圆面积上作用垂直荷载下横观各向同性地基的统一解

对 上 式进 行 零 阶 Ｈａｋ ｌ 分 变换 ，其变 换 式 ｎ ｅ积
） ＝
Ｊ ） ｒ ．
④ 和 代入 （０ 式 ， 可得 到横 观 各 向 ＝ １） 即
， ．、 即 可 得 到 （ ） 中 的 ４ Ｇ， ｒ ｅ ２式
（） ｏ （）（ ｒ＝ 。 ∈ｕ ） ， Ｙ ，， ｚ 。 ｚ ０
ｆ‘ ７
运 用 Ｂ ｓ ｌ 数 的性 质 和 其 导 函 数 的 Ｈａｋ ｌ ｅ ｅ函 ｓ ｎｅ
变换 ， 将 （，） ｒｚ 导 ， 将 其 代 入 （ ） （ ） ｒｚ 对 ，求 再 ３ ， ６ 式 ， 可得 到 横观 各 向 同性 轴对 称 问题 的位 移 和 应 即
｛ 一 ） ＋ ＋ ＋ｚ０ ） ｒ 【 （ ｆ （ ） ． ） ｌ 哦 ２ 】 ２∈ ， Ｄ 。 ８ ｄ １ｆＢ 。｛ ）＋ ）（ ∈｝） 。 一ｚｏ ）一 ＋１∈ ｏ （ ｚ ＇ ＋ Ｄ ， 。 ｄ （ ＋ ３∈ ０ ］ｚ（ｓＤ ｌ （ ｌ 一ｚ 一 ｅ ＋ ＋ｚ０ｃ啦 ∈ ） － 【 ∈ ＋ ｏ ｒ ８ Ｓ ３ ） ） ￣ ＝ ∈【 ）一 ］ｚ【 ）＋ ｏｚ（ ｌ ｃ ｛２ ∈ ｏ ｅ ＋ ＋ｚ口Ｃｓ ） ０ 一 一ｚ 哦 － （ ∈ ］） （ Ｂ Ｓ ２ Ｄ ｅＪ ￣ ￣
＋ ＋
ｒ ｚ－ －－ － － － ￣
０ｒ
１
ｚ
ｒ
Ｊ
将 几 何 方 程 代 入 横 观 各 向 同性 轴 对 称 问题 的
１４ ９ ０年 给 出 了横观 各 向同性 体 轴 对称 问题 的通 解 ， Ｅ ｂ ｎ ｓ Ｓｅ ｅｇ １ ｕ ａｋ 和 ｔ ｂ ｒ ５ 位 移 表 示 的平 衡 方 程 出 ｒ ］从
（ ． 山学 院 建 筑 工 程 学 院 ， 徽 黄 山 ２ ５ ４ ； ． 南理 工 大 学 土 木 工 程 学 院 ， 南 焦 作 ４ ４ ０ ） １黄 安 ４ ０ １２河 河 ５ ００
摘 要 ： 横 观 各 向 同 性 弹 性 体 轴 对 称 问 题 的 基 本 方 程 出发 ， 各 向 同 性 下 的 Ｌ ｖ 从 对 ｏｅ位 移 函数 进 行 了 重
．
３ ８．
２ ２
黄 山 学院学报
２１ ０ ２年
ｄ１Ａ （一 ｇ ）ｄ２Ａ １ ２， １ ｎ１ ｎ ２， ， ｎ 一 ）
２
ｄ １ ， （＋ １，３ （— １ １ ｄ１ ２１ ）ｄ３ １ ） ３ Ａ
Ｇ ｚ 鲁
模 量 和泊松 比 ；
０ 引 言
其 反 演 变换 和 Ｂ ｓ ｌ ｅ ｅ 函数 理 论 。 讨论 了 当材料 特 ｓ
征值 Ｓ Ｓ ｓ ， Ｉ ： 时 圆面 积 上作 用 垂直 荷 载下 的横 观 各 ：＝
