几种特殊的极限求解方法
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必 不 可少 的有 力 工 具 ． 由此 可 见 ， 限 的 求 解 具 有 十 分 重 要 极 的 意义 ． 文介 绍 一 些 电 大教 材 中不 常 见 的极 限求 解 方 法． 本
三 、 用 导 数 定 义 求 极 限 利
在 某 种 情 况 下 ， 用 导 数 定 义 求 极 限 ， 为 求 某 些 极 限 利 可 提 供 一 种 实 用 而 有 效 的方 法．
利 用等 价代 换求 极 限是 一种 十 分简 便 而有 效 的方 法 ， 在某 些极 限题 的解 题 过程 中 ， 它常 常能 起到 化 繁为 简 的效果 ．
例 ６ 求 ｌ ｉ ．
ｂｌｂ—ｂ ’＝ｂ （ｎ ｂｎ ｂ １ｂ一１ ， ）
其 中 ，
（ ｂ． ，）
例 ２ 求 ｌ ［ｎ ａｃ ｎ ＋１ ｉ ｍ Ｉ ｒｔ （ ａ ）一Ｉ ａ ｔ ｘ ． ｎ ｒａ ］ ｃ ｎ
０
一
一
旦
解 由题 意 ， 可对 ｂ 和 分别 应用 拉格 朗 日中值定 理 ，
＿ ． ．
ｇ（ ０）
ｂ’
原 ｌ（ Ｄ 一） 、 Ｄ 一 — ｉ 一 ， ｍ
：ｌ ６ ｌ 一 ） ｉ ｎ ： ｍ（ ・ ６
：
四 、 用 等 价 代 换 求 极 限 利
２
—
—
例 ４
引 ｉ ｍ
＿． ｕ Ｓｌｎ
．
解 当
０ 时 ， 有 ＋ａｃｉｘ～ ｘ ｔｎ ， ｒｓ ｎ ２ ， ｘ～ ａ
ｌ （ ａｃｉ ） ＝ ｌ （ ｘ ＝ ｌ ＝ 。・ ＝１ ｉ ＋ ｒｓ ｘ ｍ ｎ ｉ ２） ｍ ｉ ２ ｍ ・ ２ １
解
利 用 幂 级 数 的 展 开 式 ， 得 可
其 中 ０ ０ １． Ｅ（ ， ）
二 、 用 级 数 展 开 式 求 极 限 利
｛，
． ． ．
１ ｉ
！一 型 ！ ｉ ： ：ｌ ｍ １
．
例７ 求ｌ ｉ
ｕ
二
— ｌ 十 ￣０８ Ｘ
生
．
利 用 级 数 展 开 式 求 某 些 极 限 是 一 种 巧 妙 而 有 效 的 方
●
解 题 技 巧 与 方 法
ｎ 醣 ●
・ ・
●
聊榜 晌椴
◎薛 秋 （ 锡 市广 播 电视 大 学 无 ２４２） １ ０ １
【 摘要 】 极限是高等数 学中最基本、 重要 的内容 之一 ， 最
极 限理 论 的确 定 使 微 积 分有 了坚 实 的逻 辑 基 础． 此微 积 分 因 中的 许 多概 念 都 是 由极 限 引入 的 ， 并使 微 积 分 在 当今 的 社 会 发 展 中， 为研 究 自然 科 学 、 文 科 学 和 一 切 工 程 技 术 学 科 成 人
解 当 — ０时 ， ｓ ｘ～ ｔ ｘ～ Ｉ （ ）～ ， — ｝ 有 ｉ ， ｎ ， １＋ ｎ ａ ｎ １
１ ２
—
法 ， 可 以求 出某 些 较 难 的 极 限 题 ． 它
例３
，
１ ｌ —— 二 —— —！ — 一 ＝ ｊ ： 二 ： ｉ — —＝ — — — — — ｍ— ｍ —－ ＝ — ： ± — — 兰２：１ ｌ １一 ｎ
一
薯暑 。 ［手等。 ］ ＋＋ ＋＋ ｃ 一 一 ｃ
备＋ 一 １ 。） （：
２ ｚ， ｑ － 积 分． 京 ： 等 教 育 出版 社 ， １李 黎 微 北 高
一
２０ （ ． ０ ５ ７）
＝ ｌｍ 一 ｉ
ｘ ０ ｆ．
解 由题 意 ， Ｉ ｒｔ ｘ 区 间 ［ ｚ ］ 应 用 拉 格 对 ｎａｃ ｎ 在 ａ ， ＋１ 上 朗 日中值 定 理 ， 得 可
‘ ２ ＇
，
解 当 一０ 时， ｌ（ ＋￣ ｓ ｘ 有 ｎ １ ／ ｉ ）～ ｘｎ ——
