第四章统计指数理论及应用(徐国祥)
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例：某商店商品销售利润相关资料如下表所示，分析销售利润额 变动及其影响因素。
商品销售利润额(W)=商品销售量(q)×销售单价(p)×销售利润率 (m)
相对数体系
ΔW ΔWq ΔWp ΔWm ΔWqpm
W0
W0
W0
W0
W0
38%=8.75%-5%+33.13%+1.12%
商品销售利润额增长38%
生产支出总额降低了3.89%。
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绝对数体系
W=∑Q0Z+∑Z0Q+∑ZQ
4620=-6800+13600-2180
生产支出总额增长4620元 其中： 1、由于单位产品成本降低使生产支出总额减少6800元； 2、由于产品产量增长使生产支出总额增长13600元； 3、由于单位产品成本和产品产量的同时变动使生产支出总额降低了2180
元。
增量分析法不会出现第84页实例中相对数分析和绝对数分析不相 一致的情况。
相对数体系
绝对数体系
W Q0Z Z0Q ZQ
W0
Z0Q0
Z0Q0
Z0Q0
44%=20%+20%+4%
W=∑Q0Z+∑Z0Q+∑ZQ 回本书目录
88=40+40+8
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（二）增量分析法在多因素分析中的应用
因此：
Δw y 0 Δx x0 Δy ΔxΔy
对于任意二元函数w=f(x,y)，其增量可分解为三个部分：
(1) fxx0,y0 Δx表示由于x的单纯变动对总体w的影响值； (2) fyx0,y0 Δy表示由于y的单纯变动对总体w的影响值；
(3) wρ表示由于x和y同时变动对w的影响值，其计算公式为：
1、数学分析中wρ是高阶无穷小量，在一定条件下趋于零；而在 经济统计分析中wρ就是确定的数值，不能省略不计。
2、交互影响指标是x和y两者同时运动的结果，如果其中有一个指
标保持不变的话，那么不管另一个指标的变动有多大，交互影响
因素还是为零。
3、增量分析法在测定因素变动对总体的影响程度时，是以基期的 同度量因素的，这种假定条件符合因素分析应从基期出发的原则。
389120=89600-51200+339200+11520
商品销售利润增长11520元 其中： 1、由于商品销售量增加使销售利润增加89600元； 2、由于由于销售单价下降使销售利润减少51200元； 3、由于销售利润率提高使销售利润增加339200元； 4、由于三者交互影响作用使销售利润增加11520元。
第四章 指数因素分析法的改进
4.1 增量分析法 4.2 因素分配分析法 4.3 积分因素分析法
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4.1 增量分析法
一、增量分析法的基本理论
（一）增量分析法的基本原理
对于任意二元函数W=f(x,y)，其全增量可表示为：
Δw fx x0,y0 Δx fy x0,y0 Δy Δx 2 Δy 2
w Δw fxx0,y 0 Δx fy x0, y 0 Δy
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page3
（二）增量分析法的步骤
1、确定总量指标与因素指标之间的经济关系式； 2、计算总量指标和各个因素指标的增量； 3、计算各个因素的单纯变动影响值； 4、计算交互影响值。
（三）运用增量分析模型应考虑的几个问题
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W WA WB WC WD WE WF WABCDEF
3.17=8.34-0.51-1.57-2.34+1.7-1.6-0.85
该铁路局某年火车全周转时间比计划增加3.17小时的原因是： 1、由于货车平均全周转距离增加，使总体增加8.34小时； 2、由于货车运行速度加速，使总体减少0.51小时； 3、由于货车每中转一次平均行走公里数增加，使总体减少1.57小时； 4、由于货车每中转一次平均停留时间减少，使总体减少2.34小时； 5、由于管内装卸率提高，使总体增加1.7小时； 6、由于货车平均一次货物作业停留时间减少，使总体减少1.6小时； 7、由于六个因素同时变动（包括57个交互影响值），使总体减少0.85小时。
交互影响作用可做如下进一步分解为：
Wqpm q0pm p0qm m0qp qpm
Wqp Wqm Wpm Wq*pm
11520=-7680+44800-21760-3840
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（三）增量分析法在平均数变动分析中的应用
例：某煤炭管理部门所属企业的采煤量情况如下表所示，分析平
其中：
1、由于商品销售量增加使商品销售利润上升
8.75%；
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2、由于销售单价下降使销售利润下降5%；
3、由于销售利润率提高使销售利润上升33.13%；
4、由于三者的交互影响作用使销售利润上升 回本章目录
1.12%。
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绝对数体系
ΔW p0m0 Δq q0m0 Δp q0 p0 Δm q0 ΔpΔm p0 ΔqΔm m0 ΔqΔp ΔqΔpΔm
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4.2 因素分配分析法
