例谈运用构造法证明不等式

例谈运用构造法证明不等式

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。

一、构造向量证明不等式

例1：证明9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

简析与证明：不等式左边可看成7与 x 和2与29x -两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=( x ,

29x -)的数量积，

又a ·b ≤|a |·|b | ，所以9)9(·)2()7()9(2722222

=-++≤-+x x x x

当且仅当b=λa (λ>0)时等号成立，故由02

97

2

>--+

λx x 得：

x=7,λ=1，即 x =7时，等号成立。

例2：求证：6

1

)62()3()12

2

2

≥

-++-++y x y x y －（ 简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x +y －3 , 2x +y －6)模的平方，又 |a |·|b |≥a ·b ,为使 a ·b 为常数，根据待定系数法又可构造 b = (1 , 2 ，-1)

于是|a |·|b |=6·)62()3()1(2

22-++-++-y x y x y a ·b ＝11·)62(2·)3(1·)1）－（＋－（--++-+y x y x y 所以16·)62()3()1(2

22≥-++-++-y x y x y 即6

1

)62()3()12

2

2

≥-++-++y x y x y －（ 二、构造复数证明不等式 例3、求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-++-+-++

+y x y x y x y x

简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z 1= x +y i , Z 2 = x +（1－ y ）i ，Z 3 = 1－ x + y i ，Z 4 = 1－ x +（1－ y ）i 模的和，又注意到Z 1＋Z 2＋Z 3＋Z 4＝2＋2 i ，于是由 1z ＋2z ＋3z ＋4z ≥4321z z z z +++可得

2222)1()1()1()1(2222222222-+≥-+-++-+-+++y x y x y x y x

图（1）

此题也可构造向量来证明。 三、构造几何图形证明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当

且仅当

c

a b 1

11+=时取等号。 简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形： 作OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）

则∠AOC ＝120°，AB=22b ab a +-，BC=22c bc b +-,AC=22c ac a ++ 由几何知识可知：AB ＋BC≥AC

∴22b ab a +-+22c bc b +-≥22c ac a ++ 当且仅当A 、B 、C 三点共线时等号成立，此时有

︒=︒+︒120sin 2

1

60sin 2160sin 21ac bc ab ，即ab+bc=ac

故当且仅当

c

a b 1

11+=时取等号。 四、构造椭圆证明不等式 例5：求证：3

132294342≤--≤-

x x 简析与证明：294x -的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。

于是令 )0(942≥-=

y x y ，则其图象是椭

圆14

9

42

2=+y x 的上半部分，设y-2x=m ，于是只需证3

13234≤≤-

m , 因 m 为直线y=2x ＋m 在y 轴上的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x ＋m 过点（32，0）时，m 有最小值为m=3

4

-；当直线y =2x ＋m 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值。

由 ⎩⎨

⎧=++=4

922

2

y x m x y 得：13x 2 + 4mx + m 2 – 4 = 0

图（2）

令△= 4（52－9m 2）=0 得：3132=

m 或3

13

2－=m （舍）

即m 的最大值为

3

132，故3132m 34≤≤-，即3132294342

≤--≤-x x

五、构造方程证明不等式

例6：设 a 1、a 2、…a n 为任意正数，证明对任意正整数n 不等式(a 1 + a 2 + … + a n )2 ≤ n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 )均成立

简析与证明：原不等式即为 4 (a 1 + a 2 + … + a n )2－4n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) ≤ 0 由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：

( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) x 2 + 2 (a 1 + a 2 + … + a n ) x + n=0 （＊） 因方程左边＝ (a 1 x + 1)2 + (a 2 x + 1)2 + … ＋ (a n x + 1)2 ≥ 0

当a 1、a 2、…a n 不全相等时，a 1 x +1、a 2 x +1、…a n x +1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a 1＝a 2＝…＝a n 时，方程（＊）有唯一解 x ＝1

1

a -

故△＝4 ( a 1 + a 2 + … + a n )2 － 4n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) ≤ 0 即(a 1 + a 2 + … +a n )2 ≤ n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) 对任意正整数n 均成立 六、构造数列证明不等式

例7：求证：C n 1+C n 2+…+C n n >21-n 2·

n

简析与证明：不等式左边即为 2n －1=2

12

1--n

从而联想到等比数列的求和公式，于是左

边=1+2+22+…+ 2

n －1

=2

1[(1+2n-1) + (2+2n-2) + … (2n-1+1)≥21·n ·1

22-n =2

1

-n 2·

n

例8：设任意实数a 、b 均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：

ab b

a -≥-+-12

11112

2 简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S ＝

q a -11，则：2

211

11b

a -+-=（1 + a 2 + a 4 + …）+（1 +

b 2 + b 4 + …） =2+（a 2 + b 2）+ ( a 4 + b 4) + … ≥2+2ab +2 a 2 b 2 + 2a 4b 4 + … = ab

-12

七、构造函数证明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1 ，求证：ab ＋bc ＋ca ＞－1