第五讲经典微扰理论

∂E ∂2E ∂ 2 ∆P ∇ × ∇ × E + µoσ + µo ε 2 = −µo ∂t ∂t ∂t 2
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
8
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
设各波的表达式为：
E束 ( z ) = Ae
−ik p z
=
µ oω 2 ∆Po
k p − k2
2 2
e
−ik p z
波矢关系：
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
k 与 k p 大小、方向均不相等，存在波矢失配：
∆k = k − k p
λp λ = sin θ p sin θ
k
k p极化波矢，由驱动场决定；
自由波矢，由次波的相互干涉决定。
边界条件：界面上极化波与自由波的时空关 系相同，即两波在界面上周期相同
λ
有
∆pi = ε o ∆χ ij E j = −ε oε rii ε rjj ∆bij E j
D = ε o ε r E + ∆P
D = εoE + P
采用微扰表示法后：
2 2 ∂ E E ∂ ∂ ∆P 波动方程为： ∇ × ∇ × E + µ σ + µoε 2 = −µo o ∂t ∂t ∂t 2
E ( z ) = E束 + E自 =
µ oω 2 ∆Po
k2
( e 2∆k
−ik 2 z
−e
−ik p z
)
)
iωη 2 ∆Po ∆kz e sin =− 2 ∆k
−i
1 k2 + k p z 2
(
•为获得有效能量转换，要求 ∆ k = 0 ，称为相位匹配条件；
iωη 2 ∆ Po z ∆ kz − i 2 k 2 z E (z ) = − e sin c 2 2
三、非线性相互作用耦合波方程
意义： 在
(e1 , e2 , l )
e2
− ik1ξ − ik 2ξ e1 ⋅ ∆P = ∆P = ε ∆ ε A e + ∆ ε A e 1 o r11 1 r12 2 2 o
( ⋅ ∆P = ∆P = ε (∆ε
坐标系中，由 ∆P = ε o ∆εr E
)
− ik1ξ − ik 2ξ A e + ∆ ε A e r 21 1 r 22 2
∆k
k
θp
kp
λp
⇒ k p sin θ p = k sin θ
结论：由边界条件决定， ∆k 必须垂直于界面
k 2 p + ∆k 2 − k 2 k2p − k2 ≈ 由余弦定理 ∆k = 2k p cosθ p 2k p cos θ p
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 6
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 7
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
极化波：
E = E ( z )e x e 假设波动方程的稳态解：
将以上条件代入波动方程，得：
∆P (r ) = ∆Po e x e
− ik p z iωt
e
iωt
x
kp
n1
k1
n2
k2
z
∂ 2 E (z ) 2 −ik p z 2 + k E ( z ) = − µ oω ∆Po e 2 ∂z
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 1
极化矢量与驱动场的关系：
一、介质的非线性介电响应
Pi = ε o xij E j
非线性条件下，展开为：
Pi = ε o χ (1)ij E j ω j + χ (2 )ijk E j ω j Ek (ω k ) + χ (3)ijkl E j ω j Ek (ω k )El (ω l ) + L
化简 II：
认为方程的解很接近平面波，即：振幅随空间的变化周期比波长 大很多（k 很大），随时间的变化比光频慢很多（ ω 很大）；
二阶导数项去掉，一阶导数项只留下乘以 k 或 ω 的项。
整理：分别用 e1 或 e2 点乘方程两边，并利用 e1 ⋅ e 2 = 0
其中 n1 ∂A1 ∂A1 α1 ωη1 ik1ξ [e1 ⋅ ∆P ]e = −i + A1 + Cµ o σ 1 η = µ o ∂ξ C ∂t 2 2 α1 = 1
振幅关系
进一步简化，设：
x
kp
• 极化波的波矢 k p ⊥界面； • 沿 x 方向偏振； • 界面在 z • • •
n1
k1
n2
k2
=0
处；
∂ ∂ = =0 ； ∂x ∂y
z
x, y 方向没有边界：
σ = 0 （无损）；
E, P 同方向(各向同性)。
在右边介质（n2)中，有束缚波和自由波， 在左边介质（n1）中，有没有反向的自由波呢？
)
当
∆εr 只有对角元素不为零，两模式各自独立传播，
对角元素分别引起各模式发生变化，称为“自耦合”； 当
∆εr
非对角元素不为零，两模式的能量发生耦合，
耦合程度取决于
∆ε r 21
、∆ε r12 的大小。
17
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
(
)
微扰极化 波辐射 自由波
{
束缚波，和极化波同频率，并有相同的传 播规律 自由波，和极化波同频率，按自由空间规 律传播，须满足边界条件
E (r , t ) = Ee
i (ωt − k ⋅r )
假设是单色平面波
下面讨论： • 自由波与极化波的波矢关系 • 自由波与束缚波的振幅关系 • 再生波的能量
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 5
一、介质的非线性介电响应
按照微扰理论，将非线性极化看成附加微扰： ( NL )
P = Po + ∆P
= ε oχ E + ε o ∆χ E
∆P
( NL )
=?
