直井五点井网流场研究

d y x d
图 1-4 五点井网计算单元示意图
轴为 0 排，向上 m >0。利用单一交错井排的结果，五点井网的压力分布就是无 穷多个单一交错井排压力分布的叠加。注意到利用公式（1-2）中（纵坐标向右 平移 d/2） ，则压力分布公式：
πy πx ⎤ ⎡ cosh − sin ⎥ ( + q )μB ⎢ d d + C ， sin(α ± π / 2) = − cosα P ( x, y) = ln ⎢ y x⎥ π π 4πkh ⎢ cosh + sin ⎥ d d ⎦ ⎣ πy πx cosh − cos ( + q ) μB d d P ( x , y) = − ln y x π π 4πkh cosh + cos d d π ( y − md ) πx ⎤ ⎡ cosh − cos ⎥ ∞ ⎢ ( + q ) μB d d − ( −1) m ∑ ln ⎢ ( y − md ) x⎥ π π 4πkh m =1 ⎢ cosh + cos ⎥ d d ⎦ ⎣ π ( y + md ) πx ⎤ ⎡ cosh − cos ∞ ⎢ ( + q ) μB d d ⎥+C − ( −1) m ∑ ln ⎢ π ( y + md ) πx ⎥ 4πkh m =1 ⎢ cosh + cos ⎥ d d ⎦ ⎣
对正井排、七点井网等稳态压力求解问题。
(1-3b)
坐标原点取在注水井上与取在生产井上，结果相差一个符号。该方法可以讨论
1.4 五点渗流速度场
使用如下无量纲量
PD =
2πkh( pin − pi ) l ； l D = ， 0 ≤ l D ≤ 1 ， l = x, y qμB d
2 PD ( x D , yD ) = ln
cosh πyD − cos πx D cosh πyD + cos πx D (1-3c)
∞ ⎡ cosh π ( yD − m ) − cos πx D ⎤ + ( −1) m ∑ ln ⎢ ⎥ m =1 ⎣ cosh π ( yD − m ) + cos πx D ⎦ ∞ ⎡ cosh π ( yD + m ) − cos πx D ⎤ + ( −1) m ∑ ln ⎢ ⎥ m =1 ⎣ cosh π ( yD + m ) + cos πx D ⎦
(1-6a)
利用数学公式：
∫ a+x
1
2
dx =
1
a
arctan
x a
，a > 0
arctan( − x ) = − arctan( x ) ， sinh( − x ) = − sinh x
得到：
− sinh πy D sin πx D 2πhφ ψ ( x D , yD ) = arctan 2 qB sinh πy D sinh 2 πy D sin πx D ⎡ sinh π ( y D − m ) ⎤ arctan ⎢ ⎥ 2 2 ∞ sinh π ( y D − m ) sinh π ( y D − m ) ⎥ m⎢ + ∑ ( −1) ⎢ ⎥ sinh π ( y D + m ) sin πx D m =1 arctan ⎢+ ⎥ 2 2 ⎢ ⎥ + + sinh π ( y m ) sinh π ( y m ) D D ⎣ ⎦
(1-4b)
利用 Dupuit-Forchheimer 关系式，通过渗流速度能够得到质点平均运动速度， 进而可以得到流函数。渗流速度场的计算如图 1-5 所示。
图 1-5 五点井网渗流速度场
1-5 五点井网流谱
对于均匀介质渗流情形，在有些情况下平面流动和空间轴对称流动能够用 一个相对简洁的解析函数——流函数表示出来。平面流函数的概念是 Lagrange （1781） 研究不可压缩流体平面流动时建立的。 任何一个平面流动总可以用一个 流函数 ψ(x, y ; t)来表示；反之，任何一个流函数 ψ(x, y ; t)总可以表示一个可能 出现的平面流动。 在平面稳态流动中，Euler 连续性方程可以简化为：
图 1-1 五点井网示意图
l y x
d
1.1 单一注采井排压力分布
