匀速圆周运动知识点解析

匀速圆周运动知识点解析
1．匀速圆周运动的定义
(1)轨迹是圆周的运动叫圆周运动。

(2)质点沿圆周运动，如果在相同时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。

(3)匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，也是最基本的曲线运动之一。

(4)匀速圆周运动是一种理想化的运动形式。

许多物体的运动接近这种运动，具有一定的实际意义。

一般圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)看成是匀速圆周运动。

2．周期
(1)物体做匀速圆周运动时，运动一周所用的时间。

(2)周期用符号T表示，单位是秒。

(3)周期是反映重复性运动的运动快慢的物理量。

它从另一个角度描述了物体的运动。

3．线速度
(1)物体做匀速圆周运动时，通过的弧长s跟通过这段弧长所用时间t的比值，叫运动物体线速度大小。

线速度的方向为圆周上某点的切线方向。

(2)线速度的计算公式：
(3)线速度的意义：线速度实质上还是物体某一时刻的瞬时速度，虽然是用弧长和时间的比定义了速度大小，但当时间t趋于零时，弧长和
为区别角速度而取名为线速度。

4．角速度
转过这些角度所用时间t的比值，叫物体做匀速圆周运动的角速度。

(2)角速度计算公式：
(3)角速度单位为：弧度/秒(rad/s)。

(4)角速度是矢量，方向为右手螺旋法则的大拇指的指向。

(5)角速度是描述转动快慢的物理量。

在描述转动效果时，它比用线速度描述更具有代表性。

5．向心加速度
(1)匀速圆周运动的加速度方向
匀速圆周运动的速度大小不变，速度的方向时刻在变，由于速度方向的变化，质点一定具有加速度，该加速度反映速度方向变化的快慢，该加速度的方向沿着半径指向圆心。

设质点沿半径是
r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻它处于A点，速度是vA，经过很短时间Δt后，运动到B点，速度为vB。

根据矢量合成的三角形法则可知，矢量vA与Δv之和等于vB，所以Δv是质点
在A点时的加速度。

如图4-20。

时
Δv便垂直于vA。

而vA是圆的切线，故Δv是指向圆心的。

即A点加速度指向圆心，所以匀速圆周运动的加速度又叫向心加速度。

(2)向心加速度的大小
从图
中看出，图乙中的矢量三角形跟图甲中的△OAB是相似形。

如果用v表示vA、vB大小，则
或 a=ω2r
(3)匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。

(4)上述加速度是匀速圆周运动情况下推导的，仍然适应于一般圆周运动，式中的v、ω必须用瞬时值。

6．向心力及实例分析
(1)使物体产生向心加速度的力叫向心力。

①向心力的来源：向心力不是接力的性质命名的力，它是一种效果力。

当分析做圆周运动的物体受力时，只能分析接力的性质命名的力，决不能在分析场力、弹力、摩擦力的同时，再考虑向心力。

向心力是物体所受各个力的合力。

②向心力的作用效果：向心力产生向心加速度，即只能改变速度的方向，维持物体做匀速圆周运动。

③向心力大小的计算公式：
由牛顿第二定律：
(2)实例分析
做圆周运动的物体，都需要向心力，向心力是物体所受各种力的合力。

例如，水平放在匀速转动的唱片上的物体，在随唱片一起转动时，做匀速圆周运动。

物体所受的向心力是物体和唱片之间的静摩擦力，如图
4-21所示。

自行车在水平路面上转弯时，做圆周运动的向心力由重力及地面给自行车的作用力提供
，或者说是地面给自行车的静摩擦力提供，如图4-22所示。

7．离心现象及应用
(1)离心运动。

物体做圆周运动需要向心力。

质量为m的物体以角速度ω沿半径是r的圆周运动。

若向心力为mω2r，则物体维持圆周运动；若向心力小于mω2r，则不足以将物体拉到圆周上，物体离
圆心越来越远；若向心力突然消失，则物体由于惯性沿切线方向飞出。

这种物体离圆心越来越远的现象叫离心现象。

做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者合外力不足以提供所需的向心力时将做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。

(2)离心现象的应用
利用物体做圆周运动所需向心力不足时，做离心运动的现象，可以做成离心机械，如脱水器，分离器等。

【例
1】机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为A．1分钟 B．59/60分C．60/59分 D．61/60分
【分析思路】
解该题时，不少同学简单认为只要秒针转一圈，则分针与秒针就第二次重合，而忽视了在这段时间分针也要转过一个角度。

