函数，且可展开为三角级数：

01

()(cos sin )2

k k k a f x a kx b kx ¥

==+

+å

将上式两边同乘cos nx ，然后在区间[,]ππ-上逐项积分，得：

1

()cos cos (cos cos sin cos )2

π

πππk k

ππ

π

π

k a f x nxdx nxdx a kx nxdx b kx nxdx ¥

----==+

+å

蝌蝌

由前面正交性可得，等式右端除k n =项外，其余各项都等于零，于是有：

()cos cos cos ππn

n π

π

f x nxdx a

nx nxdx a π--==蝌

因此1()cos (0,1,2,)π

n π

a f x nxdx n π-==ò

同理，两边乘sin nx ，再逐项积分，得：

1()sin (1,2,)π

n πb f x nxdx n π

-=

=ò 定义：上述表达式中的,n n a b 称为()f x 的傅里叶系数，与之对应的三角级数

1

(cos sin )2

n n n a a nx b nx ¥

=++å

称为()f x 的傅里叶级数。

二、傅里叶级数的敛散性

定理：若()f x 是以2π为周期的周期函数，且在区间[,]ππ-上是分段光滑的，则傅里叶级数在区间[,]ππ-上收敛，且

（1）当x 是()f x 的连续点时，级数收敛于()f x

（2）当x 是()f x 的间断点时，级数收敛于1[(0)(0)]2

f x f x ++-

例1：设()f x 是周期为2π的函数，它在[,)ππ-上表达式为,0()0,0x πx f x x πì-?ïï=íï?ïî

，将其展开为傅里叶级数

解：计算系数0

2011

11()22

πππππ

a f x dx xdx x ππ

π---==

==-蝌 0

11()cos cos πn ππ

a f x nxdx x nxdx ππ--==蝌

000

11(sin )(sin sin )πππxd nx x nx nxdx n πn π

---==-蝌 0021111sin cos [1(1)]n

ππnxdx nx n πn πn n π

--=-==--ò 0

11()sin sin πn ππ

b f x nxdx x nxdx ππ--==蝌

000

11(cos )(cos cos )πππxd nx x nx nxdx n πn π

---=-=--蝌

1011(1)cos [0()(1)]n n

πx nx πn πn πn

+--=-=----=

因为函数在[,)ππ-上连续，所以在(,)ππ-上傅里叶级数收敛于()f x ，即

1211(1)(1)()cos sin 4

n n n π

f x nx nx n πn +¥

=禳轾镲---犏镲镫 =-+

+睚镲镲镲铪å 2221111

(cos cos3cos5)(sin sin 2sin 3)43523

πx x x x x x π=-+++++-+- 当x π= 时，傅里叶级数收敛于[][]11(0)(0)()0222

π

f x f x π++-=-+=-

特殊形式的傅里叶级数：

1.当()f x 是周期为2π的偶函数时，()sin f x nx 是奇函数，()cos f x nx 是偶函数，则有：

012()cos ()cos (1,2,)ππ

n πa f x nxdx f x nxdx n ππ

-===蝌

1()sin 0(1,2,)π

n π

b f x nxdx n π-===ò

此时傅里叶级数01

cos 2

n n a

a nx ¥

=+

å

称为余弦级数。

2. 当()f x 是周期为2π的奇函数时，()sin f x nx 是偶函数，()cos f x nx 是奇函数，则有：

0(1,2,)n a n ==

02()sin (1,2,)π

n b f x nxdx n π

=

=ò 此时傅里叶级数1

sin n n b nx ¥

=å

称为正弦级数。

例2：设()f x 是周期为2π的函数，它在(,]ππ-上表达式为()f x x =，将其展开为傅里叶级数

解：所给函数为奇函数，则0n a =

0000

222sin (cos )(cos cos )πππ

π

n b x nxdx xd nx x nx nxdx πn πn π==-=--蝌

10222cos cos (1)π

n x nx nx n πn n

+=-=-=- 所给函数在(,)ππ-上连续，则在(,)ππ-上傅里叶级数收敛于()f x ，即

11

()2(sin sin 2sin 3)23f x x x x =-+- 当x π= 时，傅里叶级数收敛于：11

[(0)(0)][()]022

f x f x ππ++-=-+=

例3：设()f x 是周期为2π的函数，它在[,)ππ-上表达式为2

()f x x =，将其展开为傅里

叶级数

解：所给函数为偶函数，则0n b =

2

20123

πππa x dx π-==ò