ｔ ｎｘ ～ ， ａ
～ ＝ ／
原 式＝
ｌｒ ｉ ａ
—
利 用 拉 格 朗 日中值 定 理 可 为 求 某 些 较 难 的极 限 提 供 一 种 简 便 而 有 效 的方 法 ．
例 １ 求ｌ ｉ ｍ ， 中 ｂ＞ ． 其 ０
， ）一 （ ） （ － ０ 厂
￣ ２ ａ－ ｘ＋２ ａ
＝
ｌｒ ｉ ａ
～
一
。
＋６ — 曼 ２二量 ２ 一６ ｏ ！ ！
［ ］ 济 大 学 等．高 等 数 学． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ， ２ 同 北 高
２０ （ ． ０ ８ ４）
（ 当 因
数 学 学 习与 研 究
０时 ，ｉ ～ ．） ｓｎ
２ １ ． ００ ９
例 ５ 求ｌ ｉ ｍ
一。
， 中 ８＞ ， ０ 其 ０ ｂ＞ ．
＋ｂ 一ｂ
【 关键词 】 高等数学； 限； 极 求解方法
二－ ＿
、
解 由题 意 ， 设 ， ）＝ 可 （ 根 据 导 数 的 定 义 ， 得 可
，（ ＝ ｇ ）
利 用 拉 格 朗 日 中值 定 理 求 极 限
解 利 用 幂 级 数 的 展 开 式 ， 得 可
一。 一 １＋ Ｃ Ｓ ＯＸ 一０ ３ １ ２
一 丁
：
ｌｍ ｉ
ｏ
—
二
ｌ
： 一２
．
＝
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ｘ
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例 ８
求 ｌ （ ＋ａｃｉｘ） ． ｉ ｍ ｒｓｎ
三 、 用 导 数 定 义 求 极 限 利
在 某 种 情 况 下 ， 用 导 数 定 义 求 极 限 ， 为 求 某 些 极 限 利 可 提 供 一 种 实 用 而 有 效 的方 法．
利 用等 价代 换求 极 限是 一种 十 分简 便 而有 效 的方 法 ， 在某 些极 限题 的解 题 过程 中 ， 它常 常能 起到 化 繁为 简 的效果 ．
例 ６ 求 ｌ ｉ ．
ｂｌｂ—ｂ ’＝ｂ （ｎ ｂｎ ｂ １ｂ一１ ， ）
其 中 ，
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例 ２ 求 ｌ ［ｎ ａｃ ｎ ＋１ ｉ ｍ Ｉ ｒｔ （ ａ ）一Ｉ ａ ｔ ｘ ． ｎ ｒａ ］ ｃ ｎ
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解 由题 意 ， 可对 ｂ 和 分别 应用 拉格 朗 日中值定 理 ，
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四 、 用 等 价 代 换 求 极 限 利
２
—
—
例 ４
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＿． ｕ Ｓｌｎ
．
解 当
０ 时 ， 有 ＋ａｃｉｘ～ ｘ ｔｎ ， ｒｓ ｎ ２ ， ｘ～ ａ
ｌ （ ａｃｉ ） ＝ ｌ （ ｘ ＝ ｌ ＝ 。・ ＝１ ｉ ＋ ｒｓ ｘ ｍ ｎ ｉ ２） ｍ ｉ ２ ｍ ・ ２ １
解
利 用 幂 级 数 的 展 开 式 ， 得 可
其 中 ０ ０ １． Ｅ（ ， ）
二 、 用 级 数 展 开 式 求 极 限 利
｛，
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１ ｉ
