第三章2 测量仪器精度分析
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第四章
测量仪器的精度分析
思考题
• 以立式光学计和球径仪为例，分析仪器 的测量精度。
精度分析
1、分析影响仪器精度的各项误差来源及特性， 2、计算其大小和其对仪器总精度的影响程度， 3、由上得出仪器的综合误差/总体精度。
仪器的精度分析可分为以下三个阶段进行：
内容：
1、寻找仪器的源误差； 一、误差的来源 2、计算局部误差；
0.45
3
p d（经验公式）。
上式微分：
2 1 d 0.45 3 p 3 pd
为测量力的变化Δp引起的误差。
⒊ 温度引起的误差
∵是相对测量，则由温度变化引起量块和测件在长度上有 变化，且由于被测件与量块在温度和材料上的不同，∴温度引 起的二者长度的变化也不同。 一般测量环境的标准温度为t0(=20℃～25℃)，实际环境温度 为t，量块线膨胀系数为a0，则温度引起的量块的误差为：
（三）使用误差
又称运行误差。 产生原因：仪器在使用过程中，由于热变形、 零部件磨损和材料性质变化等引起的误差。
属性：一般为随机误差。
产生的原因也较多，在设计时应根据具体情 况，采用合理的结构、材料和措施使之减小。
举例：立式光学计使用误差分析
仪器的使用方法—— 1、相对测量、接触式，
标准件 测量力 温度
理论误差Δs的补偿原理
为减少该理论误差，实际的仪器在结构上设计了综合调节环 节来补偿该误差——通过调整杠杆长度a来实现。 设将杠杆臂长调整为a1，则：
y y 3 s a1 ( ) 2f 2 f
而 s0 a y
2f
y y 3 s s0 s (a a1 ) a1 ( ) 2f 2f
若已知刻线的分划误差Δy，杠杆长度误差Δa，物镜焦距 误差Δf为已定系统误差源，用差分代替微分，则： y a ay s a y f 2 2f 2f 2f
s( a y f ) a y f
f ，则： 若各源误差为随机的，标准差为 y 、 a 、
s s ( a
定义：仪器的输出与各作用件的参数之间的关 系如能用数学关系式表达，称这个关系式为作 用方程式或仪器方程。
举例：立式光ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计
ay 立式光学计的作用方程为： s 2f
与仪器输出s有关的参数为分划板刻尺的刻度值y，杠杆的 长度a，物镜焦距f，则：
y ay s s s a ds da dy df da dy df 2 a y f 2f 2f 2f
y y s a ( )3 2f 2 f
s s0 s a ( y
1 3 ) 2 s0 2f a
3
Δs 与 读 数有关， 就仪器而 言，该项 误差是未 定系统误 差（只知 其范围， 具体值不 确定）， 但对某一 测量量而 言 Δs 是 已定系统 误 差 （∵y值 一定）。
a )2 (
y
y
)2 (
f
f
)2
为三项局部误差方和根。
运用微分运算解决误差计算问题简单、快速、合成关系明确， 但只适用于源误差为包含于作用方程中的参数误差的情况，对 于不能列入作用方程的源误差，则需采用其他的方法进行分析
计算。
2、几何法
根据源误差与其局部误差之间的几何关系，
分析计算源误差对误差精度的影响。
12 2 2
⒋ 读数误差
人为读数必然引入误差，除粗大误差不计，仪器单 次读数误差可以估计为仪器分度值的 1/10（Δ40）。由于 光学计确定一个量值需要两次读数，∴读数误差应为两 次的平方和根：
2 40
二、误差的传递分析计算方法
误差的传递分析计算：将源误差Δi折算到仪器被测量si（输 入）的变化值——仪器（局部）误差的过程，得出：
举例：立式光学计
*侧杆与导套的配合间隙Δ引起的误差； *立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误 差。
立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误差
