单纯形法人工变量法

x1-2x2+x3+x4
=11
-4 x1+ x2+2x3 -x5 + x6 =3
-2x1 + x3
+ x7 =1
x1，…， x7 0
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第一阶段的单纯形表如下：
cj
0
CB XB b
x1
0 x4 11 1 1 x6 3 -4 1 x7 1 -2
6
0 x4 10 3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
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用两阶段法求下面线性规划问题的解 Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4 2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16 x1，x2，x 3≥0
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线性规划问题解的讨论
一、无可行解
max z=2x1+4x2
x1 +x2 10
两阶段法
2x1 +x2 40
x1 ,x2 0
cj
CB XB b
0 X3 10 -1 x5 40
cj-zj
0 x1 10 -1 x5 20
cj-zj
0 0 0 0 -1
x1 x2 x3 x4 x5
[1] 1 1 0 0
10
2 1 0 -1 1
40/2
2 1 0 -1 0
1 1100 0 -1 -2 -1 1
a11x1 a21x1 am1x1
a1n xn xn1 a2n xn xn2
amnxn
b1 b2
xnm bm
x1, , xn 0, xn1, , xnm 0
人工变量是虚拟变量，加入原方程中是作为临时基变量， 经过基的旋转变换，将人工变量均能换成非基变量，所得 解是最优解；若在最终表中检验数小于零，而且基变量中 还有某个非零的人工变量，原问题无可行解。
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大M法
在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 其中M为充分大的正数。
x1 2 x2 x3 x4
11
4 x1 2 x1
x2
2
x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1 , , x7 0
只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善
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例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
解：先在上述线性规划问题的约束方程中加入人工变量，
给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
0
0 x4 12 3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
10
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
0
0
0
1 -2 2
1
0
0 -1 1
0
1
00
0
0
0
01
1
1
x7
0
11
0 3/2
1
1
0
-1 —
-2
0
1
1 x3 1 -2
0
0
1 -2 4
0
0 -1 —
1
0
0—
σj
-1
0
0
0
1
-3 x1 4
1
0
0 1/3 -2/3
1 x2 1
0
1
0
0 -1
1 x3 9
0
0
1 2/3 -4/3
σj
2
0
0
0 1/3 1/3
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约束方程为“>=”或“=”的情形（加人工变量）
人工变量法（确定初始可行基）：
原约束方程：AX=b 加入人工变量：xn+1，，xn+m
约束方程为“>=”或“=”的情形（加人工变量）
标准型：
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
3 1
x1 , x2 ,x3 0
max z’ =3x1-x2-x3
x1 2 x2 x3 x4 11
s.t.
4 2
x1 x1
x2 2x3 x3
x5 3 1
x1 , , x5 0
其中第2、3个约束方程中无明显基变量，分别加上人工变量x6, x7,
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x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1 , , x7 0
这时，初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0，0，0， 11，0，3，1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从 X(0)开始，经迭代逐步得到x6=0，x7=0 的基可行解， 从而求得问题的最优解，有两种方法：
Z0=-40
0 -1 -2 -1 第0 11页/共1Z91页=-20
x2
x1
人工变量不能从基底 换出，此时原线性规 划问题无可行解。
，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。例的单纯形表格为：
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Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 11
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1
Leabharlann Baidu
-2
0 〔 1〕 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
0
-M
x7
0 0 1
11 3/2
1
0
0 x4 10 3
-2
0
-M x6 1 0 [ 1]
0
-1 x3 1 -2
0
1
1 -1+M 0
1
0
0
-1
0
0
0 -M
0
-1
1
-2
1
0
1
0 -3M+1
0 x4 12 [ 3]
0
0
1
1
1
—
3
-5
4
-2 —
0
—
1
第一阶段求得的结果是 = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 因人工变量 x6= x7=0，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
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第二阶段运算:
cj
-3
1
1
0
0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 12 [3]
0
1 x2 1
-2
-1 x2 1 0
1
0
0
-1
4
-1 x3 1 -2
0
1
0
0
1
0
0
0
-1
3 x1 4
1
0
0
1/3 -2/3
-1 x2 1 0
1
0
0
-1
-1 x3 9 0
0
1
2/3 -4/3
-2 0
0
0 -1/3 -1/3
X* = (4，1，9，0，0)T, z* = 2 第4页/共19页
两阶段法
第一阶段：以人工变量之和最小化为目标函数。 min = x6+x7 只要原问题有可行解，该最小化问题的最优目标函数值就 是 0，解得的最优解 x6=0，x7=0，对应原问题一个基可行解。 反之若该问题的最优解目标函数值大于零，则说明原问题无可 行解。 第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初始解， 以原目标函数为目标函数。