范德蒙德行列式的性质及应用(16开)

与 (2) 比较可得 Dn −1 = g ( a1 , a2 , ⋯, a n −1 , a n ) 因此 Dn = Dn −1 = ( an −1 − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 ) 同理 Dn −1 = Dn − 2 ( an −1 − a1 )( an − 1 − a2 ) ⋯ ( an − 1 − an − 2) 依次类推，最后有 D2 = D1 (a2 − a1 ) 又因为 D1 = 1 ，所以
的行列式称为 Vandermonde 行列式， 记为 Vn ( a1 , a2 ,..., an ). Vandermonde 行列式 是高等代数的一个重要内容。其特点是每一列为某一个数的不同方幂，且从 上到下幂指数由零递增至 n − 1 .范德蒙行列式的计算在行列式的计算中占有 特殊的地位，在数学的各个领域都有很广泛的应用
V ( x1 ,⋯ , xn1 , xn1 i , xn1 +1 ,⋯ , xn2 , xn2 i , xn2 +1, ⋯, xn ) = V ( x1, ⋯, xn1 i ⋯ xn 2 i, ⋯, xn )
= (−1) [∏ p !] ( xn2 − xn1 )
p =1 i2 i
2 2i (i + 2)
另一方面，如果将按最后一列展开可知道，是的次多项式，且项的系数
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1 1 a1 a2 是阶范德蒙行列式 Dn −1 =
1 a3
... ...
1 an − 1
a12 ... a1n − 2
2 a2 ... n− 2 a2
2 a32 ... an −1 ... ... n− 2 −2 a3 ... a n n −1
[1]
4、范德蒙行列式的推广 [ 2] .................................................................. 5 5、范德蒙行列式的应用..................................................................... 8 5. 1 在多项式理论中的应用 ........................................................8
证明:
对 n 用归纳法. 1 a1 1 = a2 − a1 , 结论成立. a2
当 n = 2 时, V2 (a1 , a2 ) =
假设对 n − 1 结论也成立,即
Vn −1 ( a1 , a2 ,..., an −1 ) = ( an − an−1 )...( an−1 − a2 )( an−1 − a1 )...( a3 − a2 )( a3 − a 1 )( a 2 − a 1)
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目
录
1、前言............................................................................................... 2 2、范德蒙行列式的计算方法 ...........................................................2
a1 n −1 a2 n − 1 ⋯ an −1n −1 n −1 an a n −1
a1 n a2 n ⋯ an −1n n an an
即插入一行与一列，使 ∆ n +1 是关于 a1 , a2 ,⋯ , a n , a 的 n + 1 阶范德蒙行列式，此 处 a 是变数 . 于是 ∆ n +1 = (a − a1 )( a − a2 )⋯ ( a − an ) 于 a 的 n 次多项式，它可以写成 ∆ n +1 = 另 一
a = ( ∑ ai ) ∏ ( a j − ai ). i =1 1 ≤i < j ≤n ... n an
证明 将 D 升阶为下面的 n + 1 阶行列式 1 a1 1 a2 ⋯ ⋯ ∆ n +1 = 1 an −1 1 an 1 a
a12 2 a2 ⋯ an −12 2 an a2
⋯ a1 n −2 n− 2 ⋯ a2 ⋯ ⋯ ⋯ an −1n − 2 n− 2 ... an ... a n − 2
2、范德蒙行列式的计算方法
定理 1 1 1 a1 a2
2 Dn = a12 a2 ... ... n −1 n −1 a1 a2
[1]
1 a3
... ...
