第8章 复合材料梁分析

Ai（i=1，2，3，4，5） i=1， 由基本方程和边界条件确定
(
)
NUDT 12.6
第八章 复合材料梁分析
l
Chap. 07
8.2 复合材料板梁 受集中载荷的悬臂梁 边界条件： 边界条件： (a)当x=l时， (a)当x=l时
M x = ∫ σ x ydy = 0
h
2h
y
x
P
z
y
M x = P (l − x )
x
y
z
( σ xk )
l
( σ yk )
∂u ∂2w (k (k = Q11 )ε x = Q11 ) − z 2 ∂x ∂x (k Q12 ) ( k ) (k = Q12 )ε x = ( k ) σ x Q11
(k Q16 ) ( k ) (k = Q16 )ε x = ( k ) σ x Q11
y
z
l
∂u B11 ∂ 2 w = ∂x A11 ∂x 2
∂u ∂2w ( M x = ∫ σ xk ) zdz = B11 − D11 2 h ∂x ∂x
2 B11 ∂2w M x ( x, y , z ) = A − D11 ∂x 2 11 A ∂2w = 2 11 Mx 2 ∂x B11 − A11 D11 D 层合梁抗弯刚度
2h
y
x
P
z
y
∂u ∂v εx = , εy = ∂y ∂x ∂u ∂v + γ xy = ∂y ∂x
ε x = S11σ x + S12σ y + S16τ xy ε y = S12σ x + S 22σ y + S 26τ xy γ xy = S16σ x + S 26σ y + S 66τ xy
3
4
NUDT 12.6
第八章 复合材料梁分析
Chap. 07
8.2 复合材料板梁
f1 ( y ) = B1 y 3 + B2 y 2 + B3 y + B4
f 2 ( y ) = C1 y 4 + C2 y 3 + C3 y 2 + C4 y + C5
F ( x, y ) = xf1 ( y ) + f 2 ( y )
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁 沿梁的厚度对应力积分，可得梁的内力矩： 沿梁的厚度对应力积分，可得梁的内力矩：
( M x = ∫ σ xk ) zdz h
∂u ∂2w = B11 − D11 2 ∂x ∂x
( M y = ∫ σ yk ) zdz h
∂u ∂2w = B12 − D12 2 ∂x ∂x
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第八章 复合材料梁分析
∂A ∂A σx = , τ yx = − ∂y ∂x
Chap. 07
8.2 复合材料板梁 x-y平面内的平衡方程为： 平面内的平衡方程为：
∂σ x ∂τ xy ∂x + ∂y = 0 ∂τ xy + ∂σ y = 0 ∂x ∂y
=
1 Mx D
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第八章 复合材料梁分析
梁的弯曲挠度方程： 梁的弯曲挠度方程：
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁
w( x ) =
1 M x ( x )dx 2 + C1 x + C 2 D ∫∫
梁的应力： 梁的应力：
( σ xk )
( σ yk )
∂u ∂2w (k (k = Q11 )ε x = Q11 ) − z 2 ∂x ∂x (k Q12 ) ( k ) (k = Q12 )ε x = ( k ) σ x Q11
f 2 ( y ) = C1 y 4 + C2 y 3 + C3 y 2 + C4 y + C5
F ( x, y ) = A1 xy + A2 y 2 + A3 y 3 + A4 xy 3 + A5 y 4
板梁的应力分量
∂ 2 F ( x, y ) = 2 A2 y + 6 A3 y + 6 A4 xy + 12 A5 y 2 σx = ∂2 y ∂ 2 F ( x, y ) σy = =0 2 ∂ x τ xy = − A1 + 3 A4 y 2
(k τ xy )
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第八章 复合材料梁分析
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁 沿梁的厚度对应力积分，可得梁的内力： 沿梁的厚度对应力积分，可得梁的内力：
( Nx = ∫σ xk )dz h
∂u ∂2w = ∫ Q − z 2 dz h ∂x ∂x ∂u ∂2w (k (k = ∫ Q11 )dz − ∫ Q11 ) zdz 2 h ∂x h ∂x n ∂u 1 n (k ) 2 2 ∂2w (k ) = ∑Q11 (hk − hk−1 ) − ∑Q11 hk − hk−1 2 ∂x 2 k=1 ∂x k =1
Q
Qa Qb
1
M1 =
M
Ma
Mb
p x 2 p M 2 = (l − x ) 2
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第八章 复合材料梁分析
(k σx )
Chap. 07
( ( σxk) + dσxk)
8.1 复合材料层合梁 层合梁的剪应力
Nx = 0
n i= 2
Mx Q
∂σ x dx bdz σ x + ∂x
(k ) (k ) (k )
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁
(k ) 11
B11 A11 2 A − z M x B11 − A11 D11 11 B11 A11 2 A − z M x B11 − A11 D11 11 B11 A11 2 A − z M x B11 − A11 D11 11
当层合梁是对称铺层时， 当层合梁是对称铺层时，
B11 =0 A11
τ
(k ) xz
Qx =− D
∫
h2
zi
(k Q11 ) zdz
τxz与x无关， 无关， D和z越大， τxz越小。 越大， 越小。
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第八章 复合材料梁分析
l
Chap. 07
8.2 复合材料板梁 板梁可以按弹性力 学的平面应力问题 求解
∂ 2 F ( x, y ) =− ∂x∂y
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第八章 复合材料梁分析
∂ 2 F ( x, y ) σx = ∂y 2 ∂ 2 F ( x, y ) σy = ∂x 2 ∂ 2 F ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
(k M xy = ∫ τ xy ) zdz h
∂u ∂2w = B16 − D16 2 ∂x ∂x
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第八章 复合材料梁分析
