李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法

摘要

在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。

关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量

Abstract

In the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.

Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector

第一章：矩阵指数A

引言

已知常系数线性微分方程组：

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n

n n n x

a x a x a dt

dx x a x a x a dt

dx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)

（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：

0 (111)

111=+++--x b dt

x d b dt x d n n n n

n 来求解。但是，当n 比较大时，消元的过程比较麻烦，而且解n x x x ....,21中各项的系数关系也很难确定，如果利用矩阵来求解，问题就简单得多。

引入矩阵：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A nn n n n n a a a a a a a a a ..........................212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X n x x x 21

微分方程（1）可以写成矩阵方程形式：Ax dt

dx

=，因此我们可以将常系数线性微分方程

组转为矩阵的形式来求解！

第一章：矩阵指数A e 的引入及其简单的应用

1 矩阵指数A e 的定义和性质

1.1定义：设n n ij a ⨯=A )(，则称....!

....!22+A ++A +A +I m m

为A 的指数矩阵，记： ...!

....!22+A ++A +A +I =m e m

A

1.2性质：

性质1：已知A 、B 为矩阵，若AB=BA ，则：B A B A e e e =+ 性质2：已知A 为矩阵，若A e 可逆，则：A A e e --=1)( 性质3：已知A 为矩阵，如果T 是非奇异矩阵，则：T T =-T

T

-A A e e 11

性质4：已知A 为矩阵，d At At Ae e =

以上性质对我们以下的运算是很有帮助的，在此我们不一一证明，只证明1.2.4，其它的我们容易证得： ...!

...!222+A ++A ++I =n t t At e

n

n At

...)!1(...!2 (1232)

+-A ++A ++A +A =∴-n t t t dt de n n At

...)!...(+A ++A +I A =n t t n n

At e A =

1.3定理1：对

Ax dt

dx

=有标准基解矩阵At e 证明： At At

Ae dt

de = A e ∴是

Ax dt

dx

=的解矩阵 I ==00A e ）（φ

01)0(det ≠=φ

At e ∴是

Ax dt

dx

=的标准解矩阵

1.4推论1： ηϕη

At e t Ax

dt dx

=⎪⎩⎪⎨

⎧=X =)()0(的解 例1：已知

Ax dt

dx =，其中⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=n a a a A .....00..........0...00...021 ，求通解。 分析：这是一题简单的运用公式直接求解的例子，运用公式：