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利 用 级 数 展 开 式 求 某 些 极 限 是 一 种 巧 妙 而 有 效 的 方
●
解 题 技 巧 与 方 法
ｎ 醣 ●
・ ・
●
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◎薛 秋 （ 锡 市广 播 电视 大 学 无 ２４２） １ ０ １
【 摘要 】 极限是高等数 学中最基本、 重要 的内容 之一 ， 最
极 限理 论 的确 定 使 微 积 分有 了坚 实 的逻 辑 基 础． 此微 积 分 因 中的 许 多概 念 都 是 由极 限 引入 的 ， 并使 微 积 分 在 当今 的 社 会 发 展 中， 为研 究 自然 科 学 、 文 科 学 和 一 切 工 程 技 术 学 科 成 人
解 当 — ０时 ， ｓ ｘ～ ｔ ｘ～ Ｉ （ ）～ ， — ｝ 有 ｉ ， ｎ ， １＋ ｎ ａ ｎ １
１ ２
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法 ， 可 以求 出某 些 较 难 的 极 限 题 ． 它
例３
，
１ ｌ —— 二 —— —！ — 一 ＝ ｊ ： 二 ： ｉ — —＝ — — — — — ｍ— ｍ —－ ＝ — ： ± — — 兰２：１ ｌ １一 ｎ
一
薯暑 。 ［手等。 ］ ＋＋ ＋＋ ｃ 一 一 ｃ
备＋ 一 １ 。） （：
２ ｚ， ｑ － 积 分． 京 ： 等 教 育 出版 社 ， １李 黎 微 北 高
一
２０ （ ． ０ ５ ７）
＝ ｌｍ 一 ｉ
ｘ ０ ｆ．
解 由题 意 ， Ｉ ｒｔ ｘ 区 间 ［ ｚ ］ 应 用 拉 格 对 ｎａｃ ｎ 在 ａ ， ＋１ 上 朗 日中值 定 理 ， 得 可
‘ ２ ＇
，
解 当 一０ 时， ｌ（ ＋￣ ｓ ｘ 有 ｎ １ ／ ｉ ）～ ｘｎ ——
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原 式＝
ｌｒ ｉ ａ
—
利 用 拉 格 朗 日中值 定 理 可 为 求 某 些 较 难 的极 限 提 供 一 种 简 便 而 有 效 的方 法 ．
例 １ 求ｌ ｉ ｍ ， 中 ｂ＞ ． 其 ０
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￣ ２ ａ－ ｘ＋２ ａ
＝
ｌｒ ｉ ａ
～
一
。
＋６ — 曼 ２二量 ２ 一６ ｏ ！ ！
［ ］ 济 大 学 等．高 等 数 学． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ， ２ 同 北 高
２０ （ ． ０ ８ ４）
（ 当 因
数 学 学 习与 研 究
０时 ，ｉ ～ ．） ｓｎ
２ １ ． ００ ９
例 ５ 求ｌ ｉ ｍ
一。
， 中 ８＞ ， ０ 其 ０ ｂ＞ ．
＋ｂ 一ｂ
【 关键词 】 高等数学； 限； 极 求解方法
二－ ＿
、
解 由题 意 ， 设 ， ）＝ 可 （ 根 据 导 数 的 定 义 ， 得 可
，（ ＝ ｇ ）
利 用 拉 格 朗 日 中值 定 理 求 极 限
解 利 用 幂 级 数 的 展 开 式 ， 得 可
一。 一 １＋ Ｃ Ｓ ＯＸ 一０ ３ １ ２
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例 ８
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