立式光学仪的分划板与光轴 垂直面有θ的夹角，则相当于不 同y（刻度值）处的焦距有误差 Δf。
f y sin y
a s y 2f
s s s f y f f
2、开放环境， 3、人为读数
举例：立式光学计使用误差分析
⒈ 标准件误差 ⒉ 测量力引起的误差 ⒊ 温度引起的误差 ⒋ 读数误差
⒈ 标准件误差
光学计的测量为相对测量法。测量时，先用标准 量块（ L ）调零，测量结果为 s+L 。所以量块的误差 影响测量的结果。 由于在仪器使用时，被选量块是随机的，∴该项 误差为随机误差，且量块作为标准件多为多块使用 以凑到所需尺寸，若单块误差为ΔL，若采用n块，则 有标准件产生的使用误差为 ±Δ L n 。 ∴仪器使用时为减小该项误差，一般所选量块个 数不会超过5块。
分划板不垂直光轴引起的误差
举例：螺旋测微机构 （P25例2—3）
若被测零件有尺寸有偏差，将 使测杆14上、下移动，因而反射 镜偏转α角度，使返回的划线尺像 的零刻度相对于指示线3产生相应 的移动，因而反映出被测零件的 偏差数值。
y
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。 当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支 点摆动φ 角。且：
O’
s tg a
产生原因：由于材料，加工尺寸和相互位置的 误差而引入的仪器误差。 说明：制造误差是不可避免的，但并不是所有 的零件误差（如目镜，光源等）都造成仪器的 误差，起主要作用的是构成测量链的零部件。
减少制造误差的措施 *提高加工精度和装配精度
*合理地分配误差和确定制造公差 *正确应用仪器设计原理和原则
*合理确定仪器结构参数
*合理的结构工艺性
*设置适当的调整和补偿环节
举例：立式光学计的制造误差分析
y s0 a 2f
⒈ 分划板 分划板：刻尺的分划误差， 位置不垂直光轴，
安装不在物镜的焦距上
物镜：畸变、焦距误差 ⒉ 物镜 反射镜：杠杆臂长≠a ⒊ 反射镜 测杆：与导套之间的配合间隙 ⒋ 测杆
⒈ 分划板上刻尺的分划误差Δ1所引起的局部误差e1
⒉ 测量力引起的误差
本仪器为接触性测量，∴测量力将会在被测物上产生力 变形，该变形量将会引起被测实际量的变化，而引起误差。 且仪器为相对测量，则测量力引起的测量误差应为测量 力在标准件和被测件上所引起的力变形之差，即应为二次接 触时测量力之差所引起的误差。 若测量时测头为直径为 d的球形测头，被测面为平面，测 头和被测件材料均为钢，则测量力 p所引起的被测件的压陷 量： 2
Δa
atg
。则 a 引起的误差：
s e a tg a l s a 2ha
e3 e30 e e l s 2ha
Δa
量杆配合间隙引起的误差
l2 e30 2 ，为二次量，忽略不计。 2h
该项误差可通过减少Δ，加大a、h来减少。
光路
照明光由反射镜9从侧面窗口 射入，经棱角7反射，照亮分划板 4 上的刻度尺 6 。它位于物镜 11 和 目镜的公共焦面上，并处于光轴 一侧 ( 反射回的刻度尺像位于另一 侧)。此时照亮的刻度尺经10-直角 棱镜折转90˚。经物镜11，到达反 射镜13，再返回到分划板4，从目 镜5中便可观察到刻度尺6的像。
原理误差Δs
s 0 a s f ( 1 ( y / f ) 2 1) a y
1 ( y f ) 2 级数扩开，取前三项=
( y / f )2 ( y / f )4 1 2 8
则：
y s0 a 2f
s f ( y / f )2 ( y / f )4 a y 2 8
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y： （2） y f tg2
∵s 为微小位移量，
∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。
由于近似线性的处理， 便造成了原理误差Δs。
s y 2 f ∴ a
y 即： s 0 a 2f
立式光学计原理图
