第5讲 哈密顿算子及正交曲线坐标系

∂r ∂r ∂r + ay + az (a ⋅∇)r = ax ˆ ˆ ˆ = ax x + a y y + az z = a ∂x ∂y ∂z
∇ × ( a × r ) = 2a
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∫ (a × r ) ⋅ dl = 2∫∫ a ⋅ ds
l S
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( A ⋅∇) B = Ax
∇⋅ A = ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
∂B ∂B ∂B + Ay + Az ∂x ∂y ∂z ∂B ∂B ∂B ˆ ( Ax x + Ay x + Az x ) x + ∂x ∂y ∂z ∂By ∂By ∂By ˆ = ( Ax + Ay + Az )y + ∂x ∂y ∂z ∂B ∂B ∂B ˆ ( Ax z + Ay z + Az z ) z ∂x ∂y ∂z
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哈密顿算子
两个矢量恒等式
div(rotA) = 0
∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋无散
rot(gradu ) = 0
∇ × (∇u ) = 0
梯无旋
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7
哈密顿算子
两个积分变换
∫ A ⋅ dl = ∫∫ rotA ⋅ ds
1
∂z = dq1 ∂q1
ds1 = (
∂x 2 ∂y ∂z ) + ( ) 2 + ( ) 2 dq1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 Hi = (
拉梅系数
∂x 2 ∂y ∂z ) + ( )2 + ( )2 ∂qi ∂qi ∂qi
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ds2 = ( ) +( ) +( ) dq2 ∂q2 ∂q2 ∂q2 ds3 = (
ˆ ˆ ˆ aρ × aϕ = az
25
正交曲线坐标系
例5 求圆柱坐标系的拉梅系数
• [解1] 定义法
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Hi = ( ) + ( ) + ( ) ∂qi ∂qi ∂qi
∂x 2 ∂y 2 ∂z ) + ( ) + ( )2 = 1 ∂ρ ∂ρ ∂ρ
Hρ = (
⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪z = z ⎩
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哈密顿算子
例1 证明 ∇(uv) = u∇v + v∇u
• [证] 直接法
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇(uv) = ( x + y + z )uv ∂x ∂y ∂z ∂ (uv) ∂ (uv) ∂ (uv) ˆ ˆ ˆ x+ y+ z = ∂x ∂y ∂z ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ˆ + (u + v ) y + (u + v ) z ˆ ˆ = (u + v ) x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂v ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = u( x + y + z ) + v( x + y+ z) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
= u∇v + v∇u
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哈密顿算子
例1 证明 ∇(uv) = u∇v + v∇u
• [证] 公式法
∇(uv) = ∇(uc v) + ∇(uvc ) ∇(uc v) = uc ∇v ∇(uv) = uc ∇v + vc∇u
∇(uv) = u∇v + v∇u
哈密顿算子 正交曲线坐标系
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4
哈密顿算子
微分性 矢量性 Nabla(那勃勒) Del(代尔) 数乘 点积
▽算子——哈密顿算子
• 直角坐标系定义： • 梯度： • 散度：
∇= ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ x+ y+ z ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ x+ y+ z ∂x ∂y ∂z
xo yo
x
y
u ( x, y ) = ∫ −Q( x, yo )dx + ∫ P ( x, y )dy
xo yo
2
x
y
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Review
共轭调和
∂u ∂v ∂u ∂v = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x
共轭调和条件
∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂v ∂v + 2 =0 2 ∂x ∂y
L S
∫ A ⋅ dl = ∫∫ ∇ × A ⋅ ds
L S
线→面
∫∫ A ⋅ ds = ∫∫∫ divAdv
S V
∫∫ A ⋅ ds = ∫∫∫ ∇ ⋅ Adv
S V
面→体
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哈密顿算子
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9
哈密顿算子
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∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ) +( ) +( ) dq3 ∂q3 ∂q3 ∂q3
dsi = H i dqi
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正交曲线坐标系
Hi称为拉梅系数
• G.Lame’ • 点坐标(q1,q2,q3)的函数
拉梅系数表示的体积元
dV = ds1ds2 ds3 = H1 H 2 H 3 dq1dq2 dq3
gradu = ∇u = divA = ∇ ⋅ A =
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
• 旋度：
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ˆ x ∂ rotA = ∇ × A = ∂x Ax
ˆ y ∂ ∂y Ay
ˆ z ∂ ∂z Az
叉积
5
哈密顿算子
一个新的微分算符
( A ⋅∇)u = Ax A ⋅∇ = Ax ∂ ∂ ∂ + Ay + Az ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u + Ay + Az ∂x ∂y ∂z
10
哈密顿算子
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哈密顿算子
