自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)

7. f (e )e dx = f (e )d (e );
x x x x
8. f (tan x ) sec xdx = f (tan x )d (tan x ); 9. f (arctan x ) 1 2 dx = f (arctan x ) 1+ x d (arctan x ).
2
完
高等数学
第一类换元法(凑微分法 第一类换元法 凑微分法) 凑微分法 问题 ? e 2 x dx ≠ e 2 x + C ∫
解 利用凑微分公式 dx = 1 d (ax + b ), 所以
a
1 ( 2 x + 1)10 ( 2 x + 1)′dx ∫ (2 x + 1) dx = 2 ∫ 1 ( 2 x + 1)10 d ( 2 x + 1) = ∫ 2 2x + 1 = u 1 1 ⋅ u11 + C 10 ∫ u du = 2 11 换元 2
7. f (e x )e x dx = f (e x )d (e x );
常 见 凑 微 分 公 式
6. f (sin x ) cos xdx = f (sin x )d (sin x );
7. f (e x )e x dx = f (e x )d (e x );
常 见 凑 微 分 公 式
6. f (sin x ) cos xdx = f (sin x )d (sin x );
注: 一般情形: 一般情形
sin 1 x dx . ( 2) ∫ 2 x
∫
∫
f ( e x ) e x dx = ∫ f (e x ) d (e x );
完
f 1 12 dx = − ∫ f 1 d 1 . x x x x
例 9 求不定积分
例7
求下列不定积分
(1) ∫ 2 1 2 dx ; a +x
解 (1) 原式
1 ( 2) ∫ 2 dx . x − 8 x + 25
1 arctan x + C ; = a a
(2) 原式 =
1 1 dx = 12 ∫ dx 2 ∫ ( x − 4) 2 + 9 3 x − 4 +1 3
= −(cos x ) 2 + C .
一般情形: 注: 一般情形 ∫ f (sin x) cos xdx = ∫ f (sin x ) d sin x. ∫ f (cos x) sin xdx = − ∫ f (cos x)d (cos x).
完
例 10 求下列不定积分
(1) ∫ sin 3 x dx ;
第一类换元法(凑微分法 第一类换元法 凑微分法) 凑微分法
e 2 x dx = 1 ∫ e 2 x d ( 2 x )u = 2 x 1 ∫ e u du = 1 e u + C ∫ 2 2 2 1 e2x + C = 2
第一类换元法(凑微分法 第一类换元法 凑微分法) 凑微分法
1 e 2 x d ( 2 x )u = 2 x 1 e u du = 1 e u + C ∫ e dx = 2 ∫ 2∫ 2 1 e2x + C = 2 一般地, 一般地,设 f (u) 具有原函数 F (u),即
则有换元公式
∫ f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx = [∫ f (u)du]u=ϕ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g( x )dx
化为 f [ϕ( x )]ϕ′( x )dx .
∫
例 1 求不定积分
( 2 x + 1) 10 dx . ∫
e3
∫
f ( x ) 1 dx = 2 ∫ f ( x ) d ( x ). x
完
例7
求下列不定积分
1 ( 2) ∫ 2 dx . x − 8 x + 25 1 dx 2 1+ x a 1 d x = 1 arctan x + C ; = 1∫ 2 a a x a a 1+ a 1 1 (2) 原式 = ∫ dx = 12 ∫ dx 2 2 ( x − 4) + 9 3 x − 4 +1 3 (1) ∫ 2 1 2 dx ; a +x 解 (1) 原式 = ∫ 12 ⋅ a
复习： 复习： 凑微分
1 部分常用的凑微分: 部分常用的凑微分: (1) dx= a d(ax+b); 1
(2) x dx =
n
n +1
d (x
n +1
);
1 dx = x
(3)
2 d(
x);
1 1 (4) dx = − 1 d ( ); 2 x x 1 dx = 1 d (ln x); (5) x (6) e x dx = 1 d (e x );
' (e )
2x
观察 从公式 e u du = e u + C ,令u = 2x ,则有
∫
= 2e ≠ e
2x
2x
∫e
2x
d (2 x ) = e
2x
+C
∫ e dx ≠ e + C
2x 2x
解法 可将微分dx 凑成 1 d ( 2 x )的形式,即 的形式,
2 dx = 1 d ( 2 x ) 2 e 2 x dx = 1 ∫ e 2 x d ( 2 x )u = 2 x 1 ∫ e u du = 1 e u + C ∫ 2 2 2 1 e2x + C = 2
解 (1)
tan x dx = 2 tan x d ( x ) ( 2) ∫ ∫ x sin x d ( x ) = 2∫ cos x
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)
∫Fra Baidu bibliotek
∫
e3
x
x
x
x
dx ;
( 2)
∫
tan x dx . x
e3
dx
2 e 3 x + C; = 3 tan x dx ( 2) ∫ x sin x d ( x ) = 2∫ cos x
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)
∫
e3
x
x
x
dx ;
( 2)
∫
tan x dx . x
一般情形: 注: 一般情形
dx = 2 e 3 x + C ; ∫ x 3 ( 2) ∫ tan x dx = 2 ∫ sin x d ( x ) x cos x 1 d (cos x ) = −2 ln cos x + C . = −2 ∫ cos x