目前 ， 地 基 基 础 工 程 设 计 中 ， 用 最 广 泛 的 在 应 是 Ｗ ｉｌｅ 模 型和弹 性 半 空 间地 基模 型 ，但 实 际地 ｎ ｒ ｄ 基 并 不是 均 质 各 向 同性 、 想 的半 无限 体 。 由于 各 理 种原 因 。 天然 地 基 在 形成 过 程 中 一般 都 具 有 固 有 的 横 观 各 向 同性 。 在 沉积 过 程 中形成 的层 状 结 构黏 如 对 于横 观 各 向 同性 轴对 称 问题 ， 平 衡 微 分方 其
凹 盆形 荷载 ；
． ９． ３
有 Ｂ ｓｅ 函 数 的 性 质 知 ， 一 ∞ 时 ， （ 和 ｅ ｌ ｓ 当ｒ ）
． ） 趋近 于 零 ， 有 的 位 移 和 应 力 分 量 （ ） 都 ， 都 １ 所 ８式
满足 （ ） 的要 求 ； ｃ式 只有 Ｃ＝ ０ ０时 ， 能 使 当 ｚ ｏＤ ＝ 才 无限
本 构方 程 ，即 可 得 到 用 位 移 分 量 表 示 的物 理 方 程
为 ．
： ，
ｄ ｌ ｒ＋ ｄ ２ ｌ ＯＵ ｌ
＋ ｄｌ Ｏ ３ Ｗ
：
ｄ１ ２
＋ ｄｌ ｌ
＋ １ ３
（） ２
：
： 。
＋ ｄ。 ３
＋ ｄ， ，
向 同性 地基 的位移 和应 力进 行 了具 体 的分析 。本 文 通 过对 各 向 同性 下 的 Ｌ ｖ 位 移 函数 重新 修 正 ， 用 ｏｅ 采
垂 直 轴对 称荷 栽 下 的横 观 各 向 同性地基 问题 的解析 解提 供 理论 依 据 。
关 键 词 ： 观 各 向 同 性 ： 对 称 ； 移 法 ； ｎ ｅ 变 换 横 轴 位 Ｈａ ｋｌ
中图分类 号 ：Ｕ Ｔ４
文献 标识 码 ： Ａ
文 章编 号 ：６ ２ ４ ７ （０ ２０ — ０ ７ ０ １ ７ — ４ Ｘ ２ １ ）５ ０ ３ — ４ 位移 解 法 的基本 原 理 ， 时利 用 Ｈａｋ ｌ 同 ｎ ｅ 积分 变 换和
＝ ０ （） ５
Ｓ１２
２２ 任意 轴对称 垂 直荷 载作 用下 的一般 解 ． 若横 观 各 向 同性 地 基 表面 （＝ ） ｚ ０ 上作 用 有轴 对
称垂 直荷 载 ， 图 １ 示 ， 如 所 则边 界条件 为 ： ｌ 一 （ ｒ ）
ｔ ｏ ０ ｌ ＝ ＝
在 此 采 用 Ｃ Ｔ勒 克 尼茨 开记 号 Ｓ Ｓ 称 之 为材 ． ： 、， 料特征 值 ， 中 ： 其
（） ａ
（ ｂ）
又 因 当 ｒ ｚ 限 增 大 时所 有 的位 移 和 应 力分 和 无 量都 趋近 于零 ， ： 即
Ｗ，
， ， ， ：，
＋１ｄ 一１ｄ） 、 ｄ 一 ） ４ ３ ｄ＋ ３（＋ ＋／ ｌ ＠＋ ｄ ３ ｄ ６】 ＋ ， 卜
２
将 （） ３ 式代 入 （ ） ２ 式即 可得 到应 力分量 与位 移 函
力分 量 的一般 表达 式 （ 此仅 列 出 ， ， ： 在 Ｗ， ）
式
中
采 用位 移 法 求 解 弹 性 空 间 问题 的 关键 是 确定
＝
合 适 的位 移 函数 ， 它 满足 与 其相 应 的 位移 分 量 关 使