一、简单现象因素分配分析法及其应用
（一）由两个因素构成的简单现象的因素分配的计算
相对数分析
p1q1 p0 Δpq0 Δq
p0q0
p0q0
p1q1 p0q0
1
p1q0 p0q0
1
p0q1 p0q0
1
ΔpΔq p0q0
分配到各因素中去的交互影响的相对数为：di
p1q1 p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
1 e%
k2
W0
W0
W0
W0
Q0 ΔZ Z0 ΔQ ΔZΔQ
Z0Q0
Z0Q0
Z0Q0
8.25%=-12.14%+24.28%-3.89%
生产支出总额增长8.25%
其中：
1、由于单位产品成本降低使生产支出总额减少
12.14%；
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2、由于产品产量增长使生产支出总额增长 24.28%；
3、由于单位产品成本和产品产量的同时变动使 回本章目录
增量分析不会发生相对数/相对灵敏分析和绝对数分析不相一致的 矛盾。
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page10
（四）增量分析法在复杂关系式中的应用
例：某铁路局某年货车周转时间及其有关因素指标资料如下表所 示，分析实际与计划的变动及其影响因素。
平均全周转时间满足如下关系式：
W A ADEF BC
W：平均全周转时间； A ：货车平均全周转距离； B ：货车运行速度； C ：货车每中转一次平均行走的公里数； D ：货车中转一次平均停留时间； E ：管内装卸率，即每辆货车在一次周转中平均装卸作业的次数； F ：货车平均一次货物作业停留时间。
因此，有绝对数体系：
p1q1
p0q0
p1q0
p0q0
E
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
E
k2
2 i 1
ki
分配分析法的前提条件是假定各个因素同时变动，这适用于并行 因素和因果因素，但不适用于继起因素。
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例：某商店商品销售资料如下表所示，分析销售额的变动及其影 响因素。
平均劳动生产率增长104.03%
其中：
1、由于各组劳动生产率提高
使平均劳动生产率上升
76.62%；
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2、由于工人结构变动使平均 劳动生产率上升6.58%；
3、由于两者交互影响作用使回本章目录
平均劳动生产率上升
24.82%。 page9
绝对数体系
ΔW ΔWq ΔWt ΔWqt
e%
ki
2
k1
因此，有相对数体系：
ki
i 1
p1q1
p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
2
ki
i 1Biblioteka p0q1 p0q01 e%
k2
2
ki
i 1
k2
e%
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绝对数分析
分配到各因素中去的交互影响的绝对数为： Di E
ki
2
ki
i 1
其中： E p1q1 p0q0 p1q0 p0q0 p0q1 p0q0
f x0 Δx,y0 Δy f x0,y0
w Δx w Δy w
x
y
其中wρ 是x和y同时变动对Δw的交互影响值
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page2
由于：
w x
fxx0,y0 x y
y
y0
y0
w y
fy x0,y0 x y
x
x0
x0
w Δw y 0 Δx x0 Δy ΔxΔy
相对数体系：
p1q1
p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
1 e%
k2
2
ki
i 1
700% 100% 75% 300% 225% 175% 525%
绝对数体系：
p1q1
p0q0
p1q0
p0q0
E
k1
2
ki
i 1
p0q1
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4、增量分析法不仅适用于因素指标是任何函数关系的形式。
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二、增量分析法的应用
（一）增量分析法在两因素分析中的应用
例：某工厂生产支出情况如下表所示，分析生产支出变动及其影 响因素。
生产支出总额(W)=单位产品成本(Z)×产品产量(Q)
相对数体系
ΔW ΔWZ ΔWQ ΔWZQ
N 0T0 L0 P0
110000
N1T1L1P1 N0T0L0P0 136640 110000 26640 元
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相对数分析： 绝对数分析：
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二、复杂现象因素分配分析法及其应用
（一）由两个因素构成的复杂现象的因素分配的计算
相对数体系：
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例：某商店资金利税率及有关指标的资料如下表所示，分析资金 利税率计划与实际的变动及其影响因素。
资金利税率满足如下关系式：
W A B C D E 100 G H
F