[ f (u ) g (u )]' = f '(u ) g (u ) + f (u ) g '(u )
∇u = ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ x+ y+ z ∂z ∂y ∂x ∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ y+ z x+ ∂x ∂y ∂z
直角坐标系与正交曲线坐标系弧微分的关系
H12 dq12 + H 2 2 dq2 2 + H 32 dq32 = dx 2 + dy 2 + dz 2
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24
正交曲线坐标系
圆柱坐标系
• 圆柱坐标系中任意点P可用ρ,φ,z 表示，与直角坐标系的关系为：
⎧ρ = x2 + y 2 ⎪ y ⎪ ⎨ϕ = arctan x ⎪ ⎪z = z ⎩
∇=
∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z
•哈密顿算子服从 乘积的微分法则 •作用于n项乘积 时可以写成n项 之和：
•微分性在每项 中分别只对一 个变量起作 用； •矢量性如同一 般矢量起作用
12
矢量性
Fra Baidu bibliotek
微分性
∇× A =
ˆ x
∂ ∂x Ax
ˆ y
∂ ∂y Ay
ˆ z
∂ ∂z Az
z
ρ
ˆ az
ˆ aϕ
ˆ aρ
y
P
ϕ
x
• 除az外，aφ和aρ都会随点的位置而发生改变，不是常 矢。但三者总保持正交且遵循右手螺旋法则。
ˆ ⎡ aρ ⎤ ⎡ cos ϕ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ ⎢ aϕ ⎥ = ⎢ − sin ϕ ⎢a ⎥ ⎢ 0 ⎣ ˆz ⎦ ⎣ sin ϕ cos ϕ 0 ˆ 0 ⎤ ⎡ ax ⎤ ⎢ ⎥ ˆ 0⎥ ⎢ay ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ az ⎥ ⎦⎣ˆ ⎦
2 2
共轭调和函数
∂ ∂ ∂ 拉普拉斯算子 ≡ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2
2 2 2
拉普拉逊
满足拉普拉斯 方程，且有二 阶连续偏导数 的函数，叫做 调和函数
调和量 拉普拉斯方程
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u = div(gradu )
u=0
3
第5讲 哈密顿算子及正交曲线坐标系
vc ∇u = ∇(uvc )
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哈密顿算子
例2 证明
• [证]
∇ ⋅ (uA) = u∇ ⋅ A + ∇u ⋅ A
∇ ⋅ (uA) = ∇ ⋅ (uc A) + ∇ ⋅ (uAc )
∇ ⋅ (uAc ) = ∇u ⋅ Ac = ∇u ⋅ A
∇ ⋅ (uc A) = uc ∇ ⋅ A = u∇ ⋅ A
18
正交曲线坐标系
空间点除了能用直角坐标(x,y,z)表示外，也可以 用另外三个有序数(q1,q2,q3)来表示； qi是(x,y,z)的单值函数，对应于空间曲线，故称其 为点的曲线坐标；
19
正交曲线坐标系
q1 ( x, y, z ) = c1
坐标曲面
• qi是单值函数 • 在空间各点，每族等值曲面都仅 有一个曲面经过
∇ × (a × r ) = ∇ × (ac × r ) + ∇ × (a × rc ) ∇ × (a × rc ) = (rc ⋅∇)a − rc (∇ ⋅ a )
∇ × (ac × r ) = ac (∇ ⋅ r ) − (ac ⋅∇)r
∇ × (a × r ) = a (∇ ⋅ r ) − (a ⋅∇)r + (r ⋅∇ )a − r (∇ ⋅ a )
管形场
divA ≡ 0 A ≡ rotB
⎧U = z Q( x, y, z )dz − y R( x, y, z )dy 0 ∫z0 ∫y0 ⎪ ⎪ z ⎨ V = − ∫ P( x, y, z )dz z0 ⎪ ⎪ W = C (C为任何常数) ⎩
调和场
divA = 0 rotA = 0
v( x, y ) = − ∫ P( x, yo )dx − ∫ Q( x, y )dy
q2 ( x, y, z ) = c2 q3 ( x, y, z ) = c3
坐标曲线
• 坐标曲面两两相交形成的曲线 • 坐标曲面q1 =c1和q2 =c2坐标曲面 形成的坐标曲线上仅有q3在变化， 因此称为q3曲线。
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正交曲线坐标系
z q3 a 3 ˆ
坐标曲线相互正交
• 各坐标曲线在该点的切线互相正交
ˆ a2q
ˆ a1
q1
2
y
坐标曲面相互正交
• 各坐标曲面在相交点处的法线互相正交
x
正交曲线坐标系
• ai为曲线qi上的切向单位矢，且指向qi曲线增大一方， 若a1, a2, a3互相垂直且满足右手螺旋关系，则称构成 的坐标系为正交曲线坐标系； • 最常用的两种正交曲面坐标系 • 圆柱坐标系 • 球面坐标系
∇ ⋅ (uA) = u∇ ⋅ A + ∇u ⋅ A
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哈密顿算子
例3 证明 ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B )
• [证]
∇ ⋅ ( A × B) = ∇ ⋅ ( Ac × B) + ∇ ⋅ ( A × Bc ) ∇ ⋅ ( A × Bc ) = Bc ⋅ (∇ × A) ∇ ⋅ ( Ac × B) = −∇ ⋅ ( B × Ac ) = − Ac ⋅ (∇ × B)
拉梅系数表示的面积元
ds12 = ds1ds2 = H1 H 2 dq1dq2 ds23 = ds2 ds3 = H 2 H 3 dq2 dq3 ds13 = ds1ds3 = H1 H 3 dq1dq3
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正交曲线坐标系
一般曲线的弧微分
ds 2 = ds12 + ds2 2 + ds32
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正交曲线坐标系
拉梅系数
• 坐标曲线弧微分 ds1 = ± dx 2 + dy 2 + dz 2
∂x ∂x ∂x dx = dq1 + dq2 + dq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3
q1
dx q =
1
dy q dz q
1
∂x dq1 ∂q1 ∂y = dq1 ∂q1
∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B)
常矢转换到算符前，变矢留在算符后
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哈密顿算子
例4 验证
• [证]
l
∫ (a × r ) ⋅ dl
l S
= 2 ∫∫ a ⋅ ds
S
a为常矢
∫ (a × r ) ⋅ dl = ∫∫ [∇ × (a × r )] ⋅ ds
场论与复变函数
主讲：徐乐
2008年9月6日星期六 2008年
Review
有势场 A = grad u
x xo
A = −grad v
y z yo zo
rotA = 0
u ( x, y, z ) = ∫ P ( x, yo , zo )dx + ∫ Q( x, y, zo )dy + ∫ R( x, y, z )dz