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
2
2
∵α很小，∴sinα/2≈α/2，
e30 l / 2,
2
, h
2
l e30 2 2h
量杆配合间隙引起的误差
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ所引起的误差e3
另一方面，测杆的倾侧使杠杆长度a发生变化，
l l l a sin tg 2 2 2h
由式 s
Δ=f(Δi)。
称此式为源误差Δi的传递关系，f为误差传递函数。 计算某源误差对仪器精度的影响——局部误差的计算。 方法：微分法、几何法、作用线与瞬时臂方法、数字逼近法、 矢量法、经验估算法、实验测试法等。
1、微分法
应用条件：在具有明确的作用方程式的情况下， 若源误差为各参数误差时，可用对作用方程求 全微分来求各源误差对仪器精度的影响。
1 a0 (t t 0 ) L （L为量块长度）
被测件测量时温度为t1、线膨胀系数为a1， ∴温度引起的被 测件相对量块的长度变化为 2 (a1 a0 )(t1 t )l （l为量块长度）
∵由温度引起的测量误差应为 Δ1、Δ2 二项随机误差合成（不
计温度引起的其他零部件的误差）。 ∴
a a e2 ds0 y 0.0005 y 0.0005s 2f 2f
e2 与s成正比，∴该项误差可通过减小s来减小。
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ所引起的误差e3
测杆与导套之间的配合间隙Δ引起 测杆的倾侧，一方面，使量杆在测量线 方向上有长度变化（如图）：
e30 l l cos l (1 cos ) l 2 sin
使y =0、y =± ymax 处Δs =0 (
此时最大的原理误差出现在 d s
ymax为最大示值) ，则： a 1
dy 0 处。此时 y
y max 3
。
a 1 ( y max 2f )2
smax
ymax 3 a( ) 0.385smax 原 3 3 2f 2
（二）制造误差
二、误差的传递分析计算方法 三、仪器误差的综合
3、精度综合。
某一源误差独立作 用于仪器时，使仪 器产生的误差 。
一、误差的来源
1、原理误差 2、制造误差
3、使用误差
（一）原理误差
又称理论/方法/设计误差 产生原因：设计理论不完善、采取近似理论。 属性：系统误差。 减少或消除的措施：增加调整或补偿环节。
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。 当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支 点摆动φ 角。且：
2tg y f tg 2 f 1 tg 2
(1)式代入
s tg a
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y：
sa y 2f 1 ( s a) 2
整理得：
y f tg2
∵s 为微小位移量， ∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。
（2）
s y 2 f ∴ a
y 即： s 0 a 2f
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
2f s 2 s ( ) ( ) 1 0 a a y 解得： 2 f (2 f y ) 2 4 s y a 2
y s0 a 2f
Δ1为y的不准确值/误差，∴上式微分得
a ds0 dy 2f
dy 1 , ds0 e1
a e1 1 2f
⒉ 物镜的畸变Δy所引起的局部误差e2 物镜的畸变Δy为物镜在其近轴区与远轴区的横向放大率 不一致而造成的误差。 一般光学计物镜的相对畸变设计要求为0.0005, ∴Δy=0.0005y。 由此而引起仪器误差：
举例：立式光学计
示值范围： ±100μm
测量范围：180mm