ε rij = 1 + χ ij
ε rij bij = − ε riiε rjj
⇒ ∆ε rij = ∆χ ij
⇒ ∆ε rij = −ε riiε rjj ∆bij
[
各项的频率是什么？
( )
( )
∑ω
驱动场
ωj
线性项
ω j ± ωk
二次非线性项
( ) ω j ± ω k ± ωl
三次非线性项
]
E j (ω j ) E k (ω k ) E l (ω l )
可以是低频电场、磁场、声场、强光场等 相应于电光效应、磁光效应、声光效应、强光非线性效应
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 2
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 13
设解： 在各向异性介质中，对任意传播方向存在两个正交偏振的传播模
三、非线性相互作用耦合波方程
E (r , t ) = A1 (r , t )e1ei (ωt −k1 ⋅r ) + A2 (r , t )e2 ei (ωt −k 2 ⋅r )
无扰动 ∆ P = 0 时，A1、 A2 是常数； 有扰动 ∆ P ≠ 0 时，A1、 A2 为空间变量函数，非稳态时，还是时间的函数。
1 k2 + k p z 2
(
)
• 再生电磁波的波矢取自由波和束缚波的平均； • 再生波振幅沿 z 周期（正弦）变化，能量在极化波和再生波之 间转换：再生波达到第一个最大值时 z 满足：∆kLc = π ，Lc
称为相干长度；
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 10
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
习题：1.15
一、介质的非线性介电响应 二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系 三、非线性相互作用耦合波方程
非共振相互作用范围内非线性过程的共同规律和处理方法 基本思想： 强光场或外场作用下的附加非线性极化当作微扰 (∆ P )； 在波动方程中， ∆ P 成为新的波源； 在缓变包络近似条件下推出普遍的耦合波方程。
n
m
∂E ∂2E ∂ 2 ∆P ∇ × ∇ × E + µ oσ + µ oε 2 = − µ o ∂t ∂t ∂t 2
•
代入波动方程，有无穷多项；由光子能量守恒要求，波动方程两边 同频率项的系数分别相等 ⇒ 得到一系列关于不同频率分量的自恰 方程。 对
ωm = ωn = ω
的分量：
2 ∂E E E ∂ ∂ 2 ∇ × ∇ × E + µoσ + iωµ o σE − ω µ o εE + 2iωµ o ε + µoε 2 ∂t ∂t ∂t 2 ∂ ∆ P ∂ ∆P = ω 2 µ o ∆P − 2iωµ o − µo ∂t ∂t 2
讨论：
[e ⋅ ∆ P ]是标量，与坐标系无关，方程对任意方向成立；
∆ P 只有在 e 方向上的投影才对 e 方向偏振的波产生
作用；
•
• 关于 A1 和 A2 的两个方程一样，统称为外场扰动下非线
性介质中的耦合波方程。 问题：两个方程是一样的，为什么叫做耦合波方程？
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 16
E自由 ( z ) = Be
− ik 2 z
∂ 2 E (z ) 2 −ik p z 2 ( ) + k E z = − µ ω ∆ P e o o ∂z 2
E反 ( z ) = Ce −ik1z
由边界条件， E 连续 ⎧ A+ B = C ⎨ H 连续 ⎩− k p A − k 2 B = k1C
2 2 2 ⎞ −ik ξ ⎛ A A A A n ω ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 1 1 1 ∂ A 1⎟ 1 ⎜ − 2ik1 1 + i A i n 2 e ωµ σ µ σ e − − − − 1 1 1 1 1 o o 2 2 2 2 ⎟ ⎜ t t ∂ ξ ∂ ∂ C C t ξ ∂ ∂ ⎠ ⎝
2 2 2
k × E
H = 1 − i ωµ
o
∇ × E