通过平行断层系统镜像反演方法，可以得到单一注、采井排的压力分布。 如图 1-2 所示，对于刚性流体，考虑在厚度为 h、间 距为 2d 的两平行断层均质地层系统中，孔隙度、渗 透率皆为常数，在断层中央有一口产量为（±q）的工 作井，坐标原点位于某一井点处，其镜像反演结果为 平面无穷井列。稳态压力分布为： PIn/Out ( x , y ) = C + ( ± q )μB ⎡ πy ⎛ πx ⎞ ⎤ ln ⎢cosh − cos⎜ ⎟ ⎥ 4πkh d ⎝ d ⎠⎦ ⎣
(1-2)
1.3 普通直井五点井网压力分布
如图所示，五点井网是常用的面Baidu Nhomakorabea布井矩形井网，具有较强的灵活性，其注 采井距等于井排距。若注采井距不等于井排距， 则 是 交 错 布 井 的 线 性 井 排 （ Staggered Linear Drive） 。 如图 1-4 所示，取坐标原点位于一口注水井 中心，坐标轴通过代表性单元的对角线，井网单 元是的边长为√2d 的正方形。 设 m 为排数， 以x
2d 2d
y
x x
图 1-2 单一注采井排示意图
(1-1)
式中，C 为待定常数，具有压力量纲；式（1-1）称为贝塞特方程（Hurst，1979） 。
1.2 单一交错井排压力分布
交错井排是注水井和生产井相间排列构成的，如图 1-3 所示，这其实是一口 生产井在两平行定压边界情形下的镜像反演问题， 可 以等效地看成是一个间距为 2d 的生产井排与另一个 间距为 2d 的注水井排加和而成， 合成后成为间距为 d 的生产井和注水井交错布置的单一交错井排， 取两井 连线中点为坐标原点，则： P ( x , y) = + 结果为： ( + q )μB ⎡ πy ⎛ π ( x − d / 2) ⎞ ⎤ ln ⎢cosh − cos⎜ ⎟⎥ + C1 4πkh d d ⎝ ⎠⎦ ⎣ ( − q )μB ⎡ πy ⎛ π ( x + d / 2) ⎞ ⎤ ln ⎢cosh − cos⎜ ⎟⎥ + C 2 4πkh d d ⎠⎦ ⎝ ⎣
ψ ( x D , y D ) = − ∫ v y dx + C = −
利用（1-4b）得到：
−
qB v yD dx D + C 2πhφ ∫
sinh πy D ⋅ d sin πx D 2πhφ ψ ( x D , yD ) = ∫ qB sinh 2 πy D + sin 2 πx D
∞
⎡ sinh π ( y D − m ) ⋅ d sin πx D sinh π ( y D + m ) ⋅ d sin πx D ⎤ + ∑ ( −1) m ∫ ⎢ + ⎥ 2 2 2 2 m =1 ⎣ sinh π ( y D − m ) + sin πx D sinh π ( y D + m ) + sin πx D ⎦
(1-5)
由此可知，在流场中存在这样一个函数 ψ(x, y ; t)，它满足（1-5），称 ψ(x, y ; t) 为流函数，其中 t 为参变量，流函数的量纲是[L2/ T]。若能够完成下列积分：
ψ = − ∫ v y dx + C 或 ψ = ∫ v x dy + C
则可以得到流函数的解析表达式。 在本文中，根据无量纲量的定义，求流函数的公式可以写为：
2d
y
x
图 1-3 单一交错井排示意图
πy πx ⎤ ⎡ − cosh sin ( + q )μB ⎢ d d ⎥ + C ， cos(α ± π / 2) = m sinα P ( x, y) = ln ⎢ πy πx ⎥ 4πkh ⎢ cosh + sin ⎥ d d ⎦ ⎣
这里，C 仍为待定常数，具有压力量纲。
−
v xD cosh πy D = 2 π sin πx D cosh πy D − cos 2 πx D
∞
⎡ ⎤ cosh π ( y D − m ) cosh π ( y D + m ) + ( −1) m ∑ ⎢ + ⎥ 2 2 2 2 cosh π ( y D + m ) − cos πx D ⎦ m =1 ⎣ cosh π ( y D − m ) − cos πx D
普通直井五点井网流场及其水驱油数值模拟
