第5讲哈密顿算子及正交曲线坐标系

迪卡尔座标各种曲线方程式

1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5 theta = t*3600 z =(sin(3.5*theta-90))+24*t 此主题相关图片如下：1.jpg 2.葉形线. 笛卡儿坐標标方程：a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3)) 此主题相关图片如下：2.jpg 3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical ）方程： r=t theta=10+t*(20*360) z=t*3 此主题相关图片如下：3.jpg 4.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8 此主题相关图片如下：4.jpg 5.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1

ang=360*t s=2*pi*r*t x0=s*cos(ang) y0=s*sin(ang) x=x0+s*sin(ang) y=y0-s*cos(ang) z=0 此主题相关图片如下：5.jpg 6.螺旋线. 笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360)) z = 10*t 此主题相关图片如下：6.jpg 7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0 x = 10*t y = log(10*t+0.0001) 此主题相关图片如下：7.jpg 8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4 theta=t*180 phi=t*360*20 此主题相关图片如下：8.jpg 9.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5 b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 此主题相关图片如下：9.jpg

波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令代入上式得

（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。

在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定故粒子动能的平均值为。方法二：直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而则有及。讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。是归一化的。（1）

第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1

1.2三种常用的正交坐标系 1.3标量场的梯度 1.4矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。难点：基矢的变化。讲授、练习学时：2学时 §1.2三种常用的正交坐标系一、坐标系的概念 1、坐标确定一个空间点需要三个有序数()321,,q q q ，称为空间点的坐标。 2、坐标面、坐标线两个坐标面的交线称为坐标线。若在空间任意一点，三个坐标面正交(基矢正交)，称为三维正交坐标系。 3、单位矢用 321?,?,?e e e 分别表示坐标曲线321,,q q q 上的切向单位基矢。规定：321?,?,?e e e 的方向关系构成右手系。注意：在曲线坐标系中321?,?,?e e e 一般是空间点函数。 4、拉梅系数（度规系数） () ()()??? ??===z y x q q z y x q q z y x q q ,,,,,,33 2211()()()??? ??======333 222111,,,,,,c z y x q q c z y x q q c z y x q q 三个等值曲面，称为坐标曲面由于空间点同时可用()z y x ,,表示，因此

在坐标系中，设()321,,q q q P 点的位置矢量为： ()321,,q q q r r = 则 33 2211dq q r dq q r dq q r r d ??+??+??= 式中 ????????? ? ?=??=??=??=??=??=??33333 2222 2 11111 ??????e h e q r q r e h e q r q r e h e q r q r 321,,h h h 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样， 111222333???d r e h dq e h dq e h dq =++ 1、坐标变量：()z y x ,, 2、坐标面：1C x =，2C y =，3C z = 坐标线：三条直线 3、基矢：()z y x e e e ?,?,?，正交且符合右螺旋矢量表示：???x x y y z z A e A e A e A =++，例：位置矢量 ???x y z r e x e y e z =++ 4、空间微元：线元： ???x y z dr e dx e dy e dz =++ 面元： ???,,x x y y z z dS e dydz dS e dxdz dS e dxdy === 5、拉梅系数：1321===h h h 三、柱坐标系 1、坐标变量：(),,z ρφ 2、坐标面：1C =ρ，2C φ=，3C z = 坐标线：两条直线、一个曲线坐标变换：cos , sin ,x y z z ρφρφ=== x 为常数平面 x y z y 为常数平面 Z 为常数平面 e y ?e z ?x e ? (x,y,z ) p r 二、直角坐标系 x y 体元： dV dx dy dz =

matlab画图设置(坐标轴、曲线、颜色)

matlab画图设置(坐标轴、曲线、颜色) a=linspace(1,2,10) plot(a,'--pr','linewidth',1.5,'MarkerEdgeColor','r','MarkerFaceColor','m','MarkerSize',1 0) legend('a','Location','best') title('a','FontName','Times New Roman','FontWeight','Bold','FontSize',16) xlabel('T','FontName','Times New Roman','FontSize',14) ylabel('a','FontName','Times New Roman','FontSize',14,'Rotation',0) axis auto equal set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14) 1.曲线线型、颜色和标记点类型 plot(X1,Y1,LineSpec, …) 通过字符串LineSpec指定曲线的线型、颜色及数据点的标记类型。线型颜色数据点标记类型标识符意义标识符意义标识符意义 - 实线 r 红色 + 加号 -. 点划线 g 绿色 o 圆圈 -- 虚线 b 蓝色 * 星号 : 点线 c 蓝绿色 . 点 m 洋红色 x 交叉符号 y 黄色 square(或s) 方格 k 黑色 diamond(或d) 菱形 w 白色 ^ 向上的三角形

