运筹学基础-项目1 线性规划
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项目一 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP模型的应用 LP的概念 图解法 单纯形法 用软件求解LP模型
1
一、线性规划模型的应用
一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以 下条件时，才能建立线性规划模型。
存在着多种方案 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
6
例3、运量分配问题
某路桥建设公司选定A1、A2两个符合条件的石料厂，其
产量分别为23吨和27吨，计划将石料运到B1、B2、B3三个工
地，这三个工地的需求量分别为17吨、18吨、15吨。从各料厂
到各工地的运价见下表，问如何制定调运方案，才能使总运费
最省？
B1
B2
B3
产量
A1
50
60
70
23
A2
60
2020/11/22
二、线性规划的概念
线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
300台时
原料A
2
1
400kg
原料B
0
1
250kg
• 变量：x1、x2 • 目标函数：z=50x1+100x2 • 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400 x2≤250
x1、x2≥0
2020/11/22
例2、 人力资源分配问题
某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员人数如下表所示：
11
例1、用图解法求解线性规划 max z=60x1+40x2 x1+2x2≤12 x1≤6 x2≤4 x1、x2≥0
2020/11/22
图解法的步骤
※建立坐标系 ※画出满足全部约束条件的区域（可行域） ※先确定一个目标函数值，画出等值线 ※向最优的方向移动等值线，找到最优解
2020/11/22
110
160
27
需求量 17
18
15
2020/11/22
• 变量：x11、x12、x13、x21、x22、x23 • 目标函数：z=50x11+60x12+70x13
+60x21+110x22+160x23 • 约束条件：x11+x12+x13=23
x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 x11、x12、x13、x21、x22、x23 ≥0
2020/11/22
三、图解法
• 线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
2020/11/22
四、单纯形法
1. 线性规划模型的一般形式
• 变量：x1、x2
• 目标函数：max z=50x1+100x2
• 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400
2020/11/22
x2≤250
目标函数： 约束条件：
max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减5 少?
• 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。
min x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 60
x1 x2 70
s.t
x2 x3 60
x3 x4 50 x4 x5 20
x5 x6 30
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
2020/11/22
• 例3：用图解法求解下列线性规划问题 min z=x1+x2 -2x1+x2≦4 x1-x2≦2 x1、x2≧0
2020/11/22
• 例4：用图解法求解下列线性规划问题 max z=x1+x2 -2x1+x2≦4 x1-x2≦2 x1、x2≧0
2020/11/22
线性规划问题解的可能性
400kg
原料B
0
1
250kg
2020/11/22
• 变量：x1、x2 • 目标函数：max z=50x1+100x2 • 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400 x2≤250
2020/11/22
线性规划问题解的可能性
2020/11/22
• 例2：用图解法求解下列线性规划问题 max z=20x1+40x2 x1+2x2≦12 x1≦6 x2≦4 x1、x2≧0
2
例1、生产计划问题
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，生产单 位产品所需要的设备台时以及A、B两种原材料的消耗以及资 源的限制如下表所示，工厂每生产一件产品Ⅰ可获利50元，每 生产一件产品Ⅱ可获利100元，问工厂应如何安排生产任务才 能使获利最多？
2020/11/22
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
Leabharlann Baidu
练习1、生产计划问题
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，生产单 位产品所需要的设备台时以及A、B两种原材料的消耗以及资 源的限制如下表所示，工厂每生产一件产品Ⅰ可获利50元，每 生产一件产品Ⅱ可获利100元，问工厂应如何安排生产任务才 能使获利最多？
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
9
• 线性规划问题（Linear Programming，简记为LP） 为求一组非负的未知数，这些未知数在满足一组线 性方程组的条件下，使某个线性函数取得最优值。
• 约束条件：约束方程组 • 目标函数：最优线性函数 • 可行解：满足约束条件的值 • 最优解：求出的模型的解 • 最优值：最优解对应的目标函数值
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
所需人员 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作
8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP模型的应用 LP的概念 图解法 单纯形法 用软件求解LP模型