考虑到分针和秒针的同时运动，当第二次重合时，它们转过的角度应相差2 kπ。

【解题方法】
由公式φ=ωt求出时间t内分针和秒针转过的角度，令两角度之差为2π，求解时间t。

【解题】
由于秒针每转一周所用时间为1分钟；分针转一周所用时间为60分钟。

所以角速度分别为：
设经过时间t两针再次重合，则ω1t-ω2t＝2π
选答案C。

【例2】
在水平放置的可旋转的平台上面放一劲度系数为k，质量可忽略不计的轻弹簧。

它的一端固定在轴上，另一端拴一质量为m的小物体A，这时弹簧没有形变，长为L0，如图所示。

A与盘面间的动摩擦因数为μ，且设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

盘由静止起转动，角速度逐渐增大。

(1)当盘以某角速度ω
0旋转时，A相对盘面滑动，求ω0。

(2)当角速度为ω1时，求A随盘作圆周运动的最大半径l1。

(3)当角速度由ω1减小时，物体能在半径为L1的原轨道上作圆周运动，求这时角速度ω2。

【分析思路】
如图所示。

物体A随盘一起转动做圆周运动时，向心力由弹簧和静摩擦力提供。

静摩擦力的大小随着外界条件的变化而发生变化，方向随着运动趋势的不同而不同。

当ω较小时仅静摩擦力足以提供向心力；随着ω增大，向心力不足，则物体做离心运动，弹簧伸长，产生弹力，合力提供向心力；当ω再次减小时，首先由静摩擦力减少，当静摩擦方向改变时，弹力才能再次发生变化。

【解题方法】
对作匀速圆周运动的物体A按照不同情况，分析它所受的提供向心力的弹力和静摩擦力的大小和方向。

根据牛顿第二定律列出物体做圆周运动对应的方程。

【解题】
(1)当盘以ω0旋转时，A则要滑动，弹簧没有发生形变，向心力由静摩擦力提供，在A相对盘面将滑动时为最大静摩擦力fmax。

在r＝L0处，A与盘相对静止，随盘一起转动的角速度范围为0＜
(2)当ω＞ω0时，A作圆周运动的向心力增加，仅最大静摩擦力已不够，A沿半径向外滑动，使弹簧伸长而产生弹力，弹力随半径的增大而增大。

到ω＝ω1时，A增大到最大半径L1随盘一起转动。

由牛顿第二定律可列出：
(3)在半径为L1，角速度减小时，静摩擦力由最大值减为一般值。

到ω=ω′时，f=0，仅弹力提供向心力。

由牛顿第二定律：
k(L1-L0)=mω′2L1
当角速度再继续减小时，弹力提供向心力已超过向心力，
A有向圆心滑动的趋势，因而造成静摩擦力的方向变成沿半径向外。

当ω减小到最小时，静摩擦力又达到最大值。

记这时的ω=ω″。

由牛顿第二定律：
k(L1-L0)-μmg＝mω″2L1
把已求出的L1代入上式得：
本题所求ω″＜ω2＜ω′。

【例3】
质量为m的小球，系在细棍的一端，手握细棍的另一端使小球在竖直平面内作匀
速圆周运动，如图4-25所示。

圆半径30厘米，线速度为2.1米/秒，比较小球通过
最高点和最低点时细棍对球的拉力。

(不计细棍质量)
【分析思路】
由于杆作用于球上，所以球可以匀速转动，分析清球在最高点及最低点受力，应
用向心力公式即可求解。

应当泣意杆能提供各种方向的力。

【解题方法】
对球在最高点和最低点受力进行分析，假定杆给球的力的方向，按指向圆心方向为正，列牛顿第二定律方程求解。

【解题】
小球经过最高点A时，向心加速度向下，所以棍对小球的拉力T A和小球受的重力mg的合力方向向下，有：
T A+mg=mv2/R
小球经最低点
B时，向心加速度的方向向上，所以棍对小球的拉力TB和小球受的重力的合力方向向上。

由牛顿第二定律
T B-mg＝mv2/R
则T A/T B=4.9m/24.5m＝1/5
下面对进行讨论：
当小球运动的线速度增大时，由
(1)(2)二式可知，TB、TA都要增大。

在最低点B，当小球线速度减小时，由①式知TB减小，当v接近于零时，棍在B点对小球的拉力接近于小球的重力。

在最高点A点，当v减小时，
力提供向心
力)，若小球运动的线速度继续减小，由(2)式知TA为负值，这时棍给小球的力是向上的支持力。

当v 减小到零时TA=-mg，即对细棍上的物体在竖直面内做圆运动，运动的速率是没有要求的，可人为控制。

而若用绳子代替细棍，绳对小球只能提供拉力，在小球运动到最高点时不可能给小球向上的力。

这就是说用绳子维持小球做圆周运动，经过最
内除最高点和最低点合力方向沿绳指向圆心外，其余位置合力方向不是沿绳即沿半径指向圆心，如图
4-26所示，合力的作用效果即改变速度的方向，又改变速度的大小，所以绳子维持小球在竖直平面内做圆周运动一定是变速圆周运动。

【例
4】一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ=30°，如图4-2 7所示，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可视为质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平面内的匀
【分析思路】
物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。