v 向下的三角形 > 向左的三角形 < 向右的三角形 pentagram(或p) 五边形 hexagram(或h) 六边形 2.设置曲线线宽、标记点大小，标记点边框颜色和标记点填充颜色等。 plot(…,?Property Name?, Property Value, …) Property Name 意义选项 LineWidth 线宽数值，如0.5，1等，单位为points MarkerEdgeColor 标记点边框线条颜色颜色字符，如?g?, ?b?等 MarkerFaceColor 标记点内部区域填充颜色颜色字符 MarkerSize 标记点大小数值，单位为points 3.坐标轴设置范围设置： a. axis([xmin xmax ymin ymax])设置坐标轴在指定的区间 b. axis auto 将当前绘图区的坐标轴范围设置为MATLAB自动调整的区间 c. axis manual 冻结当前坐标轴范围，以后叠加绘图都在当前坐标轴范围内显示 d. axis tight 采用紧密模式设置当前坐标轴范围，即以用户数据范围为坐标轴范围比例： a. axis equal 等比例坐标轴

正交曲线坐标系向量微分算子

曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e ,,构成右手系，微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2 2 2 2 dw h dv h du h ds w v u ++= 散度：在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V V ?= ??? ?? 换成曲线正交坐标系下可得： ()? ?++= ???dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h h h A v u w u w v w v u D w v u D 右边应用高斯定理的： ()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D ? ? ?? ? ????+??+??= ++? 所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D w v u ?? ?? ? ????+??+??= ?? 比较得曲正交标架下的散度公式：()()()??? ????+??+??= ??w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1 旋度：直角坐标下用斯托克斯公式：()? ? ??= ???S S l d A S d A 换成曲线正交坐标系下可得： ()()()dw h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D u u v u w D u w v w v u ++= ??+??+??? ?? 右边应用斯托克斯公式： ()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D u u ??? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=++?? ? 所以： ()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D u w v w v u ?? ? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=??+??+???? 对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。梯度：有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量： w w v v u u e w h e v h e u h ??+??+??= ?????

哈密顿算符不同坐标下的表示

哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。关键词：哈密顿算符微分运算推导过程动量分量算符表述应用 1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符： V m p V T H +=+=2/????2 如果我们从波函数)?(r ψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =? 它的分量是 x x =? ，y y =? ， z z =? 动量算符表示为 ?-= i p ? 它的分量是 x i p x ??-= ? ，y i p y ??-= ? ，z i p z ??-= ? 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则?-→ i p 得到 V m H +?-=22 2? 在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。 2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式 2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量ρ、?与直角坐标中独立变量 x 、y 之间的关系： ?? ? ??=+=x y y x a r c t a n 22?ρ 图1 极坐标与直角坐标的关系根据上述关系有： ? ρ?ρ? ??ρρ?? - ??=????+ ????= ??s i n c o s x x x ? ρ?ρ ???ρρ?? + ??=????+????=??cos sin y y y x y ρ ?

缓和曲线的坐标公式及推导

第一章缓和曲线的坐标公式如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，图 1-1 得，（2-1）由公式(常数)得知，故有

则将上式代入（1-1）式中，得即（2-2）以及的关系代入上式得即

以代入上式得（2-3）上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算可由前面公式得（弧度）（2-4）若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：（2-5）上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。

第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其图 2-1 连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：：转向角（实地测出） R：曲率半径（设计给出）

T：切线长（计算得出） L：曲线长（计算得出） D：切曲差（计算得出）偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：第三章偏角法测设介绍偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长 c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。