W：资金利税率； A ：流动资金占全部资金的比重； B ：商品资金占流动资金的比重； C ：商品资金周转率； D ：毛利率； E ：平均工资； F ：劳动效率； G：工资以外流通费用率 H：财产损益净率。
均劳动生产率变动及其影响因素。
平均劳动生产率：q
qt t
相对数体系
W Wq Wt Wqt
q0
q0
q0
q0
q1t0 t0
q0t0 t0
q0t0 t0
q0t1 t1
q0t0 t0
q0t0 t0
q1
q0
t1 t1
t0 t0
q0t0 t0
104.02%=72.62%+6.58%+24.82%
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W WA WB WC WD WE WF WG WH WABCDEFGH
4.3387%=-0.7050%-1.0055%+3.9094%+1.2884%+0.0645% +0.1811%+0.3766%+0.3369%-0.1077%
根据上面的增量分析，该商店资金利税率之所以较计划提高4.3387%，其原因如下： 1、由于流动资金占全部资金的比重降低，使资金利税率降低0.7050%； 2、由于商品资金占流动资金的比重降低，使资金利税率降低1.0055%； 3、由于商品资金周转率的加快，使资金利税率提高3.9094%； 4、由于商品销售毛利率的提高，使资金利税率增长1.2884%； 5、由于职工的平均工资减少，使资金利税率增长0.0645%； 6、由于职工劳动效率的提高，使资金利税率增长0.1811%； 7、由于工资以外流通费用率的降低，使资金利税率增加0.3766%； 8、由于财产损益净率实际较计划降低，使资金利税率增加0.3369%； 9、由于八种因素同时变动(包括247个交互影响值），使资金利税率降低0.1077%p。age14
p0q0
E
k2
2
ki
i 1
70万元 10 7.5 30 22.5 17.5万元 52.5万元
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（二）由多个因素构成的简单现象的因素分配的计算
例：某厂某月生产情况资料如下表所示，分析总产值变动及其影 响因素。
总产值增长率： 总产值增长额：
k N1T1L1P1 1 136640 1 0.242或24.2%
q1t0 t0
q0t0 t0
q0t1 t1
q0t0 t0
q1 q0
t1 t1
t0 t0
43.92吨/人=30.66吨/人+2.78吨/人+10.48吨/人
平均劳动生产率增长43.92吨/人 其中： 1、由于各组劳动生产率提高使平均劳动生产率增加30.66吨/人； 2、由于工人结构变动使平均劳动生产率增加2.78吨/人； 3、由于两者交互影响作用使平均劳动生产率增加10.48吨/人。
商品销售利润额(W)=商品销售量(q)×销售单价(p)×销售利润率 (m)
相对数体系
ΔW ΔWq ΔWp ΔWm ΔWqpm
W0
W0
W0
W0
W0
38%=8.75%-5%+33.13%+1.12%
商品销售利润额增长38%
生产支出总额降低了3.89%。
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绝对数体系
W=∑Q0Z+∑Z0Q+∑ZQ
4620=-6800+13600-2180
生产支出总额增长4620元 其中： 1、由于单位产品成本降低使生产支出总额减少6800元； 2、由于产品产量增长使生产支出总额增长13600元； 3、由于单位产品成本和产品产量的同时变动使生产支出总额降低了2180
元。
增量分析法不会出现第84页实例中相对数分析和绝对数分析不相 一致的情况。
相对数体系
绝对数体系
W Q0Z Z0Q ZQ
W0
Z0Q0
Z0Q0
Z0Q0
44%=20%+20%+4%
W=∑Q0Z+∑Z0Q+∑ZQ 回本书目录
88=40+40+8
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（二）增量分析法在多因素分析中的应用
因此：
Δw y 0 Δx x0 Δy ΔxΔy
对于任意二元函数w=f(x,y)，其增量可分解为三个部分：
(1) fxx0,y0 Δx表示由于x的单纯变动对总体w的影响值； (2) fyx0,y0 Δy表示由于y的单纯变动对总体w的影响值；
(3) wρ表示由于x和y同时变动对w的影响值，其计算公式为：
1、数学分析中wρ是高阶无穷小量，在一定条件下趋于零；而在 经济统计分析中wρ就是确定的数值，不能省略不计。
2、交互影响指标是x和y两者同时运动的结果，如果其中有一个指
标保持不变的话，那么不管另一个指标的变动有多大，交互影响
因素还是为零。
3、增量分析法在测定因素变动对总体的影响程度时，是以基期的 同度量因素的，这种假定条件符合因素分析应从基期出发的原则。
389120=89600-51200+339200+11520
商品销售利润增长11520元 其中： 1、由于商品销售量增加使销售利润增加89600元； 2、由于由于销售单价下降使销售利润减少51200元； 3、由于销售利润率提高使销售利润增加339200元； 4、由于三者交互影响作用使销售利润增加11520元。
第四章 指数因素分析法的改进
4.1 增量分析法 4.2 因素分配分析法 4.3 积分因素分析法
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4.1 增量分析法
一、增量分析法的基本理论
（一）增量分析法的基本原理
对于任意二元函数W=f(x,y)，其全增量可表示为：
Δw fx x0,y0 Δx fy x0,y0 Δy Δx 2 Δy 2
w Δw fxx0,y 0 Δx fy x0, y 0 Δy
