空间几何体的结构及其三视图和直观

111
6662 2
轴上取点 C 使 OC＝2OC ′, A, B 点即为 A′, B ′点，长度不变．
已 已已知 知知 AAA′′′题BBB′′′＝ ＝＝型AAA′′′CCC三′′′＝＝＝aaa， ，，在 在在空△△ △间OOO几AAA′′′CCC何′′′中 中中体， ，，的直观图
【的由 由由正例正 正正三3】弦 弦弦角已定 定定形理 理理知,得 得得△求sssAiiinnn原B∠ ∠∠COOO△的OOOCCC′′A′AAA直′′′BCCCC观′′′＝ ＝＝的图sss面iiiAAAnnnA′′′积′CCC444555′′′ °°°．B′， ，，C ′是边长为 a
z′轴且长度不_变______．
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
①②④
60 ①②③⑤
③
D
基础自测
5．(2011·浙江)若某 几何体的三视图如图所示，则这 个几何体的直观图可D 以是 ( )
A, B的正视图不符合要求, C的俯视图显然不符合要求.
题 型 一 空间几何体的结构特征
【例1】设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
探究提高
对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了
解能进原行图相形关面问积题S与的其计直算观．图面积S′之间的S关 系42 S
，
【1】已知正三角形ABC的边长为a, 那么△ABC
的平面直观图的面积为D(
)
A.
3 4
a
2
B.
3 8
a
2
C.
6 8
a
2
D.
6 16
a
2
变式训练 3
一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个 等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则
这个平面图形的面积2 是_2_____.
y
D
1C
D
C
2
o
A
E
B x A
B 21
S 12[1 2 1] 2 2 2.
题 型四
几何体的截面问题
解: 如【图例所4】示，棱△长A为BE2的为正题四中的面三体角的形四，个顶点都在同一个球面
解:
解解::
如上(由A∴S∴由 A∴ S∴如如解由A∴S∴由 A∴ S∴正＝＝FF＝＝F图F图所已△已 △ 所图，所已△:已 △ 所＝＝＝＝1212四212探所所如所A求知知 A求求知×××由A∴S知 A求若×BBB面＝示BF示的得示B图究的得得 的ABB的 得AA已△BEA过EEE＝EB，12EE体EBB三，B，解所三三的A三提 ×知A×2的的AA的A×××该222－△B角－－－B的△△B面BB示角决角角A得＝B面面面A高AAABAE＝球＝ ＝形FBABB积AE截B形，FF形 形这BFF2积＝积 积F的ABFF的2B×，222＝2E球为＝ ＝解的＝－，面2△的 的E类B， ，为2212E为 为＝面面为B＝ ＝A12×1212＝:心面为BBA面 面×E)为BB问F××积题积E如F的＝B由A∴S∴2EE积题＝的积积题3题＝为＝，中2FE为＝ ＝图42×已△所＝3面为中12＝33－×为为一4中2×12的的为B所×4422× ×知A求－××2的积34－－E××三的B个.关2题＝示2得的34B3A＝三22E.．23344角＝＝三3E83B3键，..中2截2三＝＝42×的A角＝33＝×2形83－×－角＝△＝B的是角＝ 8383面3面形A，＝＝＝83，B34A形2形三F准3，2积如，＝.FB832，33B3＝2，的，，2角E＝8383确为，，.F83＝22图B12，，＝＝面..为B形×分FBB所E23＝积3FF题，＝析B83，＝＝23示为23，中E4.2×B出B＝22－33×的，EFBB组2234＝三＝EE.23＝求3合＝＝32角＝2383，3图B＝体22形3E33，中3的，＝3833，2，，，三.结2B3F角构3＝，特形23B征E＝，2
面的两个多边形_相__似__．
要点梳理 忆 一 忆 知 识 要 点
2．旋转体的结构特征
几何体
几何特征
圆柱
圆柱可以由矩形绕其__一___边___所____
___在___直___线___旋转得到．
圆 锥可以由直 角 三 角 形 绕
旋 圆锥 _其___一___条___直___角___边___所___在____直___线___旋转得到．
发挥自∴己所的求空的间三想角形象的能面力积，为把立2体. 图和截面图对照分析，有机
结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常
常画一个截面圆作为衬托．
变式训练 4
在棱长为6的正四面体内有一个内切球，(球与正四面 体的四个面都相切)．经过四面体的一条棱及高作截面如 解解解解解图:::::．B同∴∴∴同∴∴∴B同∴∴∴B同∴∴∴B同AAAAD求DDDBBBB理AAO理AAOAA理AAOA理AO理AAOA为HOHOD为D为EHO内ED为为为EHOHODD为为EEAAA＝＝＝AA＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝正正正正切正正正正正正DDDDDDDDOODODD＝四OO＝四2＝＝2四四四四球2＝＝四四四四2266HHEE66AHHAEE66AAHHEEAA，，3面3面，，3面面3面面的，，，D，面3面 3D面面，，DD，，DD2体2体22体体体体3即3半即－22体体－33体体即即∴－－∴33即即∴∴－－，，∴∴，，的的，，的的2的的2径HH的的22的的内内HH22内内又HH又内内又又一一DD又又一一一一DD．