常用坐标系

一、常用坐标系 1、北京坐标系北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。 1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。北京54坐标系，属三心坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3； 2、西安80坐标系 1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG75地球椭球体。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。西安80坐标系，属三心坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101 3、2000国家大地坐标系的定义国家大地坐标系的定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。2000国家大地坐标系的原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心；2000国家大地坐标系的Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向，该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算，定向的时间演化保证相对于地壳不产生残余的全球旋转，X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面（历元2000.0）的交点，Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。采用广义相对论意义下的尺度。 2000国家大地坐标系，长半轴6378137m，扁率f=1/298.257222101，地心引力常数GM ＝3.986004418×1014m3s-2，自转角速度ω＝7.292l15×10-5rads-1。 4、1984世界大地坐标系（WGS84坐标系WorldGeodeticSystem） wgs-84坐标系是美国国防部研制确定的大地坐标系，是一种协议地球坐标系。wgs-84坐标系的定义是：原点是地球的质心，空间直角坐标系的z轴指向bih（1984.0）定义的地极（ctp）方向，即国际协议原点cio，它由iau和iugg共同推荐。x轴指向bih定义的零度子午面和ctp 赤道的交点，y轴和z，x轴构成右手坐标系。wgs-84椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大会测量常数推荐值，采用的两个常用基本几何参数：长半轴a=6378137m；扁率f=1:298.257223563。 GPS广播星历是以WGS-84坐标系为根据的。

非正交曲线坐标下二维水流计算的 SIMPLEC

2003年2月水利学报SH UI LI X UE BAO 第2期收稿日期:2002201204 基金项目:国家杰出青年科学基金项目(50125924);高等学校博士学科点专项科研基金项目(2000014112);辽宁省自然科学基金项目(2001101073) 作者简介:吴修广(1974-),男,山东阳谷人,博士生,从事环境水力学研究。文章编号:055929350(2003)022*******非正交曲线坐标下二维水流计算的SIMPLEC 算法吴修广1,沈永明1,郑永红2,王平义 3(11大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室　辽宁大连　116023;21中国科学院广州能源研究所,广东广州　510070; 31重庆交通学院河海工程系　重庆　400074)摘要:本文采用Laplace 方程坐标变换方法生成正交曲线网格,并对浅水流动的控制方程进行坐标变换,方程离散时采用B 型交错网格。利用“水位扫描法”结合壁面函数法来处理移动边界,用SI MP LEC 算法解非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,修正了由网格的非正交性引起的误差。通过对美国C olorado 洲Fall River 的资料进行流场验证,计算结果与实测资料基本符合,显示了本模型在不规则水域计算中的实用价值。关键词:坐标变换;k -ε紊流模型;水位扫描法;壁面函数;SI MP LEC 算法中图分类号:T V13114文献标识码:A 随着经济发展和社会进步,水利工程建设的步伐也在进一步加快,其中港航建设、大坝建设中的泥沙问题以及近来倍受世人关注的水污染问题已经成为制约水利发展的瓶颈问题,弄清河流、湖泊、海洋中水动力因素,是解决以上问题的重要基础。近年来,数学模型已逐步取代物理模型实验成为研究水流的重要手段,而浅水流动模型是处理大区域流场的一种非常有效的模型。它属于非线性方程组,在目前只能用数值方法求解,因此,有必要研究一种简单、高效的方法来求解浅水流动问题。自Patankar 和S palding [1] 发展了SI MP LE 算法以来,该方法被广泛应用于不可压缩流场的数值模拟,而且该方法还得到了进一步的发展,主要有SI MP LER 算法 [2]、SI MP LEC 算法[3]、SI MP LEX 算法[4]和SI M 2P LET 算法[5]等。这些模型均成功地应用于速度—压力耦合的流场计算,深度平均的浅水流动模型是在静压假定下导出的,一般流体模型中的速度—压力耦合也就转换成浅水流动模型中的速度—水深耦合[6]。天然河流、海湾的边界曲折、地形复杂,采用坐标变换是解决问题的途径之一。目前多数N -S 方程的坐标变换中,流程全部采用逆变分量,这样就增加了方程的复杂程度。于是忽略掉方程中的非正交项,利用正交变换下的方程进行数值求解[7,8]。对于具有复杂边界的海湾及弯曲的河流,坐标变换中很难保证每个点都正交,特别是边界附近。水位变化是水力计算中难点之一,在目前的紊流数学模型中,多简单的利用“冻结法”,这样做将失去对边界出流动模拟的准确性。本文研究中,采用正交曲线坐标变换生成数值网格,而数值计算中采用非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,这样可以自动修正网格生成中的非正交项。流速除对流项中采用逆变分量,在其余各项中均采用原始分量,这样使得方程书写简单,有利于将各方程写成通用形式,编写的程序变得更规范。作者受Jian Y e 同位网格[9] 的启发,对普通交错网格做了修改,即采用B 型交错网格,使得u ,v ,k ,ε的计算布置在一个节点上,有利于节省计算程序代码,使程序书写更加规范。引入动边界扫描技术,结合紊流模型的壁面函数法,使壁面随着真实边界而变化。数值求解时,采用控制体积法离散方程,运用SI MP LEC 算法,使计算的流场更符合实际流场。

