中心极限定理

f
g
h
20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x)
例1: 一 加 法 器 同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 V k(k1,2,Ln),
概率论
设 它 们 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,且 都 在 区 间 (0,10)上 服 从 均 匀 分 布 .
其 中 Xk(k1,2,L,n)的 分 布 律 为 :
PXk ipi(1p)1i,i0,1,
由 于 : E ( X k ) p ,D ( X k ) p ( 1 p ) ( k 1 , 2 , L , n ) , 得 :
limP n
fn np np(1 p)
x
lim
n
P
n
k
1
Xk
n
记 :V V k， 求 PV105的 近 似 值 . k1
解: 易 知 :E(V k)5,D (V k)10012(k1,2,L20).
~ 由 定 理 知 :Vk2 01V k近 似 地 N205,1 1 0 2 020,于 是 ：
P V 1 0 p 5 V 1 2 1 0 5 0 2 0 2 0 1 1 0 1 0 2 5 2 0 2 5 0 0
p V 102100 25200.38 7
1p V 102 10 0 2520 0.38 71 (0 .3)8 0 7 .34
即 有 ： P V 1 0 5 0 .3 4 8 .
例2:某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修, 调换刀具, 变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的， 且在开工时需电力1千瓦.
概率论
1. 定理: (独立同分布下的中心极限定理) (Lindeberg-Levy定理)
Hale Waihona Puke 设随机变量X1, X2 ,L Xn ,L 相互独立,
服从同一分布,且具有数学期望和方差:
E(Xk ) , D(Xk ) 2(k 1,2,L ),
n
则随机变量之和Xk的标准化变量:
k1
n
n n
Yn
k1
（ 1）求参加会X议 超的 4过 5的 家 0 概 长率 数； （ 2）求 1名 有家长来参生 加数 会3不 议 4的 0多 的 概 .学 率
解: ( 1 ) 以 X k ( k 1 , 2 L , 4 0 0 ) 记 第 k 个 学 生 来 参 加 会 议 的 家 长 数 ,
则 Xk的 分 布 律 为 : Xpkk
(由于每台车床在开工时需电力1千瓦, N台工作所需电力即N千瓦.)
概率论
由德莫佛-拉普拉斯极限定理:
X np np(1 p) 近似 N(0,1),
于是: P(X ≤ N)= P(0 ≤ X ≤ N)
概率论
这里: np=120, np(1-p)=48.
由3σ准则,此项为0.
N4182014280
P X 3 4 P 0 Y 4 4 0 .8 0 . 0 8 .2 0 3 4 4 4 0 .8 0 0 0 .. 8 2 0
P Y 40 4 0 0 .0 8 0 0 .0 8 .22.5
(2.5)0.9938
中 心
林德贝格-勒维 中心极限定理
极
概率论
当 n 充 分 大 时 , 随 机 变 量 之 和 与 其 标 准 化 变 量 分 别 有 :
n
Xkn近 似 地
n 近 似 地
~ ~ k1
n
N(0,1); Xk Nn,n2 .
k1
2 ) 独 立 同 分 布 中 心 极 限 定 理 的 另 一 种 形 式 可 写 为 :
~ ~ X 近 似 地
~ E(
Xk ) , D(Xk ) 2
n
近似地
Xk N(n,n 2 )
k1
限 定 理
棣莫弗-拉普拉斯 中心极限定理
fn ~N(n, p)
近似地
fn ~ N(np,np(1
p))
概率论
注: 随机 X 1,X 变 2,是 量相互独立的
问: 应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率 保证该车间不会因供电不足而影响生产?
解: 对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6, 共进行200次独立重复试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X ~ B(200, 0.6),
设需N台车床工作， 现在的问题是：求满足: P(X ≤ N) ≥ 0.999 的最小的N.
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随
机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.