3一一6切36切一一DD3366切切223366切切－H个－H22条＝＝－－HH个个条条22＝＝－－球HH个个球条条＝3＝3球球DD33OD球面D球O棱2332OO面面DD棱棱22＝的＝OO的面面棱棱E22E＝＝的的EE的＝，＝的的EE的的，＝，6＝613半13半的的＝＝6，，613半13半，，×＝＝高66×所1313半半，，××高高O所所O径径，，××O高O高所所径径又又B，BOO以EE3径径又3又BB，，以以EE为33为又又DDBB，，，以以，EE为为△33△DD所，，为△为△A＝所所DD＝，，△△AA＝＝所所2A2AB以AA＝＝622A6ABB以以O66O＝22.AA.BB以以OO＝66＝3..3EBEOO33＝＝，..6，EEBB∽D33∽，，66.EEBB∽D∽D，，66..＝∽∽DD△△＝＝..△△＝＝A△△2A3AA22DD×33×AA22DDH××H33DDHH66××，，＝66HH＝，，＝＝66，，33＝＝33 3333，，33，，33，，
变式训练 1
下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱 柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四 棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为 直其四中棱，柱真．命题的编号是②__④______．(写出所有真命 题的编号)
对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足 条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；
对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四 棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一 对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直 于底面，故④真(如图(2))．
题 型二
几何体的三视图
【例2】(2012·东莞模拟)已知三棱锥的正视图与俯
转
圆台可以由直角梯形绕直角腰
体
圆台
所在直线或等腰梯形绕上下底中点 的连线旋转得到，也可由_平____行___于___
圆___锥____底___面____的平面截圆锥得到．
球
球可以由半圆或圆绕其_直___径____ 旋转得到．
图形
要点梳理 忆 一 忆 知 识 要 点
3．空间几何体的三视图
wenku.baidu.com主视图
侧 视 图
对于①,平行六面体的两个相对侧面也可
能与底面垂直且互相平行,故①假；
对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直
于底面,故②真；
变式训练 1
下面是关于四棱柱的四个命题： ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是__②___④___．(写出所有真命题的编号)
俯视图
要点梳理 忆 一 忆 知 识 要 点
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是正用投___影_________得到，这种投影下
与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大
小完是全__相____同________的，三视图包正括视__图_______、侧_视___图______、俯__视___图____．
几何体
几何特征
图形
棱柱的上下底面_平__行_，侧 棱柱 棱都_平__行_且_长_度__相__等_，上底面
和下底面是_全__等__的多边形．
棱锥的底面是任意多边形,
多 棱锥 侧面是有一个_公__共__顶_点__的三角
面
形．
体
棱台可由平__行__于__棱__锥_底__面_
棱台 的平面截棱锥得到，其上下底
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图 中分别平x行′于轴_、__y_′_________．
(3轴)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度 保持不变，平行于y轴的线段，长度变原为来_的__一__半______．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直 观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行 于z轴的线段,在直观图中仍平行于
空间几何体的结构及其 三视
图和直观图
知识网络
结构特征
空
间 几 何
三视图和 直观图
体
表面积和
体积
柱体的结构特征 锥体的结构特征 台体的结构特征 球体的结构特征
三视图(正视、俯视、侧视图)
直观图
斜二测画法
表面积(柱、锥、台、球)
体积(柱、锥、台、球)
要点梳理 忆 一 忆 知 识 要 点
1．多面体的结构特征
俯视图为 ( C )
由三视图中的正、侧视图得到几何体的直 观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.