1 an
2 2 a3 ... an = ∏ ( a j − ai )( n ≥ 2) 1≤i < j ≤n ... ... n −1 n −1 a3 ... an
2 n −1 x2 ⋯ x2
⋯ ⋯
⋯
2 n −1 xn ⋯ xn
xi (i = 1, 2, ⋯, n), 然后再把第 1列加到第 2 列，之后， xi − 1
第 2 列加到第 3 行， ⋯⋯, 第 n − 1 列加到第 n 列，就得到范德蒙行列式，于是
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Dn = ( an − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 )⋯⋯ ( a2 − a1 ) =
例1
1≤ j < i≤ n
∏
( ai − aj )
x1 x1 x1 − 1 x2 x2 计算行列式 D = x2 − 1 ⋯ ⋯ xn xn xn − 1
解 从第 i 行提出
x12 ⋯ x1n −1
an − ai Dn
又 因 为
i = 1, 2, ⋯ n − 1
当
i≠ j
时
，
( an − ai , an − aj ) = 1
所
以
设
( an − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 ) Dn 设 Dn = g (a1 , a2 ,⋯ an )( an − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 ) (2)
n
n
[
p =1 p ≠n1 ,n 2
∏
( xn1 − x p )
p =1 p ≠n 1 ,n 2
∏
( xn 2 − x p )]i V ( x1 , x2 ,⋯ , xn )
推论 2 [18]
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V ( x1i , x2 i , ⋯, xm i , xm +1 , ⋯, xn )
f ( x ) = Vn −1 ( a1 , a2 ,..., an −1 ) ( x − a1 )( x − a 2 )...( x − a n )
又 Vn ( a1 , a2 ,..., an −1 ) = f (an )
∴Vn ( a1 , a2 ,..., an −1 ) = Vn −1 (a 1, a 2,..., a n − 1)(a n − a 1)(a n − a 2)...(a n − a n − 1) =
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范德蒙行列式的性质及应用
张鹏（指导老师：余红宴） （文理学院数学系 0807 班 湖北 黄石 435002）
1、前言
形如 1 a1 a12 ... a1n −1 1 a2 2 a2 ... n −1 a2 1 a3 2 a3 ... n −1 a3 ... ... ... 1 an 2 an ... n −1 ... an
[ 3]
5.2 在行列式计算中的应用 [ 4] ........................................................9 5.3 在向量空间理论应用............................................................ 14 5.4 在微积分中的应用................................................................18 参考文献：........................................................................................ 21
(1)
不难看出, f ( x ) 是一个 ( n −1) 次多项式,并且它有 n − 1个根: a1 , a2 ,…,
a n −1 ,因此 f (x) = k ( x − a1 )( x − a2 )...( x − an −1 ), 其中 k 为特定常数.由于 k 为 x n −1
的系数,而由(1)式可 t 知 x n −1 的系数为 Vn −1 ( a1 , a2 ,..., an −1 ) ,所以
m
1≤ p < q ≤ m
⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ i 1 ⋯ An +mi −1x1 n +( m −1) i −
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
= [∏ p !]m [∏∏ Biblioteka Baidu x p − xq )i ]m [∏
p =1 q = m +1
∏
( x p − xq ) m ] • [
∏
( xp − xq )] i V( x1 , x2 , ⋯, xn )
1 x1 ⋯ 1 x2 ⋯ ⋯ 1 ⋯ xn ⋯ ⋯ ⋯ xn n + mi −1
m
=
x1 n + mi −1
i p =1
x2 n + mi −1
m m p =1 q =1
0 A11 ⋯ 1 An +mi −1 x1 n + mi −1
m
⋯ 0 ⋯ A11 ⋯ ⋯ 1 ⋯ An +mi −1 x n n + mi −1
∏
( ai − aj ) 故 ∆ n +1 是一个关
1≤ j <i ≤n
∏
1≤ j <i ≤n
1≤i < j ≤ n
∏
(a j − ai )(n ≥ 2)
证法 2
[12]
将 Dn 看作系数与 a1 , a2 ,⋯a n −1 有关，未知量是 a n 的一元多项式。 则
当 an = ai ( i = 1, 2,⋯ n − 1) 时， Dn = 0 ，所以 a1 , a2 , ⋯ an −1 是 Dn 的根，所以
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作辅助行列式 1 1 a1 a2 ... 1 ... an − 1
2 ... an −1 ... n −1 ... an −1
1 x
f ( x ) = a12 ... a1n −1
2 a2 ... n −1 a2
x2 ... x n −1
D = (−1)
n (n +1) 2
3、范德蒙行列式的性质
性质 1 Vn ( a1 , a2 ,..., an −1 ) = 0 的充要条件是 a1 , a2 ,..., a n 中至少有两个相等. 性质 2 推论 1 [18] 任意实数 t ，都有 Vn ( a1 + t , a 2 + t ,..., a n + t ) = Vn (a1 , a 2 , a 3 ,..., a n )
将第 n + 1 行依次与上行交换到第 1行，第 n 行依次交换到第 2 行，
⋯⋯, 第 2 行与第 1行交换，得到 1 2n − 1 ⋯ (2n − 1)n −1 (2n − 1)n 1 2n − 2 ⋯ (2n − 2)n −1 (2n − 2)n ⋯ 1 ⋯ n ⋯ ⋯ ⋯ n n −1 ⋯ nn 1 2n ⋯ = ( −1) n 1!2!⋯ n! (2n )n −1 (2n )n
n
D=∏
i =1
xi ( xi − x j ) xi − 11 ≤∏ j <i ≤n
例2
计算 n + 1 阶行列式 (2n − 1)n (2n − 1)n −1 D= ⋯ 2n − 1 1 解 (2n − 2)n (2n − 2)n −1 ⋯ 2n − 2 1 ⋯ nn ⋯ n n −1 ⋯ ⋯ ⋯ n ⋯ 1 (2n )n (2n )n −1 ⋯ 2n 1
4、范德蒙行列式的推广 [ 2]
定理 2 从第 n 列起缺一列时的公式如下： 1 a1 1 a2
2 a1 2 a2
n −2 ... a1 n −2 ... a2
n a1 n a2 n 3
n
2 n −2 Dn ( n −1,1) = 1 a3 a3 ... a3 ... ... ... ... ... 2 n −2 1 an an ... an