传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解

9集总热容系统。
t
τ=0
t0
τ1
τ2
τ3
t
τ=0
t0
τ1
τ2
τ3
t∞
t∞
t∞
t∞
-δ 0
δx
-δ 0 δ x
9外部对流换热 9内部导热热阻和
热阻趋于零；
外部对流换热热
9第一类边界条件． 阻相当。
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解
∂t
∂τ
=
λ ∂ 2t ρc (∂x2
+ ∂ 2t ∂y 2
+
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
B.C x = 0 ∂θ = 0
∂x
x = δ − λ ∂θ = hθ
∂x
τ1 τ2 τ3
t∞ -δ 0
用分离变量法求解，直接给出分析解：
t0
t∞ δ
∑ θ ( x / δ ,τ )
¾ 平板，圆柱与球的温度分布的解是无穷级数的和。 ¾ 平板，圆柱与球中无量纲过余温度分布：
θ ( x / δ ,τ ) = t − t∞ = f (Bi , Fo , x )
θ0
t0 − t∞
δ
¾ 原导热微分方程的温度分布：
t = f (a,τ , λ , δ , h, x)
简化了未知数的个数
3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解简化
θ0
=
∞ n =1
μn
2 sin μ n + sin μ n cos
e−
μ
2 n
Fo
μn
cos( μ n
x)
δ
说明
∑ θ(x /δ,τ ) =
解是无穷级数的θ和0 。
∞ n=1
μn
+
2sin μn sin μn cosμn
e−μn2Fo
cos(μn
x
δ
)
¾ 特征值 μ n
t
是超越方程
tan
μn
=
Bi
∑ θ (r / R,τ )
θ0
=
∞ n =1
2
sin(
μn
)
−
μn
cos(
μ
n
)e−
μ
2 n
Fo
μn − sin( μn ) cos( μn )
1
μnx /δ
sin( μn
x)
δ
9 μn 是超越方程的根（特征值）：
1 − μ n cos( μ n ) = Bi , n = 1,2,3,...
总结
t0
τ1 τ2
∂t = a ∂2t (0 ≤ x < δ , τ > 0)
τ3
∂τ
∂x 2
t∞
t∞
I.C τ = 0 t = t0 (0 ≤ x ≤ δ )
-δ 0 δ
B.C x = 0 ∂t = 0 ∂x
x=δ
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−
t∞ )
分析 x≥0的半个平板
9 引入过余温度：θ= t - t∞ 用过余温度表示的导热微分方程：
=
μ1
2 sin μ1 + sin μ1 cos
μ1
e − μ12 Fo
cos( μ1
x)
δ
圆柱； θ (r / R,τ )
θ0
=
2
μ1
J
2 0
J 1 ( μ1 )
( μ1 )
+
J
2 1
( μ1 )
e − μ12 Fo
J
0
(μ1
r) R
球；
θ (r / R,τ ) = 2(sin μ1 − μ1 cos μ1) e−μ12Fo sin( μ1r / R)
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
μn
的根。
τ=0 τ1
t0
¾ 无量纲温度分布：
τ2
τ3
θ ( x,τ ) = t − t∞ = f (Bi , Fo , x ) t∞
t∞
θ0
t0 − t∞
δ
-δ 0 δ
¾原导热微分方程的温度分布：
t = f (a, τ , λ, δ , h, x)
简化未知数个数
μn为超越方程的根： tan
μn
=
2 n
Fo
)
J 0 (μn
x
δ
)
9 μn 是超越方程的根（特征值）：
μn
J1 (μ n ) = Bi , J 0 (μn )
n = 1,2,3,...
9 其中：Bi = hR
λ
3. 球
问题：实心球半径R，λ，a，фV=0, h，初始 温度t0，突置于流体中t∞，且t∞ < t0。
球中无量纲温度分布：
无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小。
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
1. 非稳态导热正规状况阶段的物理概念和数学含义
正规状况阶段：物体中的温度分布主要受热 边界条件的影响的阶段。
傅里叶数 Fo 对温度分布的影响
¾
Fo
增加时，θ
θ0
逐渐减小，t 越接近于 t∞。
Fo
=
aτ
l2
¾ Fo≥0.2 时，取级数的百度文库一项作解，略去无穷
级数中第二项以后各项所得的计算结果与按
完整级数计算结果的偏差小于1%。
以平板为例进行说明
∑ e θ (η,τ )
θ0
=
∞ n=1
μn
+
2 sin μn sin μn cos μn
cos(μn
x)
δ
−
μn2
aτ δ2
特征值μn是Bi数的函数。在一定的Bi下，特征值μn随n的 增加而迅速增长。当Bi＝1时，μn的前4个值：
0.8603 → 3.4256 → 6.4373 → 9.5293
∂ 2t ∂z 2
)
+
ΦV
ρc
t
λ
ФV
t
λ ФV
t
λ ФV
r
x
t = f (x,τ)
r
t = f (r,τ)
t = f (r,τ)
1. 平板
问题：无限大平板厚 2δ,λ，a，фV=0, h，初始温度t 突置于流体中t∞，且t∞ < t0。
t
确定：温度分布 导热微分方程：
t = f (x,τ )
τ=0
Bi
μn
⇒
ctg μn
=
μn
Bi
可查表求部分Bi数下的μn值
2. 圆柱
问题：实心圆柱半径R，λ，a，фV=0, h，初始 温度t0，突置于流体中t∞，且t∞ < t0。
圆柱中无量纲温度分布：
∑ θ (r / R,τ )
θ0
=
∞2
μ n =1 n
J1(μn )
J
2 0
(μn )
+
J
2 1
(
μ
n
e−
μ