上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析

上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期末
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若实数a b >，则下列说法正确的是__________．
（1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b
<；（4）22a b > 2．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________．
3．函数()()227111m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =__________．
4．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.
5．不等式1213x x -++<的解集为__________．
6．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________．
7．已知函数(
)f x =
，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．
8．函数()2436
x x f x x ++=-的值域为__________． 9．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________．
10．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩
，()()2ln 21x g x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．
二、单选题
11．幂函数()y f x =
的图象经过点，则()f x 是（ ）
A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数
B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数
C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数
D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数
12．若函数6(3)3,7(),7
x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,3
D ．()2,3 13．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则
()()1120202018f x f x ---+-的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．-2
D ．不能确定 14．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ）
A ．1个
B ．6个
C ．8个
D ．无数个
三、解答题
15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()0f 及()()1f f 的值；
（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数
()()0C x A f x C B x A x A
<≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元.
（1）求实数A 、B 、C 的值；
（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？
17．已知函数1
2
1()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，12
()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程12
()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围. 18．已知函数()2,2,x x P
f x x x x M ⎧∈=⎨-+∈⎩，其中P ，M 是非空数集且P M ⋂=∅.设
()(){},f P y y f x x P ==∈，()(){},f M y y f x x M ==∈.
（1）若(),0P =-∞，[]04M =，
，求()()f P f M ； （2）是否存在实数3a >-，使得[]3,P M a =-，且()
()[]323f P f M a =--，？若存在，求出所有满足条件的a ；若不存在，说明理由；
（3）若P M R ⋃=且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P ，M .
参考答案
1．（1）
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论.
【详解】
根据不等式的性质（1）正确；
（2）中如果0c ≥时不成立，故错误；
（3）若1,1a b ==-时，11a b
<不成立，故错误； （4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误.
故答案为:（1）
【点睛】
本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题.
2．0b =
【分析】
根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】
()()0f x kx b k =+≠为奇函数，
则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=.
故答案为:0b =.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题.
3．2或-1
【分析】
根据幂函数的定义，即可求解.
【详解】
()()227111m m f x m m x ++=--是幂函数，
2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.
故答案为: 2或-1.
4．94
【分析】 根据基本不等式2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
结合所求代入公式，即可求解. 【详解】
由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当11a b +=+，即12a b ==
时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为
94. 故答案为
94
【点睛】 本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件. 5．()7,6-
【分析】
对x 分类讨论去绝对值，即可求解.
【详解】
1213x x -++<化为
12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩
， 解得16x ≤<或2
1x 或72x -<<-，
所以76x -<<.
故答案为:()7,6-.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题.
6．若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.
【分析】
根据逆否命题的形式，即可得出结论.
【详解】
“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是”
“若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.”
故答案为: 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.
【点睛】
本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.
7．2,⎡⎣ 【分析】
根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域
【详解】
()()
[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,
()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，
即为()1g x -的定义域.
故答案为:2,⎡⎣.
【点睛】
本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.
8．()
,161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】
设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.
【详解】 设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t
++-==+==++，
当0t >时，()16g t ≥，
当且仅当6t x ==时等号成立；
同理当0t <
时，()16g t ≤-，
当且仅当6t x =-=-时等号成立；
所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞
⎣. 故答案为: ()
,161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】
本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.
9．2
【分析】
根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解.
【详解】 336313126,log 6log 6,0,log 3log 6
a b ab ab a ab a b ====≠∴=
=， 同理66log 12,log 362a a b =+==.
故答案为:2.
【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题. 10．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【分析】
若对任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.
【详解】
当()221
121()24
x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4
k f x k ∴-<≤+， 当()13
11,log 122x x f x >=-<-+，
()()2ln 21x g x a x x =++
+， 设21
x y x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x
>==≤∴<≤++，
当1x =时，等号成立
同理当20x -<<时，102
y -≤<， 211[,]122
x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，
均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，
当2x >-时，ln(2)x R +∈，
若0,2,()a x g x >→-→-∞，
若0,,()a x g x <→+∞→-∞
所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424
k k +≤-≤-， 实数k 的取值范围是3,4
⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.
11．D
【分析】
首先根据题意得到()12f x x
=，再判断其单调性和奇偶性即可.
【详解】
设幂函数()a
f x x =
，因为图象经过点
，所以3a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.