1—反射镜；2—目镜；3、19—示值范围调节 螺钉； 4—光学计管； 5—螺钉； 6—立柱， 7—横臂；8 —横臂紧固螺钉；9—横臂升降螺 母，10一底座；11一工作台调整螺钉；12一 圆工作台；13 —测杆抬升器； 14—测帽； 15 —光学计管固定螺钉；16 —偏心调节螺钉； 17 —偏心环固定螺钉；18 —零位微调螺钉
测量仪器的精度分析
思考题
• 以立式光学计和球径仪为例，分析仪器 的测量精度。
精度分析
1、分析影响仪器精度的各项误差来源及特性， 2、计算其大小和其对仪器总精度的影响程度， 3、由上得出仪器的综合误差/总体精度。
仪器的精度分析可分为以下三个阶段进行：
内容：
1、寻找仪器的源误差； 一、误差的来源 2、计算局部误差；
0.45
3
p d（经验公式）。
上式微分：
2 1 d 0.45 3 p 3 pd
为测量力的变化Δp引起的误差。
⒊ 温度引起的误差
∵是相对测量，则由温度变化引起量块和测件在长度上有 变化，且由于被测件与量块在温度和材料上的不同，∴温度引 起的二者长度的变化也不同。 一般测量环境的标准温度为t0(=20℃～25℃)，实际环境温度 为t，量块线膨胀系数为a0，则温度引起的量块的误差为：
（三）使用误差
又称运行误差。 产生原因：仪器在使用过程中，由于热变形、 零部件磨损和材料性质变化等引起的误差。
属性：一般为随机误差。
产生的原因也较多，在设计时应根据具体情 况，采用合理的结构、材料和措施使之减小。
举例：立式光学计使用误差分析
仪器的使用方法—— 1、相对测量、接触式，
标准件 测量力 温度
理论误差Δs的补偿原理
为减少该理论误差，实际的仪器在结构上设计了综合调节环 节来补偿该误差——通过调整杠杆长度a来实现。 设将杠杆臂长调整为a1，则：
y y 3 s a1 ( ) 2f 2 f
而 s0 a y
2f
y y 3 s s0 s (a a1 ) a1 ( ) 2f 2f
若已知刻线的分划误差Δy，杠杆长度误差Δa，物镜焦距 误差Δf为已定系统误差源，用差分代替微分，则： y a ay s a y f 2 2f 2f 2f
s( a y f ) a y f
f ，则： 若各源误差为随机的，标准差为 y 、 a 、
s s ( a
定义：仪器的输出与各作用件的参数之间的关 系如能用数学关系式表达，称这个关系式为作 用方程式或仪器方程。
举例：立式光ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计
ay 立式光学计的作用方程为： s 2f
与仪器输出s有关的参数为分划板刻尺的刻度值y，杠杆的 长度a，物镜焦距f，则：
y ay s s s a ds da dy df da dy df 2 a y f 2f 2f 2f
y y s a ( )3 2f 2 f
s s0 s a ( y
1 3 ) 2 s0 2f a
3
Δs 与 读 数有关， 就仪器而 言，该项 误差是未 定系统误 差（只知 其范围， 具体值不 确定）， 但对某一 测量量而 言 Δs 是 已定系统 误 差 （∵y值 一定）。
a )2 (
y
y
)2 (
f
f
)2
为三项局部误差方和根。
运用微分运算解决误差计算问题简单、快速、合成关系明确， 但只适用于源误差为包含于作用方程中的参数误差的情况，对 于不能列入作用方程的源误差，则需采用其他的方法进行分析
计算。
2、几何法
根据源误差与其局部误差之间的几何关系，
分析计算源误差对误差精度的影响。
12 2 2
⒋ 读数误差
人为读数必然引入误差，除粗大误差不计，仪器单 次读数误差可以估计为仪器分度值的 1/10（Δ40）。由于 光学计确定一个量值需要两次读数，∴读数误差应为两 次的平方和根：
2 40
二、误差的传递分析计算方法
误差的传递分析计算：将源误差Δi折算到仪器被测量si（输 入）的变化值——仪器（局部）误差的过程，得出：
举例：立式光学计
*侧杆与导套的配合间隙Δ引起的误差； *立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误 差。