q(x )
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁
N x ( x, y , z ) = 0
∂u ∂2w Nx = A11 − B11 2 ∂x ∂x
M0
M1
0
x
Chap. 07
8.2 复合材料板梁
∂ 2 F ( x, y ) σy = =0 2 ∂x F ( x, y ) = xf1 ( y ) + f 2 ( y )
ε x S11 ε y = S12 γ S xy 16 S12 S 22 S 26 S16 σ x σ S 26 y S 66 τ xy
y
z
l
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第八章 复合材料梁分析
q(x )
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁 在xoy平面内， xoy平面内 平面内，
M0
M1
∂u ∂2w εx = − z 2 ∂x ∂x ∂v ∂2w εy = − z 2 = 0 ∂y ∂y ∂u ∂v γ xy = + = 0 ∂y ∂x
0
E = S11
Chap. 07
ห้องสมุดไป่ตู้
8.2 复合材料板梁
令D = 2S16 ,
d 3 f1 ( y ) d 4 f1 ( y ) d 4 f 2 ( y) D + Ex +E =0 3 4 4 dy dy dy
d 4 f1 ( y ) =0 4 dy
d f1 ( y ) d f 2 ( y) D +E =0 3 4 dy dy
NUDT 12.6
Chap. 07
第八章 复合材料梁分析
NUDT 12.6
第八章 复合材料梁分析
b
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁
b
层合梁
板梁 假设： 假设：
b
层合梁的抗弯刚度和应力
q(x )
q(x )
（1）直法线假设 （2）v=0
y
z
M0
M1
0
x
h
0
（3）沿宽度b的位移 沿宽度b u和w是常数。 是常数。
d 3 f1 ( y ) d 4 f1 ( y ) d 4 f2 (y) D + Ex +E =0 3 4 4 dy dy dy D = 2 S16 , E = S11
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i =m i =1
τxy
Q Mx + dMx
∫
τ
h 2
zi
σ x bdz + τ bdx = ∫
(k ) xz
h2
dx
zi
(k ) xz
B11 A ( ( 1 h 2 (k ) σ xk ) = Q11k ) 2 11 − z M x = B11 − A11 D11 A11 ∫zi dσ x dz dx h2 1 dM x B11 h 2 ( k ) (k ) = A ∫zi Q11 dz − ∫zi Q11 zdz D dx 11
(k Q16 ) ( k ) (k = Q16 )ε x = ( k ) σ x Q11
∂u B11 ∂ 2 w = ∂x A11 ∂x 2
∂2w A11 = 2 Mx 2 ∂x B11 − A11 D11
(k τ xy )
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第八章 复合材料梁分析
σx = Q σy =Q τ xy = Q
(k ) 11
[
] [
2
]
( N y = ∫ σ yk ) dz h
(
)
∂u ∂2w = A12 − B12 2 ∂x ∂x
(k N xy = ∫ τ xy ) dz h
= A11
∂u ∂w − B11 2 ∂x ∂x
∂u ∂2w = A16 − B16 2 ∂x ∂x
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第八章 复合材料梁分析
N x = ∫ σ x dy = 0
h
P = ∫ τ xy dy
h
(b)当y=±h/2时 (b)当y=±h/2时， σ y = τ xy = 0
∂ 2 F ( x, y ) σy = =0 2 ∂x F ( x, y ) = xf 1 ( y ) + f 2 ( y )
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第八章 复合材料梁分析
l
Chap. 07
8.2 复合材料板梁 受集中载荷的悬臂梁
∂ 2 F ( x, y ) σy = =0 2 ∂x F (x, y ) = xf 1 ( y ) + f 2 ( y )
2h
y
x
P
z
y
M x = P (l − x )
∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F S 22 4 − 2 S 26 3 + (2 S12 + S 66 ) 2 2 − 2 S16 + S11 4 = 0 3 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y
F ( x, y ) = B1 xy 3 + B2 xy 2 + B3 xy + C1 y 4 + C2 y 3 + C3 y 2
NUDT 12.6
第八章 复合材料梁分析
Chap. 07
8.2 复合材料板梁 当y=±h/2时（上下边界），剪应力为0，得B2=0 y=±h/2时 上下边界），剪应力为0 ），剪应力为
ε x = S11σ x + S12σ y + S16τ xy
∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F S 22 4 − 2 S 26 3 + (2 S12 + S 66 ) 2 2 − 2 S16 + S11 4 = 0 3 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y
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第八章 复合材料梁分析
σy = −
∂B ∂B , τ xy = ∂x ∂y
τ xy = τ yz
∂A ∂B + =0 ∂x ∂y
A= ∂F , ∂y B=− ∂F ∂x
F(x,y)为应力函数 F(x,y)为应力函数
∂ 2 F ( x, y ) ∂ 2 F ( x, y ) σx = , σy = 2 ∂y ∂x 2
τ xy
(k ) 12
(k ) 16
层合梁的马鞍形双曲面变形
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第八章 复合材料梁分析
Chap. 07
8.1 复合材料层合梁 层合梁的剪应力
(k σx )
P
y
n i= 2
( ( σxk) + dσxk)
Mx Q
x
a
i =m i =1
τ xy
Q Mx + dMx
b
∂M x Qx = ∂x
2
dx