三角级数正交函数系

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例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t
)


Em , Em
,
0t t
将其展开为傅立叶级数.
u
Em
o
t
Em
解 在点x k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 Em Em Em ( Em ) 0,
2

1

f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)

bn

1

f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
为 f 的Fourier系数，以 f 的Fourier系数为系数 的三角级数称为 f 的Fourier级数。记为
f
(x)
~
a0 2

n1

1 62
,
3

1
1 22

1 32

1 42
,
2


4

1
2
4
,
2

1
3

2
24
,

1
2

2
6
3

2 1


2
12
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四 正弦级数和余弦级数
(Sine series and cosine series)
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
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u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t)

3
5
7
9
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u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin5t 1 sin7t )

3
5
7
( t , t 0)
由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可 以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加
2
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当x k时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
an
1

u(t)cos ntdt

Em
u
10
o
t


(Em ) cos ntdt
Em
1


0 Em cos ntdt
0
(n 0,1,2,)
bn
1

u(t)sin ntdt
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例 1 设 f ( x) 是 周期为2 的 周期函数 ,它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x)展开成
傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2,)处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [, ]
y
收敛于f ( x) .

2 o
2
x
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a0

1

f ( x)dx

1
0 f ( x)dx 1

f ( x)dx
,

0
an
1

f ( x)cos nxdx
1
1.定理 设f ( x)是周期为 2 的函数,且可积,则
(1)当 f ( x)为奇函数时，它的傅里叶系数为
an 0
bn
2
0
f ( x) sin nxdx
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
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(2)当 f ( x)为偶函数时,它的傅里叶系数为
an
2
且上式右边的级数一致收敛，则有
an
1

f ( x)cos nxdx
(n 0,1, 2, )
bn

1

f
( x)sin nxdx
(n 1, 2, )
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证 (1) 求a0 .

f
( x)dx


a0 2
dx


[


(ak
k 1
cos kx
2
0
f
( x)sin
nxdx

2
0 x
sin
nxdx

2
[
x
cos n
nx

sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1,
n
n
(n 1,2,)
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2 (1)n1 sin nx.
0
f ( x)cos nxdx 1

f ( x)cos nxdx

0

2 n2
(cos
nx

1)

2 n2
[(
1)n

1]
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(2k
4 1)2

,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
bn
1

n1 n ( x ; x ,3,)
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例 2 将周期函数u(t ) E sin t 展开成傅氏级数,
其中E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个

bk
sin kx)]dx

a0 dx 2

ak cos kxdx k 1

bk sin kxdx k 1
a0 2, 2
可得
a0

1

f ( x)dx
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(2) 求an .

f
( x)cos nxdx

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u 4 sint

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u 4 (sint 1 sin3t)

3
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u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t)

3
5
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u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t)

3
5
7
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由无穷多个简谐振动
yk Ak sin(kt k ), k 1, 2,
叠加就得到函数项级数

A0 An sin(nt n ) n1
记
a0 2

A0 ,
an An sinn ,
bn An cos n ,
t x
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则级数可改写为
nxdx
(n 1,2,3,)
同理可证(2)
定理证毕.
2.定义 (1) 如 果 f ( x) 为 奇 函 数 , 其 傅 立 叶 级 数

bn sin nx 称为正弦级数
n1
(2) 如 果 f ( x) 为 偶 函 数 , 其 傅 立 叶 级 数
a0 2


an
n1
cos nx
称为余弦级数.
nxdx

0, ,
mn ,
mn
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cos

mx
cos
nxdx

0, ,
mn ,
mn
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以2π为周期的函数的Fourier级数
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定理15.2 若在整个数轴上
f
(x)

a0 2

n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
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x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
y
和 函 数 图 3 2 象
0
2 3 x
an 0, (n 0,1,2,)
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bn

0
f ( x) cos nxdx
(n 0,1,2,)
bn 0
(n 1,2,)
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an

1

f
( x)cos nxdx
0
(n 0,1,2,3,)
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bn

1

f
( x)sin
nxdx

2
0
f
( x)sin

1
0
(

Em
)
sin
ntdt

1

0 Em sin ntdt
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2Em (1 cos n) 2Em [1 (1)n ]
n
n

(
4 2k
Em 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
级数的和

f
(
x)

2

4
n1
1 (2n
1)2
cos( 2n

1) x,
当x 0时, f (0) 0,
2
8

1
1 32

1 52

设
1
1 22

1 32

1 42
,

1

1

1 32

1 52

(
2
8
),
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2

1 22

1 42
(an
cos nx
bn
sin
nx)
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问题: f 满足什么条件时有
f
(x)

a0 2


(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
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三、收敛定理
定理15.3 若以2π为周期的函数 f 在 [-π, π]上 按段光滑，则在每一点 x∈[-π, π] ，有
f
(x 0) 2
a0 2
cos nxdx


[ak
cos kx cos nxdx

bk
sin
kx cos nxdx]
n1
an cos2 nxdx an,
可得
an
1

f ( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
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(3) 求bn .
f
(x 0)

a0 2


(an
n1
cos nx bn
sin
nx)
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当 x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x);
f
(x)

a0 2


(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
当 x是 f ( x)的间断点时, 级数收敛于 f ( x 0) f ( x 0); 2
所求函数的傅氏展开式为

u(t)
4Em sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ; t 0, , 2, )
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注(一)对于非周期函数,如果函数f ( x) 只在 区间[, ] 上有定义,并且满足狄立克
雷充分条件,也可展开成傅立叶级数.
作法:
作周期延拓(T 2 ) F( x) f ( x) x ( , )
端点处收敛于1[ f ( 0) f ( 0)] 2
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例
2
将函数
f
(
x
)

x,

x,
x 0 展开为傅立叶
0 x
级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
Fourier
Series
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非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)

1,

1,
当 t 0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
sin t, 1 sin 3t, 1 sin 5t, 1 sin 7t,
4
43
45
47
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§1 Fourier级数
三角级数·正交函数系 以2π为周期的函数的Fourier
级数 收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术中，常会碰到周期运 动，最简单的周期运动，可用正弦函数
y Asin(x )
来 描 写
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第十五章 傅立叶级数
f ( x)sin nxdx
1
0
f ( x)sin nxdx 1

f ( x)sin nxdx 0,

0
(n 1,2,)
所求函数的傅立叶级数展开式为
f
(
x)

2

4
n1
1 (2n
1)2
cos(
2n

1) x (

x

)
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推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊
a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
(4)
(4)式的级数称为三角级数
它是由三角函数列
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
组成
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定理15.1 若级数
|
a0 2
|

n1
(|
an
|

|
bn
|)
收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛
且一致收敛。
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三角函数系的正交性
三角函数系中任何两个不相同函数的乘积在
[ , ] 上的积分都等于零，即

cos nxdx 0,