立式光学仪的分划板不垂直光轴引起的误差
立式光学仪的分划板与光轴 垂直面有θ的夹角，则相当于不 同y（刻度值）处的焦距有误差 Δf。
f y sin y
a s y 2f
s s s f y f f
2、开放环境， 3、人为读数
举例：立式光学计使用误差分析
⒈ 标准件误差 ⒉ 测量力引起的误差 ⒊ 温度引起的误差 ⒋ 读数误差
⒈ 标准件误差
光学计的测量为相对测量法。测量时，先用标准 量块（ L ）调零，测量结果为 s+L 。所以量块的误差 影响测量的结果。 由于在仪器使用时，被选量块是随机的，∴该项 误差为随机误差，且量块作为标准件多为多块使用 以凑到所需尺寸，若单块误差为ΔL，若采用n块，则 有标准件产生的使用误差为 ±Δ L n 。 ∴仪器使用时为减小该项误差，一般所选量块个 数不会超过5块。
分划板不垂直光轴引起的误差
举例：螺旋测微机构 （P25例2—3）
若被测零件有尺寸有偏差，将 使测杆14上、下移动，因而反射 镜偏转α角度，使返回的划线尺像 的零刻度相对于指示线3产生相应 的移动，因而反映出被测零件的 偏差数值。
y
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。 当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支 点摆动φ 角。且：
O’
s tg a
产生原因：由于材料，加工尺寸和相互位置的 误差而引入的仪器误差。 说明：制造误差是不可避免的，但并不是所有 的零件误差（如目镜，光源等）都造成仪器的 误差，起主要作用的是构成测量链的零部件。
减少制造误差的措施 *提高加工精度和装配精度
*合理地分配误差和确定制造公差 *正确应用仪器设计原理和原则
*合理确定仪器结构参数
*合理的结构工艺性
*设置适当的调整和补偿环节
举例：立式光学计的制造误差分析
y s0 a 2f
⒈ 分划板 分划板：刻尺的分划误差， 位置不垂直光轴，
安装不在物镜的焦距上
物镜：畸变、焦距误差 ⒉ 物镜 反射镜：杠杆臂长≠a ⒊ 反射镜 测杆：与导套之间的配合间隙 ⒋ 测杆
⒈ 分划板上刻尺的分划误差Δ1所引起的局部误差e1
⒉ 测量力引起的误差
本仪器为接触性测量，∴测量力将会在被测物上产生力 变形，该变形量将会引起被测实际量的变化，而引起误差。 且仪器为相对测量，则测量力引起的测量误差应为测量 力在标准件和被测件上所引起的力变形之差，即应为二次接 触时测量力之差所引起的误差。 若测量时测头为直径为 d的球形测头，被测面为平面，测 头和被测件材料均为钢，则测量力 p所引起的被测件的压陷 量： 2
Δa
atg
。则 a 引起的误差：
s e a tg a l s a 2ha
e3 e30 e e l s 2ha
Δa
量杆配合间隙引起的误差
l2 e30 2 ，为二次量，忽略不计。 2h
该项误差可通过减少Δ，加大a、h来减少。
光路
照明光由反射镜9从侧面窗口 射入，经棱角7反射，照亮分划板 4 上的刻度尺 6 。它位于物镜 11 和 目镜的公共焦面上，并处于光轴 一侧 ( 反射回的刻度尺像位于另一 侧)。此时照亮的刻度尺经10-直角 棱镜折转90˚。经物镜11，到达反 射镜13，再返回到分划板4，从目 镜5中便可观察到刻度尺6的像。
原理误差Δs
s 0 a s f ( 1 ( y / f ) 2 1) a y
1 ( y f ) 2 级数扩开，取前三项=
( y / f )2 ( y / f )4 1 2 8
则：
y s0 a 2f
s f ( y / f )2 ( y / f )4 a y 2 8
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y： （2） y f tg2
∵s 为微小位移量，
∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。
由于近似线性的处理， 便造成了原理误差Δs。
s y 2 f ∴ a
