12第十二章级数

第十二章 级数

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念. 2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质. 3．了解几何级数和p -级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.

4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系.

5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间.

6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质.

7．知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要条件. 8．会用

x

+11

、x e 、x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数. 9．了解以π2为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计算周期函数的傅里叶系数.

10．知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件. 11．掌握周期函数以及定义在[]π,π-和[]l l ,-上的函数展开成傅里叶级数的方法.

12．会将定义在[]l ,0上的函数展开成正弦级数或余弦级数.

重点 正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基本性质，用

x

+11、x e 、x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林(Maclaurin)

级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以

π2为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶

级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在[]π,π-和[]l l ,-上的函数展开成傅里叶级数的方法.

难点 无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数时，计算该函数的傅里叶系数. （二）内容提要 1. 数项级数

⑴ 定义 设给定一个无穷数列 ,,,,2

1

n

u u u ，则

++++=∑∞

=n n n u u u u 211

称为数项级数，简称级数.其中第n 项n

u 称为级数的通项或一般项.该级数的前n 项和

∑==

+++=n

k k

n n

u

u u u S

1

21

称为级数∑∞

=1

n n u 的前n 项部分和,并称数列{}n S 为级数∑∞

=1

n n u 的部分和数

列.

⑵ 级数的收敛、发散与级数和

若级数∑∞

=1

n n u 的部分和数列{}n S 的极限存在，即S S n n =∞

→lim ，则称级数∑∞=1

n n u 收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数∑∞

=1

n n u 发散.

当级数∑∞=1

n n u 收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数∑∞

=1

n n u 的和，

记为S u n n =∑∞

=1

.

⑶ 数项级数的性质

①若级数∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n υ分别收敛于S 与T ,则级数∑∞

=+1

)(n n n u υ收敛于

T

S +，即

∑∞

=+1

)(n n n u υ=∑∞

=1

n n u +∑∞

=1

n n υ．

②级数∑∞=1

n n u 和∑∞

=1n n cu c (为任一常数，)0≠c 有相同的敛散性，且若

∑∞

=1

n n

u

收敛于S ，则∑∞

=1

n n cu 收敛于cS ，即∑∞=1

n n cu =∑∞

=1

n n u c .

③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变.

④(级数收敛的必要条件) 若级数∑∞

=1n n u 收敛，则0lim =∞

→n n u . ⑷ 正项级数及其收敛判别法

若),2,1(0 =≥n u n ，则称级数∑∞

=1n n u 为正项级数.

①比较判别法

设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n υ是两个正项级数，且),2,1( =≤n u n n υ，那么有

若级数∑∞=1

n n υ收敛，则级数∑∞=1

n n u 也收敛； 若级数∑∞

=1

n n u 发散，则级

数∑∞

=1

n n υ也发散.

②比值判别法 设∑∞

=1n n u 是正项级数，且

ρ=+∞→n

n n u u

1lim ，则

当1<ρ时，级数收敛； 当1>ρ时，级数发散； 当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.

⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数

设),2,1(0 =>n u n ，级数∑∞

=--11)1(n n n u 称为交错级数.

②莱布尼茨判别法

如果交错级数∑∞

=--11)1(n n n u ),2,1,0( =>n u n 满足莱布尼茨(Leibniz)

条件：

),2,1(1 =≥+n u u n n 且0lim =∞

→n n u ,

则该级数收敛,且其和1u S ≤,其余项n r 的绝对值1+≤n n

u r .

⑹ 绝对收敛与条件收敛

如果级数∑∞=1

n n u 收敛，则称级数∑∞=1

n n u 是绝对收敛的；如果级数∑∞

=1

n n

u 收敛而级数∑∞=1

n n u 发散，则称级数∑∞

=1

n n u 是条件收敛的.对于绝对收敛的

级数∑∞

=1

n n u ，有如下结论：