ｗ ＝ 一
｛一 ）一 【 ８ （ ＆ｏ １
＋ ＋ ）＋ ｏ ［ Ｄ ］ （ ＆ ０Ｃ １
ｐ 为均 布荷 载集 度ｐ ＝
。
７ ｒ ｒ０
增大 时 满足 （ ） 的要求 。 ｄ式 将 Ｃ ＝ 。 ０和 ｚ Ｏ代入 （ ） 中 的 和 Ｉ的积 ｏＯ： ＝ ８式 分 表 达式 ， 同时利 用 Ｈａｋ ｌ 换 ， 表面 边 界 条 件 ｎ ｅ变 则
（）（ ） 写成 以下 形 式 ： ａ， 可 ｂ
） ｄ １ ｅ
系。 文献Ⅱ 寸Ｌ ｖ 位移 函数重新修正后的位移 函数为 ： ｑ ｏｅ 叉
一
肌 ｚｃｃＤ 州 ＋ ｌ ＋＋ ｅ（ ｏ ０ ｓ ｚ
Ｏｒ
ｚ
一 【 ＋２ （ ＋＋］ ｌ Ｊｏ（ ３ ｑ 肌） ） 熹 砂
ｗ ＝
由 （ ） ３ 式可 求得 与工 程弹 性 常数 有 关 的常 １ 一（ ） 数 ａｂ及横 观各 向 同性 轴 对称 问题 的相容 方程 ： ．
第 １ ４卷第 ５ 期
２１ ０ ２年 １ Ｏ月
黄 山 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＨｕ ｎ ｓ ａ Ｕｎｖ ｓｔ ｉｅｒｉ ｙ
Ｖｏ ．４ ＮＯ． １１ ． ５ ０ｃ ．０ ２ ｔ １ ２
圆面积上作用垂直荷 载 下横观各 向 同性地基 的统一解
高 雪 冰 ， 志林 顿
新 修 正 ， 用位移 解 法的基 本 原理 ， 用 Ｈ ｎ ｅ 积 分 变换 和 其反 演 变换 以及 Ｂ ｓｅ 函数 理论 ， 到 了当材料 采 利 ａｋｌ ｅｓｌ 得
特 征 值 ｓ ｓ ｓ时 ， 面积 上 作 用垂 直 荷 栽 下 的横观 各 向 同性地 基 问题 的统 一 解 ， ｌ： ＝＝ 圆 为求 解 圆 面积上 作 用 任 意
１ 基 本 方 程
向 同性 地基 问题 的位移 和 应力统 一 解 。
性 土 、 岩 等 ， 同 薄 层 内 的矿 物 成 份 及 物 理 力 学 页 不 性 质是 不 同 的。Ｓｍｏ ｓＫ ｎ ，ｅ ａｕ ￣ １ ｉ ｎ ， ｉｇ Ｓｌ ｄ ｒ ｌ 等许 多 学 ｖ － ３ 者 认 为 成 层 均 匀 的横 观 各 向 同 性 弹 性 半 空 间可 以
数之 间 的关 系为 ：
一
丁：
，
］ ＝０
（ ｃ ） （ ｄ ）
鲁ａ 【 。
寺 导
。
鲁ｃ ＇ ＋等 ｚ ｏ ）
＋ｏ ｃ 导 ’ （ ） ｚ ６ ）
ｃ，， ）ｒ ｏ ｒ － ｚ－＝ ，ｏ ＂］ ｏ ／ ｚ
ＰＯ （
— ， ｒ● ＼
０
一
一
［ 等＋
述 ， 此仅 对 Ｓ Ｓ ｓ 在 Ｉ 。 这一 特殊 情况 进行讨 论 。 ＝＝ ２１ 位移 和应 力分 量 的一般 表达 式 ． 对相容 方 程 （ ） 进行 Ｈａ ｋｌ ５式 ｎ ｅ 积分 变换 及 其 反
演公 式 ， 即可得 ：
