空间曲线及其方程

§7.6 空间曲线及其方程

一空间曲线的一般方程

空间曲线可看作两曲面的交线，设

F x y z

(,,)=0和G x y z

(,,)=0

是两曲面的方程，它们的交线为C。曲线上的任何点的坐标x y z

,,应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组

F x y z

G x y z

(,,)

(,,)

=

=

⎧

⎨

⎩

(1)

反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时两曲面上。所以，它的坐标不满足方程组(1)。由上述两点可知：曲线C可由方程组(1)表示。

方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二空间曲线的参数方程

对于空间曲线C，若C上的动点的坐标x y z

,,可表示成为参数t的函数x x t

y y t

z z t

=

=

=

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

()

()

()

(2)

随着t的变动可得到曲线C上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。【例1】如果空间一点M在圆柱面x y a

222

+=上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中：ω，v均为常数)，那未点M 的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。

解：取时间t为参数。

设当t=0时，动点与x轴上的点A a(,,)

00重合，经过时间t，动点由A a(,,)

00运动到M x y z

(,,)。记M在xoy面上的投影为'

M，它的坐标为'

M x y

(,,)0。

由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，经过时间t ，∠'=⋅AoM t ω

从而 x a t y a t

==⎧⎨⎩cos sin ωω

又由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升，所以

z vt =

因此，螺旋线的参数方程为

x a t y a t z vt ===⎧⎨⎪⎩

⎪cos sin ωω

或令θω=⋅t ，则方程形式可化为

x a y a z b b v ===⎧⎨⎪⎩

⎪=cos sin (,)θθθωθ为参数

螺旋线有一个重要性质： 当θ从θ0变到θα0+时，z 由b θ0变到b b θα0+；这表明当oM '转过角α时，M 点沿螺旋线上升了高度h b =α；

特别地，当oM '转过一周，即απ=2时，M 点就上升固定的高度为

h b =2π，这个高度在工程技术上叫螺距。

空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。

【例2】将空间曲线C x y z x z 222921

++=+=⎧⎨⎪⎩⎪ 表示成参数方程。

解：由方程组消去z 得

x y x 222192++-=

() 2219222x x y -++= 212129222()x y -++= ()x y -+=1224

122 由于C 在此椭圆柱面上，故C 的方程可用如下形式来表示

()x y x z -+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⎪122411

22 (1)、如果我们以x 作为参数，即令 x t =

则 y t =±--211212

2() z t =-1 从而得到曲线的参数方程

x t

y t z t

==±--=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪21121212() 且参数的取值范围为 1121202--≥()t 122122-≤≤+t (2)、如果令x -=122cos θ，由椭球柱面方程有 y 2

=sin θ，而 z x =-=-+=-1112212

2(cos )cos θθ 则曲线又可表示成为

x y z =+==-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪≤≤122212202cos sin cos ()θ

θ

θθπ

一般来说：

1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程；

2、随着参数选取的不同，方程的形式会发生变化。

三 空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C 的一般方程为

F x y z

G x y z (,,)(,,)==⎧⎨⎩00 (1)

下面，我们来研究由方程组(1)消去变量z 之后所得到的方程

H x y (,)=0 (2)

因(2)是由(1)消去z 后所得，则当坐标 x y z ,,适合方程组(1)时，前两个坐标x y ,必定适合方程(2)，即曲线C 上的所有点都在由(2)表示的曲面上。

而方程(2)表示一个母线平行于z 轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线C 。以曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面叫做关于xoy 面的投影柱面；

投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，该曲线的方程可写成

H x y z (,)==⎧⎨⎩00 同理，消去方程组( 1) 中的变量 x 或 y ，再分别与 x =0或 y =0联立，我们便得到了空间曲线C 在 yoz 或 xoz 面上的投影曲线方程。

R y z x (,)==⎧⎨⎩00 或 T x z y (,)==⎧⎨⎩00

【例3】求曲线C

x y z x y z 2222221111

++=+-+-=⎧⎨⎪⎩⎪()() 在xoy 面上的投影曲线方程。

解：先求包含曲线C 且母线平行于z 轴的柱面，从方程组