一般情形: 注: 一般情形 ∫ f (ln x ) 1 dx = ∫ f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)
∫
∫
e3
x
x
x
x
dx ;
( 2)
∫
tan x dx . x
e3
dx = 2 ∫ e 3 x d ( x )
2 e 3 x d (3 x ) = 2 e 3 x + C; = ∫ 3 3
2x
则
∫ f ( u)du = F ( u) + C , ∫ f [ϕ ( x)]ϕ′( x)dx = ∫ f [ϕ ( x )]dϕ ( x )
ϕ ( x )=u换元
u = ϕ ( x)
回代
∫ f (u )du = F (u ) + C
F [ϕ ( x )] + C ,
定理1 定理1
u 可导， 具有原函数， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
2
一般情形: 注: 一般情形
∫ x f ( x ) dx
2
x2 = u
1 f ( u) du. 2∫
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 − x 2 dx . ∫
1 − ∫ 2
∫x
1 − x dx
2
=
′ dx (1− x ) (1 − x )
1 2 2
2
= − 1 ∫ (1 − x ) d (1 − x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
1 1 dx ; ( 2) ∫ 2 dx . (1) ∫ 2 2 x − 8 x + 25 a +x 解 (1) 原式 = 1 arctan x + C ; a a 1 1 (2) 原式 = ∫ dx = 12 ∫ dx 2 2 ( x − 4) + 9 3 x − 4 +1 3 1 1 x − 4 = 1 arctan x − 4 + C . d = ∫ 2 3 x − 4 3 3 3 +1 3
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) ∫ 1+ ex
解
sin 1 x dx . ( 2) ∫ 2 x
1 sin ′ ( 2) ∫ 2x dx = ∫ sin 1 ⋅ − 1 dx x x x
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) ∫ 1+ ex 1 sin ′ 解 ( 2) ∫ 2x dx = sin 1 ⋅ − 1 dx ∫ x x x 1 ⋅ d 1 = cos 1 + C . = − ∫ sin x x x
1 2 2
1 (1 − x 2 ) 3 + C . 2 =− 3
对变量代换比较熟练后, 注: 对变量代换比较熟练后, 可省去书写中间变量 的换元和回代过程. 的换元和回代过程. 完
1 dx . 例 5 求不定积分 ∫ x (1 + 2 ln x )
1 1 dx = ∫ 解 ∫ d (ln x ) x (1 + 2 ln x ) 1 + 2 ln x 1 1 d (1 + 2 ln x ) = ∫ 2 1 + 2 ln x 1+2 ln x = u 1 1 1 ln u + C ∫ u du = 2 换元 2 u = 1+ 2 ln x 1 + ln 1 + 2 ln x + C . 回代 2
一般情形: 注: 一般情形
∫
f (ax + b ) dx
ax + b = u
1 f ( u) du. a∫
完
例 3 计算不定积分 解
∫ xe
x2
∫ xe dx . 1 e ( x )′dx dx = ∫ 2
x2
x2 2
2
1 e x2 d ( x 2 ) = ∫ 2 x =u 1 e u du = 1 e u + C 换元 2 ∫ 2 u = x 1 x2 e + C. 回代 2
10
u = 2x + 1
回代
1 ( 2 x + 1)11 + C . 22
完
1 dx . 例 2 求不定积分 ∫ 3 + 2x 解 ∫ 1 dx = 1 ∫ 1 ⋅ ( 3 + 2 x )′dx 3 + 2x 2 3 + 2x = 1 ∫ 1 d (3 + 2 x ) 2 3 + 2x 3 + 2x = u 1 1 1 ln u + C du = 换元 2 ∫ u 2 u = 3 + 2x 1 ln 3 + 2 x + C . 回代 2
(7)
sin xdx = − 1 d (cos x).
常 见 凑 微 分 公 式
1. f (ax + b )dx = 1 f (ax + b )d (ax + b ); a 2. f ( x n+1 ) x ndx = 1 f ( x n+1 )d ( x n+1 ); n+1 3. f ( x ) 1 dx = 2 f ( x )d ( x ); x 4. f 1 12 dx = − f 1 d 1 ; x x x x 5. f (ln x ) 1 dx = f (ln x )d (ln x ); x 6. f (sin x ) cos xdx = f (sin x )d (sin x );
∫ sin 2x dx.
1 sin 2 x d ( 2 x ) = − 1 cos 2 x + C ; 解法一 原式 = ∫ 2 2 解法二 原式 = 2 ∫ sin x cos x dx = 2 ∫ sin x d (sin x )
= (sin x ) 2 + C ;
解法三 原式 = 2 ∫ sin x cos x dx = −2 ∫ cos x d (cos x )
完
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) ∫ 1+ ex
sin 1 x dx . ( 2) ∫ 2 x
1 + e x − e x dx = 1 − e x dx 解 (1) =∫ x ∫ 1+ ex 1+ e e x dx = dx − 1 d (1 + e x ) = ∫ dx − ∫ ∫ ∫1+ ex 1+ ex = x − ln(1 + e x ) + C ; 1 sin ′ ( 2) ∫ 2x dx = ∫ sin 1 ⋅ − 1 dx x x x