常见曲线的极坐标方程1

常见曲线的极坐标方程（1）学习目标： 1、能在极坐标系中给出简单图形（过极点的直线）的方程； 2、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义； 3、理解极坐标系中直线的方程。活动过程：活动一：知识回顾 1、曲线的极坐标方程的意义。 2、（1）直线x y 1的极坐标方程是__________________________________ ；（2）曲线COS 1的直角坐标方程是____________________________ 。活动二：直线的极坐标方程探究：若直线l经过M （0,0），且直线I的倾斜角为，求直线I的极坐标方程。（这里，直线I的倾斜角是指极轴与直线I向上的方向所成的角。）小结：一些特殊位置的直线的极坐标方程：（1）当直线I过极点时，直线I的极坐标方程是：______________________________ ；（2）当直线I过点M（a,0）且垂直于极轴时，直线I的极坐标方程是： _________________ （3）当直线I过点M（b,7）且平行于极轴时，直线I的极坐标方程是： _______________

活动三：直线的极坐标方程的求解例1按下列条件写出直线的极坐标方程： (1)经过极点和点A(6,g)的直线；(2)经过点B(5,)，且垂直于极轴的直线; (3)经过点C(8,6)，且平行于极轴的直线； (4)经过点D(2.. 3,0)，且倾斜角为务的直线。例2：分析极坐标方程cos 6，sin 6的特点，说明他们分别表示什么曲线? 例3：求曲线cos 1 0关于直线7对称的曲线方程。

坐标系定义

坐标系定义为了说明质点的位置运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系。在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。在某一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系。坐标系的种类很多，常用的坐标系有：笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、柱面坐标系（或称柱坐标系）和球面坐标系(或称球坐标系)等。中学物理学中常用的坐标系，为直角坐标系，或称为正交坐标系。简介如果物体沿直线运动，为了定量描述物体的位置变化，可以以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和单位长度，建立直线坐标系。一般来说，为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（coordinate system）。为了说明质点的位置运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系。在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。在某一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系。坐标系的种类很多，常用的坐标系有：笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、柱面坐标系(或

坐标系- 建立坐标系建立如果物体沿直线运动，为了定量描述物体的位置变化，可以以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和单位长度，建立直线坐标系。一般来说，为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（coordinate system）。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究。笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何。他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的。比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的。我们把点看作是留

量子力学第二章算符理论

第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」（注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到

各种坐标系下的曲线参数方程

PRO-E环境下，各种坐标系下的曲线参数方程 /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z /* 例如:对在x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径= 4，参数方程将是: /* x = 4 * cos ( t * 360 ) /* y = 4 * sin ( t * 360 ) /* z = 0 /*------------------------------------------------------------------- （这里是曲线的参数方程） /* 对圆柱坐标系，输入参数方程 /* 根据t (将从0变到1)对r, theta和z /* 例如:对在x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径= 4，参数方程将是: /* r = 4 /* theta = t * 360 /* z = 0 /*------------------------------------------------------------------- （这里是曲线的参数方程） /* 对球坐标系, 输入参数方程 /* 根据t (将从0变到1) 对rho, theta和phi /* 例如:对在x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径= 4，参数方程将是: /* rho = 4 /* theta = 90 /* phi = t * 360 /*------------------------------------------------------------------- （这里是曲线的参数方程） ·锥形螺旋线-柱坐标 r=t theta=t*(20*360) +2 z=r*t+10 ·螺旋线-柱坐标 r=50 theta=t*360*5

