有限元第7章等参数单元

一、等参数单元刚度矩阵 第四步 单元应变-单元位移-节点位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ之间的关系
u 4 N ( , ) u i i x i 1 x x 4 v { ( x, y )} y N i ( , )vi y y i 1 xy u v 4 4 N i ( , )ui N i ( , )vi x i 1 y i 1 y x
u 1 2 3 4
v 5 6 7 8
1 N1 N1 ( , ) (1 )(1 ) 4
1 N 2 N 2 ( , ) (1 )(1 ) 4
1 (1 )(1 ) 4 1 N 4 N 4 ( , ) (1 )(1 ) 4 1 Ni ( , ) (1 i )(1 i ) N3 N3 ( , )
如果把矩形单元改成任意四变形单元，用于求解不规则区域时单元分割 就要方便得多，而且至少有4个节点8个自由度，其位移插值函数的阶次 也比线性三角形单元高。因此，任意四边形单元是比较理想的单元形式 。但是，如果仍采用双线性的位移插值函数，任意四边形单元不能满足 相邻单元间的位移协调，即相容性条件。
y
3
根据复合函数求导法则，有 x y
x y x y x y
为写成矩阵形式，记变换矩阵(雅可比矩阵)为
x ( x, y) [J ] ( , ) x
4
(1,1 ) (1, 1) (2 ,2 ) (1, 1)
(3 ,3 ) (1,1) (4 ,4 ) (1,1)
这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数(7-1)可以表示为
u Ni ( , )ui
i 1
4
v Ni ( , )vi
N1 x 0 N1 y
0 N1 y N1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
N 4 x 0 N 4 y
u1 v1 0 u 2 N 4 v2 y u3 N 4 v3 x u4 v 4
N1 x 0 N1 y
0 N1 y N1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
N 4 x 0 N 4 y
u1 v1 0 u 2 N 4 v2 y u3 N 4 v3 x u4 v 4
[ J ]1
为雅可比矩阵的逆阵。 | J |
为雅可比矩阵的行列式
x | J | x
y x y x y y
4 4 Ni ( , )ui Ni ( , )ui Ni ( , )ui 1 y i 1 y i 1 i 1 x | J | 4
d 1 2 x 3 y 4 x2 5 xy 6 y 2
单元内位移为二次函数变化，应变和应力呈线性变化。但这种单元的面 积小，节点多，也会使方程数目激增，占用计算机资源多。目前较少使用 。 双线性插值函数的矩形单元，由于位移插值函数比三角形线性单元的位 移插值函数多了一项，单元内的应力和应变不再是常量，精度也会高些。 但是，一般矩形单元只适用矩形规则区域的求解，对于任意形状的非规则 区域，单元分割时不方便，在边界上的计算精度要降低。因此，在实际中 也很少使用。
i 1
4
Ni ( , ), i 1, 2,3, 4 是与形状函数完全一样的双线性函数
在正方形每一条边上， N
i
( , )
是一个坐标变量的线性函数，而线性变换是点点对应的，那么四边形 四条边上的变换是点点对应的。
4
3
(1,1)

3
p( , )
(1,1)
1
y
p ( x, y )
1. 根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分 单元的几何形状，这个实际划分单元称为子单元。 2. 利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。
母单元的正交坐标轴 ( , ) 影射到子单元上，得到一个斜角坐标轴，仍记为
( , )
现在子单元有两种坐标，一个是整体坐标
( x, y )
3
(1,1)
4

3
p( , )
(1,1)
1
y
p ( x, y )
1

4

2

(1, 1)
1
1
1
(1, 1)
2
1
x
3
(1,1)
4

3
p( , )
(1,1)
1
y
p ( x, y )
1

4

2

(1, 1)
1
1
1
(1, 1)
若由节点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比 由节点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所 用节点参数个数少，则称为亚参元； 反之，若阶次高，节点个数多，则称为超参元。
亚参元和超参元虽然也有应用，但是不如等参数元应用普遍。
根据上述理论，可总结出参数元的基本思想：
首先建立规整形状单元(母单元)的形函数，然后利用它做两件事
N 3 N1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N1 N 3 N 3 N 2 N 4 N1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4 y y y x x x x y
令一个是固定于单元的局部坐标
( , )
当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单 元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建 立母单元的形状函数。
第三节 等参数单元平面问题的有限元格式
前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出 单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数 单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论 单元刚度矩阵的形成。
y y
x x [J ] x x
y x y y
第七章 等参数单元
三节点三角形单元具有如下特点：
1. 位移插值函数为线性函数，因此称为三角形线性元。 2. 线性单元的位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量。 3. 应力和应变在求解区域内都不是连续的。 为提高计算精度，实际分析时可以采取的方法： 1. 单元分细； 2. 构造高精度新单元。
将单元分细可提高计算精度，因为有限元法的计算基础就是当单元无限 分细时计算结果将收敛于精确解。但是单元分细会增加单元数目和节点数 目，从而增加所要求解的方程组，占用和耗费大量的计算机资源。所以， 用细分单元的方法来提高精度有时是不经济的。
构造具有较高精度的单元也可以提高计算精度。单元节点数增多，则自 由度数目增多，允许采用较高阶次的位移插值函数，从而提高计算精度。例 如6节点三角形单元其位移插值函数为完全二次多项式。
[ B1
B2
B3
{d1e } e {d 2 } B4 ] e [ B]{d e } {d3 } e { d 4 }
二、等参数坐标变换
4 x Ni ( , ) xi i 1 4 y N ( , ) y i i i 1
2
1
x
注意到这一坐标变换不是针对整个求解区域，而是针对每一个单元分别进行的。
xOy
O
平面为整体坐标系，它适用于所有单元， 坐标为局部坐标系，它只适用于每个要变换的单元。
在每个单元上考察整体坐标
的变换(相容性)。
( x, y ) 到局部坐标 ( , )
之间是否满足上述要求
首先看一下局部坐标系下的位移插值函数、形状函数和收敛性条件，再讨 论具体的坐标变化。
4
d 1 2 x 3 y 4 xy
y kx b, (k 0)
1
d Ax Bx C
2
2
x
第二节 四节点四边形等参数单元
我们知道，矩形单元是满足解的收敛性条件的。如果通过一个坐标 变换将任意四边形单元变换成矩形单元，只要坐标变换中任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的(坐标变换的相容性)，而变换后的位移 插值函数又是满足解的收敛性条件的，这两条合在一起就能保证任意四边 形在原坐标系中满足收敛性条件。
[ B1
B2
B3
{d1e } e {d 2 } B4 ] e [ B]{d e } {d3 } e { d 4 }
第五步 单元应力-应变-节点位移之间的关系
{ ( x, y)} [ D]{ ( x, y)} [ D][ B]{d e}
第六步 单元力-节点位移之间的关系 由虚位移原理，利用以前所推导的方法，可得到节点力与节点位移之间的 关系式
i 1
4
从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单 元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换 相容性的要求。
采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的 要求，即
x Ni ( , ) xi
i 1
4
y Ni ( , ) yi
y 1 x 1 [J ] | J | x y
y x
{F } [ B] [ D][ B]dV {d }
e T e
{F e } [ [ B]T [ D][ B]tdxdy{d e } [ K e ]{d e }
[ K ] [ B ] [ D ][ B]tdxdy
e T
[ B]
矩阵由式(7-5)给出，积分区域为任意四边形单元内区域。
1

4

2

(1, 1)
1
1
1
(1, 1)
2
1
x
子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移 是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因 此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。
位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们 用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状 函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元 为等参数单元。