对于工作制度不变的、规则的注采井网，在注采平衡条件下储层中流体的 运动可以用稳态渗流理论描述。通过建立和求解稳态渗流数学模型，能够得到 井网的压力场，利用压力场可以求得渗流速度场，进而求得流谱。 考虑由普通直井组成的常规五点井网，如图 1-1 所示。五点井网是最常用的 面积注水开发井网， 其井网单元由一口注水井和四 口采油井组成，注采井数比为 1:1。一般认为五点 井网水驱控制程度高，后期能够灵活调整。 取注水井点为坐标原点，将间距为 2d 的生产 井排和注水井排交错排列，则产生单一交错井排， 普通直井的五点井网是无限多个均匀排列的交错 井排叠加之结果，则通过叠加原理得到压力场。
若原点位于一口生产井中心，压力分布公式为：
(1-3a)
πy πx cosh − cos ( + q ) μB d d ln P ( x , y) = πy 2πx 4πkh cosh + cos d d π ( y − md ) πx ⎤ ⎡ cosh − cos ⎥ ∞ ⎢ ( + q ) μB d d ( −1) m ∑ ln ⎢ + π ( ) π y − md x⎥ 4πkh m =1 ⎢ cosh + cos ⎥ d d ⎦ ⎣ π ( y + md ) πx ⎤ ⎡ cosh − cos ⎥ ∞ ⎢ ( + q ) μB d d +C ( −1) m ∑ ln ⎢ + π ( ) π y + md x⎥ 4πkh m =1 ⎢ cosh + cos ⎥ d d ⎦ ⎣
− 2v xD = 2
π sin πx D π sin πx D ∂PD = + ∂x D (cosh πy D − cos πx D ) (cosh πy D + cos πx D )
∞ ⎡ ⎤ π sin πx D π sin πx D + ( −1) m ∑ ⎢ + cosh π ( y D + m ) + cos πx D ⎥ m =1 ⎣ cosh π ( y D − m ) + cos πx D ⎦ ∞ ⎡ ⎤ π sin πx D π sin πx D + ( −1) m ∑ ⎢ + cosh π ( y D + m ) − cos πx D ⎥ m =1 ⎣ cosh π ( y D − m ) − cos πx D ⎦
∂ (− v y ) ∂v ∂v x ∂v y + = 0， x = ∂y ∂x ∂y ∂x
由高等数学可知，这是表达式(-vydx+vxdy)为某个函数 ψ(x, y; t)的全微分之充要 条件，这时有：
dψ = v x dy − v y dx =
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ dx + dy ， v x = ， vy = − ∂x ∂y ∂y ∂x
−
v yD
π cos πx D
∞
=
sinh πy D cosh πy D − cos 2 πx D
2
⎡ ⎤ sinh π ( y D − m ) sinh π ( y D + m ) + ( −1) m ∑ ⎢ + ⎥ 2 2 2 2 cosh π ( y D + m ) − cos πx D ⎦ m =1 ⎣ cosh π ( y D − m ) − cos πx D
− 2v yD = 2 − ( −1) m ∑ + ( −1) m ∑
∞ ∞
(1-4a)
∂PD π sinh πy D π sinh πy D = − ∂y D (cosh πy D − cos πx D ) (cosh πy D + cos πx D )
∞ π sinh π ( y D − m ) π sinh π ( y D + m ) − ( −1) m ∑ m =1 cosh π ( y D − m ) + cos πx D m =1 cosh π ( y D + m ) + cos πx D ∞ π sinh π ( y D − m ) π sinh π ( y D + m ) + ( −1) m ∑ m =1 [cosh π ( y D − m ) − cos πx D ] m =1 [cosh π ( y D + m ) − cos πx D ]