题 型 三 空间几何体的直观图
【例3】已知△ABC的直观图A′B′C ′是边长为 a
的正三角形, 求原△ABC的面积．
解解解解解: ::建::建建立建建立立如立立如如图如如图图所图图所所示所所示示的的的示示坐坐坐的的标标标坐坐系系系标标x系系xxOOOy′yy,xx′′,,OO△△△yyA′′,,AA′B′△′△BB′C′′AACC′的′′′′的的BB顶′′C顶顶 C点′′的的点点C顶顶CC′在点点′′在在yCC′yy轴′′′′轴轴在在上上上,yy,,′′ 已由所所已由所所已 由 所 所A轴已由所已由所知正以以A轴A轴′知正以以知 正 以 以B上A轴A轴′′BB弦原知正以知正以上上′AO′′边弦原弦 原BB′′取AOAO上上边边′C定三取取弦弦B′′′′在AOAOCC定三定 三边边BB点取取′在在′理角＝点点＝′′CC定定′′′′BB理角理 角＝＝＝＝在在xC点点得形A′′sxx′′理理CC＝＝s＝＝轴得形得 形AAiss′in使ss轴轴Ciisnxx′′iinn使使CCACC得得iAA上ssnnss1nAAss4′i轴轴i上上iiB11O＝2nn′′iinn∠使使4′4′5CCBB，ssnnOO＝＝22O0C∠∠C55°ii，，上上OO00CCa11°nnCCO°°C4′4′＝把a的aa°°，OO＝＝22OOCC∠∠＝＝55把把aaA′的的＝，，，，OO00CC′A′A＝＝°°2高在′aa°°yCOO22CCO高高在在′′＝＝把把aa′yy，，CC2OO轴′△′′′A′AC＝＝6＝O22轴轴′′△△CC6622＝＝aOO在在′′绕Cyy′OCCaa，OOs,绕绕CC′′′O′Oi＝，， 22ss轴轴,,AAA′′△△n原CC66＝＝ii＝＝AAAAAAn原n原′,′aaCC4绕绕′′点,′,′B′O′O，，CCCC44ss5,,′′点点6BB中ii55°AAAAAA′′′′66点n原an原逆中中°°点点aa逆逆，′′,′,′，，CCCC44，，即时点点BB，，，，55即即时时′′′′中中°°为针点点逆逆为为针针，，，，旋即即A时时旋旋AA′转,为为针针′′转转,,BBB4旋旋′AA44点5′′点点55°′′转转,,得°°，BB得得，，长44y长长′′点点55yy度轴°°度度轴轴得得，，不, 不不,,长长在变yy在在变变度度轴轴．y．．yy不不
所 所所以 以以 OOOCCC ′′′＝ ＝＝ssssssiiiiiinnnnnn111444222555000°°°°°°aaa＝ ＝＝ 222666aaa， ，， 所 所所以 以以原 原原三 三三角 角角形 形形 AAABBBCCC 的 的的高 高高 OOOCCC＝＝＝ 666aaa， ，， 所 所所以 以以 SSS△△△AAABBBCCC＝ ＝＝121212× ××aaa××× 666aaa＝ ＝＝ 222666aaa222...
视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该
三棱锥的侧视图可能B 为(
)
探究提高
根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的 画法规则进行．要严格按以下几点执行：
①三视图的安排位置．正视图、侧视图分别放在左、 右两边，俯视图放在正视图的下边．②注意实虚线的区别．
变式训练 2
(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得 几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的
其中真命题的序号是_①___④____．
命题①符合平行六面体的定义，故命题①正确．
底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故 命题②错误．
因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③错误．
命题④由棱台的定义知是正确的．
探究提高
解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几 何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说 明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．
主视图
高
侧
平
视
齐
图
长对正 俯视图
宽 相 等
要点梳理 忆 一 忆 知 识 要 点
4．空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用_斜__二__测__画法，基本步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相 交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两 轴相交于点O′，且使45∠ x或′(O1′35y′) ＝_____________．