高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解

高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解

高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解

在转化过程中，应遵循三个原则：

1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题;

2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题;

3、直观化原则，即将抽象总是具体化.

策略一：正向向逆向转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.

例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.

A、150

B、147

C、144

D、141

分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.

10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).

策略二：局部向整体的转化

从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复

杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.

例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )

A、B、C、D、

分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).

策略三：未知向已知转化

又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.

例3：在等差数列中，若，则有等式

( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.

分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.

二、逻辑划分思想

例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.

解A= ：分两种情况讨论

(1)B=￠，此时a=0;

(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：

(i) B={-1}，则=-1，a=-1

(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)

综合上述所求集合为 .

例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.

例题3、已知，试比较的大小.

【分析】

于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .

小结：分类讨论的一般步骤：

(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);

(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;

(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);

(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).

十一种数学思想方法总结与详解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数

学思想，就是掌握数学的精髓。

1、函数方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题

和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2、数形结合思想

数无形，少直观，形无数，难入微，利用数形结合可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

3、分类讨论思想

当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|4的时候，就要分类讨论a的取值情况。