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（二）增量分析法的步骤
1、确定总量指标与因素指标之间的经济关系式； 2、计算总量指标和各个因素指标的增量； 3、计算各个因素的单纯变动影响值； 4、计算交互影响值。
（三）运用增量分析模型应考虑的几个问题
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W WA WB WC WD WE WF WABCDEF
3.17=8.34-0.51-1.57-2.34+1.7-1.6-0.85
该铁路局某年火车全周转时间比计划增加3.17小时的原因是： 1、由于货车平均全周转距离增加，使总体增加8.34小时； 2、由于货车运行速度加速，使总体减少0.51小时； 3、由于货车每中转一次平均行走公里数增加，使总体减少1.57小时； 4、由于货车每中转一次平均停留时间减少，使总体减少2.34小时； 5、由于管内装卸率提高，使总体增加1.7小时； 6、由于货车平均一次货物作业停留时间减少，使总体减少1.6小时； 7、由于六个因素同时变动（包括57个交互影响值），使总体减少0.85小时。
交互影响作用可做如下进一步分解为：
Wqpm q0pm p0qm m0qp qpm
Wqp Wqm Wpm Wq*pm
11520=-7680+44800-21760-3840
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（三）增量分析法在平均数变动分析中的应用
例：某煤炭管理部门所属企业的采煤量情况如下表所示，分析平
其中：
1、由于商品销售量增加使商品销售利润上升
8.75%；
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2、由于销售单价下降使销售利润下降5%；
3、由于销售利润率提高使销售利润上升33.13%；
4、由于三者的交互影响作用使销售利润上升 回本章目录
1.12%。
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绝对数体系
ΔW p0m0 Δq q0m0 Δp q0 p0 Δm q0 ΔpΔm p0 ΔqΔm m0 ΔqΔp ΔqΔpΔm
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4.2 因素分配分析法
一、简单现象因素分配分析法及其应用
（一）由两个因素构成的简单现象的因素分配的计算
相对数分析
p1q1 p0 Δpq0 Δq
p0q0
p0q0
p1q1 p0q0
1
p1q0 p0q0
1
p0q1 p0q0
1
ΔpΔq p0q0
分配到各因素中去的交互影响的相对数为：di
p1q1 p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
1 e%
k2
W0
W0
W0
W0
Q0 ΔZ Z0 ΔQ ΔZΔQ
Z0Q0
Z0Q0
Z0Q0
8.25%=-12.14%+24.28%-3.89%
生产支出总额增长8.25%
其中：
1、由于单位产品成本降低使生产支出总额减少
12.14%；
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2、由于产品产量增长使生产支出总额增长 24.28%；
3、由于单位产品成本和产品产量的同时变动使 回本章目录
增量分析不会发生相对数/相对灵敏分析和绝对数分析不相一致的 矛盾。
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（四）增量分析法在复杂关系式中的应用
例：某铁路局某年货车周转时间及其有关因素指标资料如下表所 示，分析实际与计划的变动及其影响因素。
平均全周转时间满足如下关系式：
W A ADEF BC
W：平均全周转时间； A ：货车平均全周转距离； B ：货车运行速度； C ：货车每中转一次平均行走的公里数； D ：货车中转一次平均停留时间； E ：管内装卸率，即每辆货车在一次周转中平均装卸作业的次数； F ：货车平均一次货物作业停留时间。
因此，有绝对数体系：
p1q1
p0q0
p1q0
p0q0
E
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
E
k2
2 i 1
ki
分配分析法的前提条件是假定各个因素同时变动，这适用于并行 因素和因果因素，但不适用于继起因素。
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例：某商店商品销售资料如下表所示，分析销售额的变动及其影 响因素。
平均劳动生产率增长104.03%
其中：
1、由于各组劳动生产率提高
使平均劳动生产率上升
76.62%；
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2、由于工人结构变动使平均 劳动生产率上升6.58%；
3、由于两者交互影响作用使回本章目录
平均劳动生产率上升
24.82%。 page9
绝对数体系
ΔW ΔWq ΔWt ΔWqt
e%
ki
2
k1
因此，有相对数体系：
ki
i 1
p1q1
p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
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i 1Biblioteka p0q1 p0q01 e%
k2
2