Ｅ ， 为垂 直横观 各 向 同性 面 （ 轴 方 向 ） ｚ 内的弹
发 ，于 １ ５ ９ ４年 系 统 地 推 导 了 Ｌ ｋ ｎｔ ｉ解 ；国 内 ｅ ｈ ｉｋｉ ｓ 胡 海 昌 。１ 皓 江 ，Ｊ 炜 ｌ 对 此 问 题 也 做 了大 量 ［ ６ 丁 【 ７ 王 ８ ］ 等 的工 作 。 文献 ［ ９ １ 几 种 常 见轴 对 称 荷 载下 特 殊 横 观 各 已对
Ｅ ２
＝
箍 一，嚣 ．ｅ ｄｏ ｌ－ ３
Ｅ ， 为 横 观 各 向 同性 面 （ｏ ， ｘ ｙ平 面 ） 的弹 性 内
根据 材料 特 征 值 ｓ ｓ之 间 的关 系 有两 种 情 况 ， 、
对 于 材 料 特 征 值 ｓ≠ｓ时 ， 献 ㈣已作 了 详 细 的论 。 ： 文
—
—
ａ
格
Ｏｒ ２
４。（＋ ＆ ＋ｃ ｏｚ＊Ｓ ） ｏ［ ） （＋ｄ） ｌ ｄ 。Ａ ｆ ｃ ｅ ｒ∈
ｌ
：
，
反：
＋ （ ４）
由于 ， Ｃ， Ｂ， Ｄ是 的函数 ，上式 中 Ａ 一 ， 。Ａ ３ ＝ － Ｂ
Ｂ ， Ｃ Ｃ ， Ｄ Ｃｚ
Ｚ１
ｒ
ｚ万 。 ＋ 卜。 ｒ ， 。 Ｊ。 （’ Ｉ 【 等＋ 一 Ｉ， 筹 ， ｚ ）
图 １ 轴 对 称 垂 直 荷 载 作 用 下 横 观 各 向 同性 地 基
第 ５期
高 雪冰， ： 等 圆面积上 作 用垂 直荷 栽 下横观 各 向 同性地 基 的统 一解
收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — ２ ２ １ — ７ １
由
． ｒ
［ 、 鲁＋ 一 一
基 金 项 目 ： 山 学 院 自然科 学研 究 项 目（０ ７ ｋｑ０ ） 黄 ２ ０ｘｊ ０ １ 作 者 简 介 ： 雪 冰 （９ ０ ， 南永 城 人 ， 山 学 院建 筑 工程 学 院教 师 ， 士 ， 究 方 向 为 岩 土 工 程 。 高 １ ８ －）河 黄 硕 研 顿 志 林 （９ ４ ， 南 杞 县 人 ， 南 理 工 大 学 教 授 ， 士 ， 究方 向为 岩 土 工程 。 １６ －） 河 河 硕 研
表 示范 围广 泛 的地基 。其 中弹 性体 轴 对称 应 力分析
问题在 工程 中有 重 要 意 义 ， 苏联 学 者 Ｌ ｋ ｎｔ ｉ １ ｅ ｈ ｉｋｉ于 ｓ ［ ４
程为（ 不考 虑体 积 力 ） ：
皇 ， ａ ． ［ ：０ ．ｒ 一 ！ Ｉ
Ｏｒ
Ｏ ＋ｒ Ｉ ㈩ ＋ 。｝ ： － ０
性模 量和 泊松 比 ：
Ｇ 为 垂直横 观 各 向 同性 面 （ 轴方 向 ） 的剪切 ： Ｚ 内
模量 。
只 要 测定 出横 观 各 向 同性 地 基 的 ５个 独 立 的 工程 弹 性 常 数 、
参数 的值 。
２ 位 移 解 法
（ｚ＝ ＋ ￣ｅ （ Ｄｚ 啦Ｉ ∈ ） （ Ｂ ） ＋ ＋ ｝ｅ ， ｚ一 ）