故选：D
【点睛】
本题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，同时考查了幂函数的定义，属于简单题. 12．B
【分析】
利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可
【详解】 解：函数6(3)3,7(),7
x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
．
故选：B ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 13．A
【分析】
由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解. 【详解】
定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立，
()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，
()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.
故选:A,
【点睛】
本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.
14．B
【分析】
根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解.
【详解】
满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；
(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；
(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；
(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数定义，属于基础题.
15．（1）()00f =，()()11f
f =-；
（2）()1,0- 【分析】
（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；
（2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可.
【详解】
（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，
且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；
（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，
只需0x >时，()f x m =有两个解，
当0x ≥时，()22
2(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.
16．（1）11A =，58B =
，4C =；（2）1154元 【分析】
（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ；
（2）根据解析式，即可求解.
【详解】
（1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527
f f f f A --≠∴≤<--， (27)4(27)144,(35)4(35)19
f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==， 511,,48
A B C ∴===. （2）5(29)4(2911)11.258
f =+⨯-=（元）， 答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元.
【点睛】
本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题.
17．(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) []
1,1-
【分析】
（1）利用奇函数的定义可求a 的值. （2）先计算出12
()log (1)f x x +-，再求出它在(1,)+∞上的最大值后可求m 的取值范围. （3）根据()()12log f x x k =+可得211k x x =
-+-，令()211
g x x x =-+-，求出该函数在[2,3]的值域后可求k 的取值范围.
【详解】
（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即1
11222
111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----， 整理得到：222a x x =恒成立，解得1a =-或1a =（舍）.
（2）()()()()11
112222
1log 1log log 1log 11x f x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12
log 11x +<-，
∴1m ≥-.
（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()1122
1log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211
k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211
g x x x =-+-在[]2,3上单调递减，()g x 的值域为[]1,1-， ∴[]1,1k ∈-.
【点睛】
本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.
18．（1）[)8,-+∞；（2）存在，3；（3）()
[)0,1,P t =+∞，(][),0,1M t =-∞，其中01t <<或(][)0,1,P t =+∞，(](),0,1M t =-∞，
其中01t <<或[)1,P =+∞，(),1M =-∞，或()0,P =+∞，(],0M =-∞
【分析】
（1）依题意(),()f P f M 分别表示,x P x M ∈∈时()f x 的值域，结合||y x =的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论；
（2）抓住线索3P M -∈，逐层深入，先判断3P -∈，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a 的值；
（3）根据函数的单调性，可得(,0),(1,)M P -∞⊆+∞⊆，再证明在(0,1)上存在分界点的
话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合,P M .
【详解】
（1）()()(),0,(){|||,,0}0,P f P y y x x =-∞∴==∈-∞=+∞，
[][]2,(){|2,}[8,]04041f M y y x x M x ∴==-∈=-=+，，，
()()[8,)f P f M =-+∞；
（2）若3M -∈则(3)15[3,23]f a -=-∉--，不合题意，
3P ∴-∈从而(3)3,
(3)3[3,23]f f a -=-=∈--，
233a ∴-≥，得3a ≥. 若3a >，则22
233(1)12a x x x ->>--+=-+， ,23P M a =∅∴-的原象0x P ∈且03x a <≤，
023,3x a a a ∴=-≤≤，矛盾.
3a ∴=，此时可取[3,1)[0,3],[1,0)P M =--=-，满足题意.
（3）()f x 是单调递增函数，∴对任意0,()(0)0x f x f <<=，
,(,0)x M M ∴∈∴-∞⊆，同理可得：(1,)P +∞⊆.
若存在001x <<，使得0,x M ∈则200001()2f x x x x >=-+>，
于是2000[,2]x x x M -+⊆，记221002112(0,1),2,x x x x x x =-+∈=-+，
01[,]x x M ∴⊆，同理可知12[,],
x x M ∴⊆，由212n n n x x x +=-+， 得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=-，
22221201(1)(1)(1)n
n n n x x x x ---=-=-==-， 对于任意0[,1)x x ∈，取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----
中的自然数x n ，则10[,],[,1)x x n n x x x M x M +∈⊆∴⊆
综上所述，满足条件的,P M 必有如下表示：
()[)(][)0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<，
或(][)(]()0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<，
或[)()11,,,P M ==-∞+∞，或()(]0,,,0P M =+∞=-∞.
【点睛】
本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题.。