高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析

分式函数值域问题分类导析
求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法．
首先我们给出分式函数的定义：形如)
()
()(x q x p x f =的函数叫做分式函
数，其中)(x p 、)(x q 是既约整式且)(x q 的次数不低于一次．下面就)(x p 、
)(x q 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．
1. 一次分式函数
)(x p 、)(x q 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如
0,,)(≠∈++=c A x d
cx b ax x f 的函数．
一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成)(1y f x -=，由于
A x ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．
例1． 求函数23
2-+=x x y ，]8,3[∈x 的值域．
解：改写成232-+=y y x ，因为]8,3[∈x ，所以823
23≤-+≤
y y ，解得96
19
≤≤y ，即原函数的值域是]9,619[．
２．二次分式函数
)(x p 、)(x q 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如不全为零、d a A x f
ex dx c
bx ax x f ,,)(2
2∈++++=的函数． 若A=｝
｛0|2≠++f ex dx x ，则可采用根的判别式法求值域．
例２．求函数4
45
422++++=x x x x y 的值域．
解：化为关于x 的方程054)1(4)1(2=-+-+-y x y x y ．若ｙ＝１，则方程无解，即1≠y ．因为R x ∈，所以0≥∆，解得1≥y ，即原函数的值域是（+∞,1）．
若A ｝｛0|2≠++⊂f ex dx x ，则再分类讨论． 2.1．形如f
ex dx c
x f ++=
2
)(，0,≠∈d A x 且0≠c 的函数． 先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数)(x f 的值域．
例３．求函数]5,3[,3
21
)(2
-∈--=
x x x x f 的值域． 解：令]5,3[,4)1(32)(22-∈--=--=x x x x x g ，
则]12,4[)(-=x g ，所以函数)x (f 的值域是),12
1
[]41,(+∞⋃--∞．
2.2．形如f
ex dx c
bx x f +++=2)(，0,≠∈d A x 且0≠b (*)
或f
ex c
bx ax x f +++=2)(，0,≠∈a A x 且0≠e 的分式函数．
下面就形式(*)讨论解法．
2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得)(x f ＝e
x
f dx b
++．只要讨论
函数A x x
f
dx x g ∈+=,)(且0≠x 的值域．
不妨设0>d ．若0<f ，则函数)(x g 在)0,(-∞和),0(+∞上分别是增函数；若0>f ，则函数)(x g 在],
0(d f 和)0,[d
f -上分别是减函数，在
),[+∞d
f 和],(d f
--∞上分别是增函数．这样利用函数)(x g 的单调性，先求出)(x g 的值域，从而求出函数)(x f 的值域．
例４．求函数),1[,42)(2
+∞∈++=
x x x x
x f 的值域． 解：1,241)(≥++=
x x x x f ．令1,4
)(≥+=x x x x g ，则4)(≥x g ，所以函数)x (f 的值域是]6
1
,0(．
2.2.2．若0c ≠，则换元，令c bx t +=，转化为２.２.1．形式的分式函数．
例５．求函数)3,1(,3
21
)(2-∈-++=x x x x x f 的值域．
解：令1+=x t ，则)4,0(,41
4
2
∈-=-=t t
t t t y ． 因为)3,(4-∞∈-t t ，所以函数)x (f 的值域是),3
1
()0,(+∞⋃-∞．
2.3．形如0,,)(2
2≠∈++++=a A x f
ex dx c
bx ax x f 且0≠d 的分式函数． 2.3.1．若0==c b 或0==f e ，则分子分母同除以2
x ，转化为求关于x
1
的
二次函数的值域，从而求出函数)(x f 的值域．
例６．求函数]1,31
[,14)(22∈+-=x x x x x f 的值域．
解：]3,1[1
,3)21(11411)(2
2∈--=+-=
x x
x x x f ．因为函数 ]3,1[1,3)21()(2
∈--=x
x x g 的值域是]2,3[--，所以函数)(x f 的值域是
]3
1
,21[--．
2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设
0,,)()(22
≠∈+++=a A x f
ex dx m x a x f 且0≠d ，则可令m x t +=，转化为 2.3.1
形式的分式函数．
例７．求函数]0,1[,5
44
4)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域．
解：令2+=x t ，则]1,21
[1,11112
22∈+=+=t t
t t y ．因为
]2,45[112∈+t ，所以函数)x (f 的值域是]5
4,21[． 2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即
f
ex dx d af
c x
d a
e b d a x
f ++-+-+=2)()(，转化为2.2形式的分式函数． 例８．求函数]2,0[,3454)(22∈++++=x x x x x x f 的值域．
解：]2,0[,1
)2(2
13421)(2
2∈-++=+++=x x x x x f ，所以函数)x (f 的值域是]3
5
,1517[
． 3．分式函数值域在解析几何中的运用
解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方
例９．已知直线1l ：x y 4=与点)4,6(P 1l 上求一点Q ，使直线PQ 与直线1l ，以及x 1l 在第一象限内围成的三角形面积最小．
解：设)4,(00x x Q ，直线PQ 的方程
是6
6
44400--=--x x x y ，直线PQ 交x 轴于点
)0,1
5(00
-x x A ．根据题意
10>x ，所以4
1)211(10
1
1041521||2120020000
+--=-=⋅-⋅=⋅=∆x x x x x x y OA S Q OAQ
，
10>x ，当20=x 时，OAQ S ∆的最小值为40，)8,2(Q ∴．
此题的解法是将OAQ ∆的面积S 表示为Q 的横坐标0x 的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．
例10．设F 1、F 2是椭圆62322=+y x 的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，试求△ABF 2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB 弦的位置．
解：设AB 弦所在的直线方程是
1+=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ，则
||||||2
1
2121212
x x x x F F S ABF
-=-⋅=∆． 由方程组⎩⎨⎧=++=6
231
2
2y x kx y ，消去y ， 得044)32(2
2
=--+kx x k ，则32
221+=+k x x 3
2221+k 2
22222212
212)
32()1(483244)324(4)(2
++=+-⋅-+-=-+=∴∆k k k k k x x x x S ABF ， 令),3[,322+∞∈+=t k t ，
3
1
10],41)211([24)1(2422
2
2
≤<+--=-=∆t t t t S ABF
， 当t=3时，
2
ABF S ∆有最大值3
3
4，此时k=0，即AB 弦过焦点F 1且平行于x 轴．
此题的解法是将△ABF 2面积的平方表示为2k 的二次分式函数，从而求出最大值．。