第十六章二次根式知识点与常见题型总结

二次根式小结与复习基础盘点

1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根式.

定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；

（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质

（1）a _____0（a ___0）；（2）

()2

a ＝_____（a ___0）

；（3）a a =2＝()

()

⎩⎨

⎧0_____

0_____

a a ；

（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____. 4.二次根式的乘、除法则：

（1）（a ___0，b ___0）；（2）

=_______（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2

()

()

⎩⎨⎧<-≥00a a

a a

进行化

简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；

（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.

5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.

6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；

（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8； （3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.

7.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘

法公式在二次根式中仍然适用；

（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.

8.二次根式的实际应用

利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 考点1 二次根式有意义的条件

例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）

A.x ≥

34 B.x ＞34 C.x ≥43 D.x ＞4

3 方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0. 考点2 二次根式的性质

例2 下列各式中，正确的是（ ）

A.

()332

-=- B.332-=- C.

()332

±=± D.332±=

方法总结：

()

a a =2

成立的条件是a ≥0，而在化简

()2

a 时，先要判断a 的正负情况.

考点3 二次根式的非负性 例3 已知32552--+-=

x x y ，则xy 2的值为（ ）

A.—15

B.15

C.215-

D.2

15 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 考点4 最简二次根式

例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

A.

5

1

B.5.0

C.5

D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.

考点5 二次根式的运算 例5 计算1824-×

3

1

＝____. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为

乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则. 考点6 二次根式的化简求值 例6 若1

20142013-=

m ，则3

4520132m m m --的值是_____.

方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用. 跟踪训练

1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3 B.x ≤3 C.x ＜3 D.x ＞3

2.下列各式是最简二次根式的是（ ）A.20 B.1.2 C.72 D.

5

1

3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18 B.24 C.12 D.9

4.化简122

1

54+⨯

的结果是（ ）A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）

A.25＝±5

B.12734=-

C.9218=÷

D.62

3

24=• 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ）

A.3-

B.33

C.223-

D.13-

7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.

8.当m ＜0时，化简m

m 2

＝____.

9.计算：

(

)

2850÷-的结果是_____.

10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+

-a a ＝_____.

11.已知011=-++b a ，则20132013

b a

+＝____. 12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____. 13.先化简，再求值：()()

()633--+-a a a a ，其中2

1

5+

=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过程：