y 即： s 0 a 2f
立式光学计原理图
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
2
2
∵α很小，∴sinα/2≈α/2，
e30 l / 2,
2
, h
2
l e30 2 2h
量杆配合间隙引起的误差
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ所引起的误差e3
另一方面，测杆的倾侧使杠杆长度a发生变化，
l l l a sin tg 2 2 2h
由式 s
Δ=f(Δi)。
称此式为源误差Δi的传递关系，f为误差传递函数。 计算某源误差对仪器精度的影响——局部误差的计算。 方法：微分法、几何法、作用线与瞬时臂方法、数字逼近法、 矢量法、经验估算法、实验测试法等。
1、微分法
应用条件：在具有明确的作用方程式的情况下， 若源误差为各参数误差时，可用对作用方程求 全微分来求各源误差对仪器精度的影响。
1 a0 (t t 0 ) L （L为量块长度）
被测件测量时温度为t1、线膨胀系数为a1， ∴温度引起的被 测件相对量块的长度变化为 2 (a1 a0 )(t1 t )l （l为量块长度）
∵由温度引起的测量误差应为 Δ1、Δ2 二项随机误差合成（不
计温度引起的其他零部件的误差）。 ∴
a a e2 ds0 y 0.0005 y 0.0005s 2f 2f
e2 与s成正比，∴该项误差可通过减小s来减小。
3. 测杆与导套之间的配合间隙Δ所引起的误差e3
测杆与导套之间的配合间隙Δ引起 测杆的倾侧，一方面，使量杆在测量线 方向上有长度变化（如图）：
e30 l l cos l (1 cos ) l 2 sin
使y =0、y =± ymax 处Δs =0 (
此时最大的原理误差出现在 d s
ymax为最大示值) ，则： a 1
dy 0 处。此时 y
y max 3
。
a 1 ( y max 2f )2
smax
ymax 3 a( ) 0.385smax 原 3 3 2f 2
（二）制造误差
二、误差的传递分析计算方法 三、仪器误差的综合
3、精度综合。
某一源误差独立作 用于仪器时，使仪 器产生的误差 。
一、误差的来源
1、原理误差 2、制造误差
3、使用误差
（一）原理误差
又称理论/方法/设计误差 产生原因：设计理论不完善、采取近似理论。 属性：系统误差。 减少或消除的措施：增加调整或补偿环节。
原理
当反射镜为垂直光轴时，像与原像重合， 即y =0。 当测量时测杆移动s 距离后，反射镜绕支 点摆动φ 角。且：
2tg y f tg 2 f 1 tg 2
(1)式代入
s tg a
（1）
反射光线偏转 2φ角。则在分划板上的刻 尺的像偏移度y：
sa y 2f 1 ( s a) 2
整理得：
y f tg2
∵s 为微小位移量， ∴tgφ≈φ ，tg2φ≈2φ。
（2）
s y 2 f ∴ a
y 即： s 0 a 2f
(y 为刻尺在 O’ 点的示值的真值， s0 为被 测量理论值)
2f s 2 s ( ) ( ) 1 0 a a y 解得： 2 f (2 f y ) 2 4 s y a 2
y s0 a 2f
Δ1为y的不准确值/误差，∴上式微分得
a ds0 dy 2f
dy 1 , ds0 e1
a e1 1 2f
⒉ 物镜的畸变Δy所引起的局部误差e2 物镜的畸变Δy为物镜在其近轴区与远轴区的横向放大率 不一致而造成的误差。 一般光学计物镜的相对畸变设计要求为0.0005, ∴Δy=0.0005y。 由此而引起仪器误差：
举例：立式光学计
示值范围： ±100μm
测量范围：180mm
1—反射镜；2—目镜；3、19—示值范围调节 螺钉； 4—光学计管； 5—螺钉； 6—立柱， 7—横臂；8 —横臂紧固螺钉；9—横臂升降螺 母，10一底座；11一工作台调整螺钉；12一 圆工作台；13 —测杆抬升器； 14—测帽； 15 —光学计管固定螺钉；16 —偏心调节螺钉； 17 —偏心环固定螺钉；18 —零位微调螺钉