1
一、线性规划模型的应用
一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以 下条件时，才能建立线性规划模型。
存在着多种方案 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
6
例3、运量分配问题
某路桥建设公司选定A1、A2两个符合条件的石料厂，其
产量分别为23吨和27吨，计划将石料运到B1、B2、B3三个工
地，这三个工地的需求量分别为17吨、18吨、15吨。从各料厂
到各工地的运价见下表，问如何制定调运方案，才能使总运费
最省？
B1
B2
B3
产量
A1
50
60
70
23
A2
60
2020/11/22
二、线性规划的概念
线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
300台时
原料A
2
1
400kg
原料B
0
1
250kg
• 变量：x1、x2 • 目标函数：z=50x1+100x2 • 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400 x2≤250
x1、x2≥0
2020/11/22
例2、 人力资源分配问题
某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员人数如下表所示：
11
例1、用图解法求解线性规划 max z=60x1+40x2 x1+2x2≤12 x1≤6 x2≤4 x1、x2≥0
2020/11/22
图解法的步骤
※建立坐标系 ※画出满足全部约束条件的区域（可行域） ※先确定一个目标函数值，画出等值线 ※向最优的方向移动等值线，找到最优解
2020/11/22
110
160
27
需求量 17
18
15
2020/11/22
• 变量：x11、x12、x13、x21、x22、x23 • 目标函数：z=50x11+60x12+70x13
+60x21+110x22+160x23 • 约束条件：x11+x12+x13=23
x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 x11、x12、x13、x21、x22、x23 ≥0
2020/11/22
三、图解法
• 线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
2020/11/22
四、单纯形法
1. 线性规划模型的一般形式
• 变量：x1、x2
• 目标函数：max z=50x1+100x2
• 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400
2020/11/22
x2≤250
目标函数： 约束条件：
max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减5 少?
• 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。
min x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 60
x1 x2 70
s.t
x2 x3 60
x3 x4 50 x4 x5 20
x5 x6 30
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
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• 例3：用图解法求解下列线性规划问题 min z=x1+x2 -2x1+x2≦4 x1-x2≦2 x1、x2≧0
2020/11/22
• 例4：用图解法求解下列线性规划问题 max z=x1+x2 -2x1+x2≦4 x1-x2≦2 x1、x2≧0
2020/11/22
线性规划问题解的可能性
400kg
原料B
0
1
250kg
2020/11/22
• 变量：x1、x2 • 目标函数：max z=50x1+100x2 • 约束条件：x1+x2≤300
2x1+x2≤400 x2≤250
2020/11/22
线性规划问题解的可能性
2020/11/22
• 例2：用图解法求解下列线性规划问题 max z=20x1+40x2 x1+2x2≦12 x1≦6 x2≦4 x1、x2≧0
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例1、生产计划问题
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，生产单 位产品所需要的设备台时以及A、B两种原材料的消耗以及资 源的限制如下表所示，工厂每生产一件产品Ⅰ可获利50元，每 生产一件产品Ⅱ可获利100元，问工厂应如何安排生产任务才 能使获利最多？
2020/11/22
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
Leabharlann Baidu
练习1、生产计划问题
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，生产单 位产品所需要的设备台时以及A、B两种原材料的消耗以及资 源的限制如下表所示，工厂每生产一件产品Ⅰ可获利50元，每 生产一件产品Ⅱ可获利100元，问工厂应如何安排生产任务才 能使获利最多？
Ⅰ
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资源限制
设备
1
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300台时
原料A
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• 线性规划问题（Linear Programming，简记为LP） 为求一组非负的未知数，这些未知数在满足一组线 性方程组的条件下，使某个线性函数取得最优值。
• 约束条件：约束方程组 • 目标函数：最优线性函数 • 可行解：满足约束条件的值 • 最优解：求出的模型的解 • 最优值：最优解对应的目标函数值
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
所需人员 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作
8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满