即考虑X 随 k(k机 1,n变 )的 量 n 和 Xk k1
n
n
Xk E Xk
Yn k1
k1
n
D Xk
k1
讨论 Yn的极限分布是正 否态 为分 标布 准
一、中心极限定理 (The Central Limit Theorem)
012 0.05 0.8 0.15
易 知 : E ( X k ) 1 . 1 , D ( X k ) 0 . 1 9 , k 1 , 2 , L 4 0 0 .
400
而 :X X k,由 定 理 ,可 知 随 机 变 量 : k 1
近 似 地
X~N (4001.1,4000.19)
概率论
400
~ 即 有 :k1Xk4001.1X4000.8近 似 地 N （ 0， 1)
4000.19
4000.19
于 是 : P X 4 5 P 0 X 4 40 .0 1 0 .8 0 0 9 44 5 4 0 .0 1 0 0 .8 0 9 0
1P X4 400 0 0 .1 0 0 .891.14 7
则对任意 x, 有:
limP fn np x x
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
证: 可 将 fn分 解 成 为 n个 相 互 独 立 、 服 从 同 一 (01)分 布 的 概率论
n
诸 随 机 变 量 X 1,X 2,LX n之 和 ， 即 有 :fn X k k1
概率论
第二节 中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理的客观背景
概率论
在实际问题中, 随机变量往往受许多随机因素所共同影响。
例如: 炮弹射击的落点与目标的偏差, 就受着许多随机因素 (如瞄准, 空气阻力, 炮弹或炮身结构等) 综合影响的. 每个随机因素的对弹着点(随机变量)所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布哪 ？
N
120 48
由: N418200.999,
查正态分布函数表得: (3.1)0.999, 故：N 120 3.1, 48
从中解得N ≥141.5, 即所求N =142.
也就是说, 应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率 保证该车间不会因供电不足而影响生产.
概率论
例3: 对 于 一 个 学 生 而 言 ,来 参 加 家 长 会 的 家 长 人 数 是 一 个 随 机 变 量 , 设 一 个 学 生 无 家 长 、 1名 家 长 、 2名 家 长 来 参 加 会 议 的 概 率 分 别 为 : 0.05、 0.8、 0.15.若 学 校 共 有 400名 学 生 , 设 各 学 生 参 加 会 议 的 家 长 数 相 互 独 立 ,且 服 从 同 一 分 布 .
1 (1 .1 4 7 ) 0 .1 2 5 7
( 2 ) 以 Y 记 有 一 名 家 长 来 参 加 会 议 的 学 生 数 ， 则 : 概率论 Y ~B (4 0 0 ,0 .8 )， 由 定 理 得 :
近 似 地
随 机 变 量 : Y ~ N （ 4 0 0 0 .8 ， 4 0 0 0 .8 0 .2 ）
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt (x)
2
定理表明, 当n很大, 0 < p < 1是一个定值时
概率论
(或者说, np(1-p) 也不太小时),
二项变量fn的分布近似正态分布 N(np, np(1-p)).
近 似 地
即: fn ~Nnp,np(1p)
下面演示不难看到中心极限定理的客观背景
N(0,1);
n
X近 似 地 N,n2,其中X
1 n
n k1
Xk
.
n
3) 虽然在一般情况下, 我们很难求出 X k 的分布的确切形式, k 1 但当 n很大时,可以求出近似分布.
2. 定理: (棣莫佛－拉普拉斯 (De Laplace)定理) 概率论
设随机变量 fn(n=1,2,…)服从参数 n, p的二项分布,
Xk
E Xk k1
n
k1
Xk n n
D Xk
k1
的 分 布 函 数 F n (x ) 对 于 任 意 x 满 足 :
lni mFn(x)
n limPi1 Xi
n
n
n
x
x -
1
t2 -
e 2 dt ( x)
2
n
注: 1 )定 理 表 明 , 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 之 和 X k , k 1
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后, 人们发现, 正态分布在自然界中极为常见.
概率论
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响
所造成, 而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.
则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当 n无限增大时, 这个和的极限分布是什么呢？