多元向量值函数的导数与微分

u l
x0
gradf
( x0 ) l
gradf ( x0 ) cos
其中 ( gradf ( x0 ), l ) (cos1,cos2, ,cosn )
6
n元向量值函数的 导数、微分
7
对于一般的n元向量值函数：
f : A Rn Rm
f1( x) f1( x1, x2 ,
f
(
P.84例5.1
10
定义5.2: 一元向量值函数 f 的微分为：
f : U( x0 ) R Rm(m 2),
能表示
f ( x0 x) f ( x0 ) ax ( ) x
df ( x0 ) ax
a (a1,a2 , ,am )
定理5.1： f :U(x0 ) R Rm可微
f 的任意分量 fi :U(x0 ) R R可微
x2
w2 w2
x1
x2
wm
wm
x1 x2
w1
xn
f1 f1
u1
u2
w2
xn
f2
u1
f2 u2
wm
fm fm
xn
x0
u1
u2
f1
uP
g1
x1
g1 x2
f2
up
g2
x1
g2 x2
fm
g
p
g p
up u0 x1 x2
g1
xn
g2
xn
g p
定理5.2
f 和 g 为向量值函数
x ( x1, x2 , , xn )
f ( x) f1( x), , fm ( x)T g( x) g1( x), , gm ( x)T
D( f g)( x) Df ( x) Dg( x)
D f , g ( x) f ( x) T Dg( x) g( x)T Df ( x)
xi x0
xi 0
xi
lim f ( x01 , , x0(i1) , x0i xi , x0(i1) , , x0n ) f ( x01 , x02 , , x0n )
xi 0
xi
ei (0,
0, 1 ,0, i个
,0)(i=1,…,n)是 Rn的标准正交基。
3
u f ( x) f ( x1, x2 , , xn )在点
i1 i
n
x0 dxi i 1
f ( x0 xi
)
dxi
n
f
i
(
x10
,
x20 ,
, xn0 )dx1
i 1
4
n元函数的方向导数和偏导数
u f ( x) f ( x1, x2 , , xn )在点 x0 ( x0,1, x0,2 , , x0,n ) Rn沿 l 方向的方向导数定义
u lim f ( x0 t l ) f ( x0 )
8
5.1一元向量值函数的导数与微分
f : A R Rm
f1( x)
f
(
x)
f
2
(
x
)
,
fm ( x)
定义一元向量值函数 f 的导数为：
xR
df dx
f
'( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
: Df ( x0 )
x x0
显然 f 可导当且仅当其每个分量可导，并且：
g : A Rn Rp
w f [g( x)]
f :U Rp Rm x0 ( x01, x02 , , x0n )T A
w : A Rn Rm u0 : g( x0 ) (u01, u02 , , u0 p )T U
例5.4：试通过如下函数验证上述公式
w
f
(u)
u12 u1u2
1
n元数量值函数的 导数、全微分及方向导数
u : Rn R u f ( x) f ( x1 , x2 , , xn )
2
u f ( x) f ( x1, x2 , , xn )在点 x0 ( x0,1, x0,2 , , x0,n ) Rn的偏导数的定义：
u lim f ( x0 xiei ) f ( x0 )
例1 圆柱螺旋线的参数方程为
特别关注：m=3
x a cost
y
a
sin
t
z bt
t [0, )
See P.83
r = (acost,a sint ,bt) R3 f : R R3,
Dr = (a sint,a cost ,b) v(t)
D2r = (a2 cost,a 2 cost ,0) a(t)
定义：f :U(x0 ) R2 Rm
x ( x1, x2 )T x0 ( x01, x02 )T
df1( x0 )
df
(
x0
)
:
df2
(
x0
)
df
m
(
x0
)
f1( x0 x1
)
dx1
f1( x0 x2
)
dx2
f2( x0 x1
)
dx1
f2( x0 x2
)
dx2
(
x0
)
dxn
xn
其中 dx (dx1,dx2, ,dxn )T
例5.2
已知f
(
x,
y
)
x
2 y 2 xy
2
,
求Df (1,1),df (1,1).
