等腰三角形的判定和性质

（等腰三角形的判定定理 和性质定理）
学习目标： 1、进一步学习几何证明的思路和步骤； 2、牢固掌握等腰三角形的判定定理和性质定 理，并能够熟练地应用。
重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 应用. 难点：等腰三角形的判定定理和性质定理的 证明.
复习引入
1、判定三角形全等的方法有哪些？
ASA,AAS,SAS,SSS,HL
作底边中线
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝ CD
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D BD＝CD AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
作底边的高线
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB＝AC （公共边）B AD＝AD
A
F 4 3
E C
一路下来，我们学习了很 多知识，也有了很多的新想法。 你能谈谈自己的收获吗？说一 说，让大家一起来分享。
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。 等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的 高互相重合.
作业
A组：课本136页7、8题 B组：课本136页9题
复习引入
2、等腰三角形的定义是怎样的？
A
(怎样判定一个三角形是等腰三角形?）
B
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形
C
复习引入
A (2)等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）； (3)等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合。（简称“三线合一”） (4)等腰三角形是轴对称图形,顶角 平分线所在的直线是它的对称轴。
3、等腰三角形有哪些性质？ （1）等腰三角形的两腰相等；
C
一、等腰三角形的判定
如图，已知在ΔABC中，∠B=∠C，
问题探究
A
则AB = AC，为什么？
B C
如图，已知在ΔABC中，∠B=∠C，
A
则AB = AC，为什么？
已知：在△ABC中，∠B＝∠C 求证：AB＝AC 证明:过A点作AD⊥BC,垂足为D.
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上 的高互相重合 (等腰三角形三线合一) 用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC BD = CD 。 ∴∠ 1 = ∠ 2 ， 2、∵AD是中线， ∴ AD⊥ BC ，∠ 1 =∠ 2 。 3、∵AD是角平分线， ∴ AD ⊥ BC ， BD= CD 。
A
1、△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的 中点，DF⊥AC于F，DE ⊥ AB 于E. E 求证：DE＝DF。
B D
F C
2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E A 1 2 D
B
C
1：△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点， DF⊥AC于F,DE⊥AB于E.求证：DE＝DF。
∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=900 在Rt△ADB和Rt△ADC中 ∵ ∠ADB＝∠ADC ∠B＝∠C AD＝AD ∴△ADB≌△ADC(AAS) ∴AB＝AC
B
D
C
作∠BAC的角平分线与BC相交与点D
在ΔABD和ΔACD中 ∠B=∠C（已知） ∠1=∠2（角平分线的定义） AD=AD（公共边） ∴ΔABD≌ΔACD(AAS) ∴AB=AC
证明：
A
∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴∠BED＝∠CFD 又∵D是BC中点（已知） ∴BD＝DC ∵AB＝AC（已知）
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证） ∠B＝∠C（已证） E B BD＝DC（已证）
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）
F C
D
∴∠B＝∠C（等边对等角） ∴DE＝DF
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
归纳结论
等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角）
A
B
C
归纳结论
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合. 简称“等腰三角形三线合一”
2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行 于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知： 如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2， AD∥BC。 E 求证：AB=AC
分析： 要证AB=AC，需证∠B=∠C，
从已知看：因为∠1=∠2， AD∥BC 可以找出∠B与∠C的关系。
A
1 2
D
B
C
∵AD∥BC， 证明： ∴∠1=∠B（两直线平行， E 同位角相等）， A 1 ∠2=∠C（两直线平行， 2 内错角相等）。 ∵∠1=∠2， B ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对等角）。
D
ห้องสมุดไป่ตู้
C
拓展提升
已知：如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，DE∥BC; 求证：DE=DB+EC。
D 1 B 2
A
F 4 3
E C
拓展提升
已知：如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，DE∥BC; 求证：DE=DB+EC。
D 证明： 1 ∵DE∥BC 2 B ∴∠2=∠DFB,∠3=∠EFC 又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠1=∠DFB，∠4=∠EFC ∴DF=BD, EF = EC 又∵DE=DF+EF ∴DE=DB+EC
结论:如果一个三角形有两个角相等,那么这 两个角所对的边也相等.(等角对等边)
B D C
1
A
2
归纳结论
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。 简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。 用几何语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AB=AC. (在一个三角形中，等角对等边) A
30
O
B
60
O
A D
C
二、等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的 三角形？
问题探究
A
B
C
作顶角的平分线 A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝ ∠2
12
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D ∠1＝∠2 AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
B
C
跟踪训练1
如图所示，量出AC 的长，就可知道河的 宽度AB。你知道为 什么吗？
跟踪训练1
解： ∵ ∠ DAC= ∠ C+ ∠ ABC
（三角形外角的性质） ∴ ∠ ABC= ∠ DAC -∠ C =60 °- 30 °=30 ° ∵ ∠ ABC= ∠ C ∴ AB=AC（在同一个三角形 中， 等角对等边） 即AC的长就是河宽。
A
1 2 1 2
B C
D
跟踪训练2
当重锤线经过等腰三角 尺底边中点时，横梁就 是水平的。为什么？ A
B
D
C
跟踪训练2
当重锤线经过等腰三角 尺底边中点时，横梁就 是水平的。为什么？ B A
D
C
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤 线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与底边 上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三 角尺的斜边与重锤线垂直，所以三角尺的斜 边与横梁是水平的。