概率的定义及其运算

2.概率的定义及其运算

除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次实验

中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某

个事件发生的可能性的大小。例如遇到某种天气，人们

常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就

是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。这

是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历

过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约

是到。一般地，人们希望用一个适当的数字来表示

事件在一次实验中发生的可能性的大小。这是就下雨所

讨论的随机事件发生的频率与概率。

频率

3

.

定义 1.1设在相同的条件下，进行了次实验。若随机事件在这次实验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为。频率具有如下性质：b5E2RGbCAP

1.对任一事件, 有；

对必然事件, 有

2.

若事件互不相容，则

3.

一般地, 若事件两两互不相容, 则

事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次实验中发生的可能性越大。但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次实验，却会不同。但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加实验次数，则随机波动性将会减小。随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。这样常数P(A>客观上反映了事件A发生的可能性的大小。p1EanqFDPw

历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的实验，所的结果如下：

实验者掷硬币次数出现正面的

次数出现正面的频率

浦丰皮尔逊皮尔逊4040

12000

24000

2048

6019

12018

0.5069

0.5016

0.5005

可见出现正面的频率总在0.5附近波动。随着实验次数的增加，它逐渐稳定于0.5。这个0.5就能反映正面出现的可能性的大小。DXDiTa9E3d

每个事件都由这样一个常数与之对应。这就是说频率具有稳定性。因而可将事件A的频率在无限增大时所逐渐趋向稳定的那个常数P(A>定义为事件A发生的概率。这就是概率的统计定义。RTCrpUDGiT

1.2.2 概率的统计定义

定义 1.2 设随机事件A在次重复实验汇总发生的次数为，若当

实验次数很大时, 频率稳定地在某一数值的附近摆动, 且随着实验次数的增加, 其摆动的幅度越来越小, 则称数为随机事件A的概率, 记为。5PCzVD7HxA

由定义, 显然有

0 ≤P(A> ≤ 1 ，P(Ω >=1，P(φ >=0。

概率的统计定义本身存在着很大的缺陷, 既定义中的“稳定地在某一数值p的附近摆动” 含义不清, 如何理解”摆动的幅度”？或多或少地带有人为地主观性。jLBHrnAILg

频率概率的意义在于<1）它提供了估计概率的方法；<2）它提供了一种检验理论正确

与否的准则。

1.2.3 概率的公理化定义

定义1.3设随机实验的样本空间为。若按照某种方法, 对的每一事件A赋于一个实数P(A>, 且满足以下公理：xHAQX74J0X

1.非负性:

规范性:

2.

可列(完全>可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件

3.

有

则称实数为事件的概率。

由概率的定义可以推得概率的如下一些性质。

性质1不可能事件的概率为零, 即。

证令, 且则,于是

从而由得。

性质2概率具有有限可加性, 即若事件两两互不相容, 则证因为

所以由概率得可列可加性及性质1, 得

性质3对任何事件, 有

证因为

所以由

，

即得，同时由, 可推得：对任一事件, 有

性质4对事件、，若, 则有

证:由图１－１可知

且

因此由性质2 , 得

，即

再由，得

性质5 对任意两事件、，有。

证由图１－２可知

且

故得

，及

将以上两式相减, 并将移至等号右端，即得

性质５还可推广到n个事件的情况.。当n=3时，有

一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，则有

1.某人外出旅游两天。拒天气预报，第一天下雨的概率为0.6，

第二天下雨的概率为0.3，两天

都下雨的概率为0.1。试求：

1.第一下雨而第二天不下雨的概率；

第一天不下雨而第二天下雨的概率；

2.

至少有一天下雨的概率；

3.

两天都不下雨的概率；

4.

至少有一天不下雨的。

5.

解设Ai表示第i天下雨的事件，i =1，2。由题意，有

P(A1>=0.6，P(A2>=0.3，P(A3>=0.1

(1> 设B表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，则由

，且

得

2.设C表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，则同(1>的解

法，有

设D表示至少有一天下雨的事件，则由

3.

得

。

设E为两天都不下雨的事件，则由

4.

得

设F表示至少有一天不下雨的事件，则

5.

例2某地发行A,B,C三种报纸.已知在市民中订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A,及B报的有10%,同时订阅A报及C报的有8%,同时订阅B报及C报的有5%.同时订阅A,B,C报的有3%.试求下列事件的概率:LDAYtRyKfE

1.只订A报,

只订A及B报。

2.

至少订一种报纸。

3.

不订任何报纸。

4.

恰好订两种报纸。

5.

恰好订一种报纸。

6.

至少订一种报纸.

7.

解设A,B,C分布表示订A报、订B报、订C报的事件，则由题设，有

P(A>=0.45,P(B>=0.35,P(C>=0.30,P(AB>=0.10,P(AC>=0.08,P(BC>=0 .05,P(ABC>=0.03.Zzz6ZB2Ltk

(1>=P(A-B-C>=P(A-AB-AC>