15
对于n元向量值函数，若m=n： f : A Rn Rn 则称Jacobi矩阵的行列式为Jacobi行列式，记作：
J f ( x0 )
dfm ( x0 )
fm ( x0 x1
)
dx1
fm ( x0 x2
)
dx2
fm ( x0 ) x1
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
dx1
dx2
fm ( x0 )
x2
于是，将矩阵
f1( x0 )
x1
f2 ( x0 ) x1
fm ( x0 ) x1
f ( x0 x1
)
,
f ( x0 x2
)
,
,
f ( x0 xn
)
f x1 ( x0 )e1 f x2 ( x0 )e2 f xn ( x0 )en
若u f ( x) f ( x1, x2, , xn )在点 x0 ( x0,1, x0,2 , , x0,n ) Rn可微分，则
x)
f2
(
x)
f2 ( x1 , x2 ,
fm ( x) fm ( x1, x2 ,
, xn )
Байду номын сангаас
,
xn
)
, xn )
x ( x1, x2 , , xn )T A
See P19.(2.6)
lim
x x0
f (x) a
lim
x x0
fi(x)
ai , i
1,
, m,
其中： x ( x1, x2 , , xn )T x0 ( x01, x02 , , x0n )T a (a1,a2 , ,an )T
fm ( x0 x1
)
dx1
fm ( x0 x2
)
dx2
12
利用矩阵乘法：
df ( x0 )
df1( x0 )
df2
(
x0
)
f1( x0 x1
)
dx1
f2 ( x0 x1
)
dx1
f1( x0 x2
)
dx2
f2 ( x0 x2
)
dx2
f1( x0 ) x1
f2 ( x0 ) x1
（u 为数量值函数）
D(uf )( x) uDf ( x) f ( x)Du( x)
f , g : R R3
See P.90
D( f g)( x) Df ( x) g( x) f ( x) Dg( x)
17
定理5.3 向量值复合函数求导的链式法则
Df [g( x)] Df (u) Dg( x) ug( x)
)
x1
fm
(
x0
)
x1
f1( x0 ) x2
f2 ( x0 ) x2
fm ( x0 ) x2
f1( x0 )
xn
f1( x0 )
f2 ( x0 ) xn
f2 ( x0 )
f
m
(
x0
)
fm ( x0 )
xn
14
定义：f 在x0处的微分为：
df1( x0 )
df
(
x0 ( x0,1, x0,2 , , x0,n ) Rn的偏导数
u xi
x0
f ( x0 ) xi
f
i
(
x10
,
x20 ,
, xn0 )
u f ( x) f ( x1, x2 , , xn )在点 x0 ( x0,1, x0,2 , , x0,n ) Rn的全微分
n u
du x x0
且 df ( x0 ) f '( x0 )dx f1 '( x0 )dx, , fm '( x0 )dx T
x : dx
11
5.2 二元向量值函数的导数与微分
f : A R2 Rm
f1( x1, x2 )
f
(
x1
,
x2
)
f
2
(
x1
,
x2
)
,
fm
(
x1
,
x2
)
x1, x2 R
,
w
w1 w2
,
u
u1 u2
u
g( x)
x1
e x2
,
sin x1
x
x1 x2
See P.93
18
Df [g( x)] Df (u) Dg( x) ug( x)
写成矩阵形式：
w f [g( x)] w : A Rn Rm
w1 w1
x1
xn
x0
19
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
Df
( x0 )
称为f在x0 处的导数
fm ( x0 ) x2
Jacobi 矩阵
13
一般地，对于n元向量值函数： f : A Rn Rm
定义：f 在x0处的导数(Jacobi矩阵)为：
f1( x0 )
x1
f2 ( x0 )
Df
(
x0
f1, f2 , x1 , x2 ,
, fn , xn x0
向量值函数的偏导数：
若m = n
J f ( x1, x2 )
f1, f2 x1 , x2
( x1 , x2 )
f x0
xi
f1 x0
xi
,
f2 x0
xi
,
,
fm x0
xi
T
本质上是一元向量值函数的导数！
16
5.3 微分运算法则
l t0 x0
t
其中： l (cos1,cos2 , ,cosn )为 l 方向的单位向量，
i 是 l 方向的向量与ei (0,
0, 1 ,0, i个
, 0) 的夹角的余弦，
(i=1,2,…,n)
5
n元函数的梯度和方向导数的计算公式
grad f ( x0 ) f ( x0 ) fx1 ( x0 ), fx2 ( x0 ), , fxn ( x0 )
Df ( x0 ) f '( x0 ) f1 '( x0 ), , fm '( x0 ) T
9
类似可以定义 f 的二阶导数以及n阶导数：
D2 f ( x0 ) f ''( x0 ) f1 ''( x0 ), , fm ''( x0 ) T
Dn f ( x0 ) D Dn1 f ( x) x0
第5节多元向量值函数的导数与微分
(Derivatives and Differential for Vector-valued Function of Several variables)
5.1 一元向量值函数的导数与微分 5.2 二元向量值函数的导数与微分 5.3 微分运算法则
2013年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x0
)
df2 ( x0 )
dfm ( x0 )
=Df ( x0 )dx
f1( x0 )
x1
f2 ( x0 ) x1
f
m
(
x0
)
x1
f1( x0 ) x2
f2 ( x0 ) x2
fm ( x0 ) x2
f1( x0 )
xn
f2 ( x0 xn
)
d x1 dx2
f
m