结论： k2 − k p 解 C ∆k • 没有反射波； ≈ 得： A = k + k k1 + k 2 1 2 • 自由波和束缚波的系数 大小相等，符号相反 Q ∆k / k 2 ~ 10 −4 ∴ C = 0, B = − A
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 9
二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
能量关系 介质（n2）中总的再生光场是束缚波和自由波的叠加
E ( z ) = E束 + E自 =
µ oω 2 ∆Po
k2
( e 2∆k
−ik 2 z
−e
−ik p z
)
∆k = k 2 − k p
讨论：
iωη 2 ∆Po ∆kz e sin =− 2 ∆k
−i
n1
ε1
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
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三、非线性相互作用耦合波方程
{
•
∂A1 α 1 n ∂A ωη + A1 + 1 1 = −i 1 [e1 ⋅ ∆P ]e ik1ξ Cµ o σ 1 η = µ o α1 = 1 ∂ξ C ∂t 2 2 ε1 n1 ∂A2 α 2 n2 ∂A2 ωη 2 [e 2 ⋅ ∆P ]e ik2ξ α = Cµ oσ 2 η = µ o + A2 + = −i 2 ∂ξ C ∂t 2 2 2 ε2 n2 随空间 损耗 随时间 波源
化简 I： 取传播方向为 x3 轴，传播方向单位矢量为 l ， 有
r
k (l )
k ⋅ r = kl ⋅ r
ξ
以下以
ξ = l ⋅ r 为空间变量，只须求解一维问题，
∂ r → ξ, ∇ → l ∂ξ
并有： k ⋅ r = kξ , 波动方程变为：
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
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三、非线性相互作用耦合波方程
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论 3
一、介质的非线性介电响应 二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系 三、非线性相互作用耦合波方程
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
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二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系
讨论简单情况，微扰极化波 ∆P 为单色平面波 ∆Po e
1
E(z)随z 线性增长 Lc → ∞
− ik p z
•再生波的相位迟后极化波90o。
∆ P (r ) = ∆ Po e x e
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
e iω t
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一、介质的非线性介电响应 二、非线性相互作用的波矢关系和能量关系 三、非线性相互作用耦合波方程
第五讲 非线性光学过程的经典微扰理论
2 2 2 ⎛ ⎞ −ik ξ ∂ ∂ ∂ ∂ A n A A A ω 2 2 2 ∂ A2 ⎟ 2 2 2 2 ⎜ − − + − − + − 2ik 2 e 2 i n e i A ωµ σ µ σ o o 2 2 2 2 2 2 ⎟ 2 2 2 ⎜ ∂ ∂ ∂ t t ξ ∂ ∂ C C t ξ ⎝ ⎠ 右边暂时没有变，留在 ∂∆P ∂ 2 ∆P 2 = −ω µ o ∆P + 2iωµ o + µo 原来的物理参考系中 ∂t ∂t 2
12
考虑：
• •
三、非线性相互作用耦合波方程
极化波不是单一频率的简谐波，是多频率简谐波的叠加； 不同频率的极化分量 ⇒ 产生不同频率的次波 ⇒ 再驱动新的极化； 结果，介质中有无穷多频率的电磁波和极化波：
E (r , t ) = ∑ E m eiω mt
∆P (r , t ) = ∑ ∆Pn eiω nt