魏华林《保险学》教材精讲(保险精算)【圣才出品】

魏华林《保险学》教材精讲
第十二章保险精算
本章要点
●保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。

●保险精算的基本任务。

在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。

非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。

保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。

伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。

在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。

●保险精算的基本原理。

保险精算其最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。

所谓收支相等原则，就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。

所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。

●在非寿险精算实务中，确定保险费率的方法主要有观察法、分类法和增减法。

●在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定：
2
2
(1)
S p p N
E
-=
●自留额与分保额的决策。

假定在原有业务上，赔偿基金为P1，赔偿金额标准差为Q1，
则111/K Q P =。

现将另外接受n 个保险单位，保额为x 元，纯费率为q，则合并业务后要使12K +仍维持K 1的值，则应有：
2112121(1)
P x K q nK =⨯
-+当q 十分小时，可近似得到：2112x K P ≈即要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x 以下，则可全部自留；对于保险金额超过x 的新业务，自留额以x 为限，超过部分予以分保。

●寿险精算的计算原理及公式。

●理论责任准备金及其计算。

●实际责任准备金及其计算。

第一节保险精算概述
一、保险精算的概念和基本任务
所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作
中的实际问题，进而为决策提供科学依据。

保险精算是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。

在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。

利率一般由国家控制，所以在相当长的时期里利率并不是保险精算所关注的主要问题。

死亡率的测算，即生命表的建立成为寿险精算的核心工作。

寿险精算自产生以来，目前不仅研究单个生命单一偶然因素相关的一系列问题，而且还涉及单个生命多个偶然因素的有关问题。

此外，寿险经营也发展到多个生命遭遇偶然因素的情形。

非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。

现在，非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论，研究在过去有限的统计资料的条件下未来损失的分布情况以及损失和赔款的相互关系等问题；二是风险理论，通过对损失频率和损失规模分布的分析，研究出险次数和每次损失金额大小的复合随机过程，以确定保险公司应具备多大的基金方可不“破产”，以及评估“破产”概率的大小等问题。

如上所述，保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。

伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。

在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。

二、保险精算的基本原理
保险精算所需要的知识无疑十分繁杂，包括数学、统计学、金融学等，但其最基本的原
理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。

所谓收支相等原则，就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。

由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素。

根据不同的需要，可分别采取三种不同的方式来计算：①根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）与支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值与支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入与支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。

所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。

（一）切比雪夫（Chebyshev）大数法则
设X 1，X 2，…X ｎ是由两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：
D（X1）≤C，D（X 2）≤C，…D（X ｎ）≤C，则对于任意的ε>0，都有：
1111lim ()()1n n k k n k k P X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭
∑∑这一法则的结论可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。

（二）贝努利（Bernoulli）大数法则
假设某一事件以某一概率p 发生。

如果用Ｍn 来表示此事件在n 次实验中发生的次数，则Ｍn /n 就是事件发生的频率。

由计算可知：
(1)
(n M p p E p n n
σ-==由此可见，当n 趋于无穷大时，频率的数学期望不变（恒为p），而标准差σ则趋于零。

在这里，标准差描述的是相对于不同的n 值所得到的频率与实际概率的离散程度。

由于标
准差随着n 增大而减小，说明当n 足够大时，频率与实际概率很接近。

更一般地，有下面的贝努利大数法则：设Ｍn 是n 次贝努利实验中事件A 发生的次数，而p 是事件A 在每次实验中出现的概率，则对于任意的ε>0，都有：
lim 1n n M P p n ε→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭
这一法则对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。

在非寿险精算中，往往假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，便可以通过以往有关结果的经验，求出一个比率——这类标的发生损失的频率。

而在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。

换句话说，当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。

反过来，经估计得到的比率，可由将来大量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。

（三）泊松（Poisson）大数法则
假设某一事件在第一次实验中出现的概率为p 1，在第二次实验中出现的概率为p 2，……，在第n 次实验中出现的概率为p n 。

同样，用Ｍn 来表示此事件在n 次实验中发生的次数，则依据泊松大数法则，有：
12lim 1n n n M p p p P n n ε→∞⎧++⋅⋅⋅+⎫-<=⎨⎬⎩⎭
对于任意的ε>0，下式均成立：
泊松大数法则的含义是：当实验次数无限增加时，某一事件发生的平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。

第二节非寿险精算
非寿险精算包括保险费率的厘定、“大数”的测定、财务稳定性分析、责任准备金提存的计算、利润分析、风险评估、自留额与分保额的决策等内容。

一、保险费率的厘定
保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。

纯费率的确定有两种方法：一是依据统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率r；二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值E除以保险金额I而得到r，即r=E／I。

【例题】假定根据5年的统计资料，每年的保额损失率分别为0.21、0.19、0.23、0.18、0.24，则可求出其平均数为0.21。

如果上述保额损失率是在大量损失经验的基础上得到的，则可把0.21作为预期损失率。

有时，为了安全起见，可在预期损失率的基础上加上一个或两个标准差作为纯费率。

本例中，标准差为0.023，则纯费率可定为0.233或0.256。

如果附加费率在保险费率中的比例为k，则保险费率可由R=r／（1-k）求得。

实务上确定保险费率的方法主要有观察法、分类法和增减法。

（一）观察法。