量子力知识学知识题解答-第3章

第三章形式理论本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 22 1??,2Q F Q F i σσ????≥ ????? 2. 广义统计诠释设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 *()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为

自主学习01 教材内容第三章力学量与算符

自主学习01 教材内容第三章力学量与算符知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测

重点难点

通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理，表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)

第四章-曲线坐标系下张量分析

第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：()=T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 123123x x x =++r e e e i x 坐标线：只变化一个坐标i x 时，矢径的轨迹。直线坐标系下，坐标线都是直线。当()i i 123x x ,,=ξξξ，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ?=?ξr g 所以： k i k i x ?=?ξg e '''k i i i i i k i i x ?ξ?ξ==?ξ???ξξe g g j j m m x ?ξ= ?g e ' ' ' j j j j j m m j j x ?ξ??ξ?ξ==?ξ?ξ g e g 原因： k j m j j j m m i i j i i i k m x x x x ?ξ??ξ?=?=?==δ??ξ??ξ?ξξ ?e e g g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： j k k ij k ij,k i ?=Γ=Γ?ξg g g 其中组合系数 k ij Γ 称为第二类Christoffel 符号 ij,k Γ称为第一类Christoffel 符号 Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上： j k k ij i ?Γ= ??ξg g j ij,k k i ?Γ= ??ξ g g

① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义： j j ?= ?ξ r g 可得： 2j k k k i i k k ij ji i j j ???=?=?=?=?ξ?ξ?ξΓ?ξ Γg r g g g g 2j i k k k i i j ij,k ji,j k ???=?=?=?=?ξ?ξ?ξΓΓ?ξ g r g g g g 说明Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。 ②不是张量在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel 符号全部为零。如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ② 两类Christoffel 符号之间的联系由于Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。 k j j k k km km ij m ij,m i i j j m m ij,k km km ij i i g g g g ??Γ= ?=?=Γ?ξ?ξ??Γ=?=?=Γ?ξ?ξ g g g g g g g g ④逆变基矢量的导数由 i i j j ?=δg g 可知： i j i j k k 0???+?=?ξ?ξ g g g g 从而 i i j kj k ??=-Γ?ξ g g i i j kj k ?=-Γ??ξ g g （逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号）

subplot在不同的坐标系下画四条曲线

实验报告一、实验目的 1.熟悉MATLAB 的运行环境； 2.学会使用MATLAB 作图； 3.学会使用MATLAB 编程。二、实验内容 1.用subplot 分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线,为每幅图形加上标题： 1)概率曲线2x e y -=; 2)四叶玫瑰线θρ2sin =; 3)叶形线3 233,13;1t x t t y t ?=??+??=?+? 4)曳物线22 111ln y y y x --±=μ. 2.作出下列曲面的3维图形 1)sin(z = 2)环面:(1cos )cos ,(0,2),(1cos )sin ,(0,2),sin .x u v u y u v v z u ππ=+∈??=+∈??=? 3.建立一个命令M 文件:求所有的“水仙花数”.所谓“水仙花数”是指一个三位数,其各位数字的立方和等于该数本身.例如,153是一个水仙花数,因为333 153153=++. 三、实验环境 Windows 操作系统; MATLAB 7.11.0（R2010b ）四、实验过程 1、概率曲线 >> subplot(2,2,1) >> x=linspace(-2*pi,2*pi,100); >> y=exp(-x.^2); >> plot(x,y) 四叶玫瑰线

>> subplot(2,2,2); >> x=0:pi./180:2.*pi; >> y=sin(2.*x); >> polar(x,y) 叶形线 >> subplot(2,2,3); >> t=linspace(-0.5,10,1000); >> x=3.*t./(1.+t.^3); >> y=3.*t.^2./(1.+t.^3); >> plot(x,y) 曳物线 >> subplot(2,2,4); >> y=linspace(0,1,100); >> m=sqrt(1-y.^2); >> x=[log((1+m)/y-m);log((1-m)/y+m)]; >> plot(y,x); 2、 1> >> x=-5:0.1:5; >> y=x; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; >> Z=sin(pi.*R);

第5讲 哈密顿算子及正交曲线坐标系