当ω增大，T、N都发生变化，且T增大，N减少，当ω大到一定值时，物体将离开锥面做圆锥摆运动。

显然当N=0时的线速度值为物体的临界速度。

通过比较已知速度与临界速度的关系讨论出物体所处的状态，由物体的受力列出相应的牛顿方程求解。

【解题方法】
由物体的受力分析，令N＝0求出物体的临界速度，比较临界速度与v1、v2的关系，分清物体在不同情况下的受力，然后应用牛顿定律求解。

【解题】
如图所示，设物体在圆锥体上做匀速圆周运动，物体受绳对它的拉力T，重
力为G，锥面的支持力N。

因为物体做匀速圆周运动，所以三个力的合力必沿
半径指向圆心，是物体做圆运动的向心力。

将三为沿水平方向与竖直方向分
解，据牛顿第二定律：
由①式知，当
v增大时，所需的向心力∑Fx要增大，式中θ，m，r一定，只能使T增大，因同时要保证②式成立，N将减小，当v增大到某一值时，N减小为0，当v继续增大时，物体将离开锥面，θ，r都变大，此时物体做圆锥摆运动。

先求物体能在圆锥体上做水平匀速圆周运动的最大速度
vm，此时
由①②两式得：
(1)因v1＜v m，物体在圆锥体上做圆运动满足方程
联立③④得：
(2)因v2＞vm，此时物体离开了圆锥体，摆线与轴线的夹角α＞30°，N=0。

受力分析如图4-29所示，满足下列方程：
将⑥式代入得T＝2mg
【说明】此题第二问中学生最易出现的错误是角度仍然使用θ，或半径记为
R＝L·sinθ。

这点要引起注意。

【例5】
一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O为a处放有小物体(可视为质点)，杆与其上小物体最初均处于静止状态，如图4-30所示，若此杆突然以角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？
【分析思路】
物体相遇的条件是在相同的时间内物体的路程或位移相等。

本题中是物体自由下落的位移与由于杆的转动而引起的相同时间内的杆的两位置与B所在竖直线交点间的距离相等，从图)中看出，此最大距离为BD长，即atgθ1。

物体做自由落体，起始速度较小，速度逐渐变大。

而杆在匀速转动，在相同时间内，BC大于自由落体高度，当两者相等时则相遇，相遇的最大距离为BD，即为ω的最大值。

若ω再增大时，当物体落至D点时，杆已转过OD位置。

则此时不可能相碰，但当ω再增大时，即在物体没有到达D之前杆可能再次转入∠AOD区域。

这种情况物体与杆也能相碰，这种情况相遇的最长时间是在D点相遇，此时的ω为这种情况的最小值，只要ω大于该值均能在∠AOD区域内相碰。

如图。

【解题方法】
应用自由落体求出物体下落到D点所用的时间，再由圆周运动求解出杆到OD所用的时间。

相遇具有距离相等，同时还具有等时性。

【解题】小物体作自由落体运动，在时间t里下落BC=atgθ=
此时A点转过角度θ=ωt，
可见在不同的角度θ时相遇要有不同的ω值，小物体追上杆的临界情况是在
D点相碰，所以有：
消去时间t有：
若ω很大时，即转一圈后追上小物体并与小物体相碰，如图4-31(b)所示。

此为第二种情况相遇的最小角速度。

故物体与杆相遇的条件是：ω≤ω1或ω≥ω2
例6在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则 [ ]
A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大
B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小
C．当转台转速增加时，C最先发生滑动
D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动
分析
A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为
a A=aB＜aC．
A错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即
f=Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
f A=mAω2rA=2mω2r，
f B=mBω2rB=mω2r，
f C=mCω2rC=mω2·2r=2mω2r
即物体B所受静摩擦力最小．B正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即μmg=mω2mr，
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于
rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．
答B、C．
例
7如图4-14光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距l0=0.1m．长l=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m/s 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．
若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
分析
小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变．
解
小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小．
令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为
说明
圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义．对本题，还应熟练掌握数列求和方法．
如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？
例
8如图4-15所示，OA是一根长l的均匀细杆，可绕通过O端的水平轴在竖直平面内转动，在杆上离O为a 处有一小物体．当杆从水平位置突然以角速度ω绕c轴匀速转动时，为使小物体与杆不相碰，杆转动的角速度最小值为多少？
分析
杆突然转动后，小木块做自由落体运动．如果在杆的转动时间t内，杆端A恰好转到小物体的正下方A′处使小物体与杆端相碰，即杆转过θ角的时间与小物体自由下落高度h的时间相等（图4-16）．此时杆所对应的角速度应是两者相碰的一个临界值．杆的角速度稍增大些，
小物体就不会与杆相碰．
设小物体恰与杆端相碰时，杆转过的角度为θ，则转动时间
小物体下落高度h的时间为
刚好相碰时，t1=t2，即
这也就是小物体与杆不相碰时，杆转动的角速度的最小值．
说明
显然，杆的角速度也必须小于某个最大值（设为ωmax），否则小物体有可能在杆转动1周后再与杆相碰．即要求小物体与杆不相碰，杆的角速度ω应满足如下条件：
ωmin＜ω＜ωmax．
如何计算ωmax，请同学们根据圆运动的周期性加以讨论．。