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i 1
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绝对数分析
分配到各因素中去的交互影响的绝对数为： Di E
ki
2
ki
i 1
其中： E p1q1 p0q0 p1q0 p0q0 p0q1 p0q0
f x0 Δx,y0 Δy f x0,y0
w Δx w Δy w
x
y
其中wρ 是x和y同时变动对Δw的交互影响值
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由于：
w x
fxx0,y0 x y
y
y0
y0
w y
fy x0,y0 x y
x
x0
x0
w Δw y 0 Δx x0 Δy ΔxΔy
相对数体系：
p1q1
p0q0
1
p1q0 p0q0
1 e%
k1
2
ki
i 1
p0q1 p0q0
1 e%
k2
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700% 100% 75% 300% 225% 175% 525%
绝对数体系：
p1q1
p0q0
p1q0
p0q0
E
k1
2
ki
i 1
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4、增量分析法不仅适用于因素指标是任何函数关系的形式。
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二、增量分析法的应用
（一）增量分析法在两因素分析中的应用
例：某工厂生产支出情况如下表所示，分析生产支出变动及其影 响因素。
生产支出总额(W)=单位产品成本(Z)×产品产量(Q)
相对数体系
ΔW ΔWZ ΔWQ ΔWZQ
N 0T0 L0 P0
110000
N1T1L1P1 N0T0L0P0 136640 110000 26640 元
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相对数分析： 绝对数分析：
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二、复杂现象因素分配分析法及其应用
（一）由两个因素构成的复杂现象的因素分配的计算
相对数体系：
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例：某商店资金利税率及有关指标的资料如下表所示，分析资金 利税率计划与实际的变动及其影响因素。
资金利税率满足如下关系式：
W A B C D E 100 G H
F
W：资金利税率； A ：流动资金占全部资金的比重； B ：商品资金占流动资金的比重； C ：商品资金周转率； D ：毛利率； E ：平均工资； F ：劳动效率； G：工资以外流通费用率 H：财产损益净率。
均劳动生产率变动及其影响因素。
平均劳动生产率：q
qt t
相对数体系
W Wq Wt Wqt
q0
q0
q0
q0
q1t0 t0
q0t0 t0
q0t0 t0
q0t1 t1
q0t0 t0
q0t0 t0
q1
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t0 t0
q0t0 t0
104.02%=72.62%+6.58%+24.82%
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W WA WB WC WD WE WF WG WH WABCDEFGH
4.3387%=-0.7050%-1.0055%+3.9094%+1.2884%+0.0645% +0.1811%+0.3766%+0.3369%-0.1077%
根据上面的增量分析，该商店资金利税率之所以较计划提高4.3387%，其原因如下： 1、由于流动资金占全部资金的比重降低，使资金利税率降低0.7050%； 2、由于商品资金占流动资金的比重降低，使资金利税率降低1.0055%； 3、由于商品资金周转率的加快，使资金利税率提高3.9094%； 4、由于商品销售毛利率的提高，使资金利税率增长1.2884%； 5、由于职工的平均工资减少，使资金利税率增长0.0645%； 6、由于职工劳动效率的提高，使资金利税率增长0.1811%； 7、由于工资以外流通费用率的降低，使资金利税率增加0.3766%； 8、由于财产损益净率实际较计划降低，使资金利税率增加0.3369%； 9、由于八种因素同时变动(包括247个交互影响值），使资金利税率降低0.1077%p。age14
p0q0
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70万元 10 7.5 30 22.5 17.5万元 52.5万元
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（二）由多个因素构成的简单现象的因素分配的计算
例：某厂某月生产情况资料如下表所示，分析总产值变动及其影 响因素。
总产值增长率： 总产值增长额：
k N1T1L1P1 1 136640 1 0.242或24.2%
q1t0 t0
q0t0 t0
q0t1 t1
q0t0 t0
q1 q0
t1 t1
t0 t0
43.92吨/人=30.66吨/人+2.78吨/人+10.48吨/人
平均劳动生产率增长43.92吨/人 其中： 1、由于各组劳动生产率提高使平均劳动生产率增加30.66吨/人； 2、由于工人结构变动使平均劳动生产率增加2.78吨/人； 3、由于两者交互影响作用使平均劳动生产率增加10.48吨/人。