结构力学(一)第三版龙驭球第第四章 影响线

K D B
2）在结点荷载作用下，当移动荷载FP=1作用在 C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图b)： x FP=1 x d x b) d d K C D d
MK
d x x yC yD d d y D yC yC x d
x 可见， K 是 的一次函数，也是x的一次函数。 M 所以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。 结点荷载作用下 MK影响线如下图c)所示：
d
MD影响线
1/6 2/3
5d/6 1/3
5/6
FQD影响线
§4－4 静力法作桁架的影响线
桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。 因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。
A
B
C
D
E
F
G
l=6d
任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 反力影响线与简支梁相同。
h
一、桁架的反力影响线
1
P=1 -x 二、伸出梁的影响线 E A （1）支座反力影响线 RA 当荷载P=1在跨内移动时， l1
x
P=1 C
x
P=1 F B RB l2
a
l
b
反力RA、RB影响线与 l+l1/l 简支梁情况完全相同。 当P=1移至右伸臂时， lx M B 0 RA l
MA 0 x RB l
0 3d ME N de RA h h
＋
3）当P=1在被截的节间DE内移动时， 3d/h 3d/h Nde影响线在此段应为一直线。 3d/(2h)
Nde影响线
h
（2）下弦杆轴力NDE的影响线
a c d I e f g b
1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
§4－5 机动法绘作静定梁的影响线 一、刚体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理：刚体体系在力系作用下处于平 衡的充分必要条件是所有作用于刚体体系上的外力在刚 体体系的任意虚位移上做的虚功总和等于零。
W外 0 ＝
虚功方程
二、机动法绘制静定梁影响线
x
P=1 B l d 1 B RB
（1）反力影响线
A
RA影响线
绘制简支梁支座反力影响线规律： 简支梁某支座反力影响线为一段直线； 画哪个支座的就在该支座处向上取纵标 1，在另一支座处取零。
P=1
A
P=1
l
D
B
R
B
y=RB
＋
1
yD
x
RB影响线
（2）弯矩影响线
RA
l x
l
RB
x
A
P=1
C
x l
a l
b
B
当P=1在C左移动时，
M C RB b x b l
证明：根据W外=0
A a
QC y1 QC y2 1 d 0
d y左 y右 QC
当 y1 y2 1时 ＝
QC y1 y2 1 d 0
1
＋ B
d QC
y1、y2的求法：
y1
QC
QC影响线
y1 y 2 y1 y 2 1 a b ab l a b y1 y2 l l
1
RA影响线
l2/l
当P=1在左伸臂移动时， lx Rl M B 0 RAA 1 x l 0 l x M A 0 RBR 1 x 0 lB l
（2）剪力影响线与弯矩影响线 截面在跨内，弯矩影 响线和剪力影响线同简 支梁，然后向两侧延长。
第四章 影响线
§4.1 荷载的分类和影响线的概念 一、荷载的分类 按荷载的作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。 固定荷载：荷载的大小方向和作用位置不变的荷载。 移动荷载：荷载的大小方向不变，但作用位置可在结构上移动
的荷载。
二、影响线的概念
P=1
A
研究B支座反力RB的变化规律
D B
x y=RB
结构力学多媒体课件
城市与环境学院 李荷香
第四章 影响线
Influence line
基本要求：理解影响线的概念；掌握静力法作静定梁、桁架的内力影响线；
掌握利用影响线求移动荷载下的最大内力；了解机动法作影响线；
教学内容：﹡影响线的概念
﹡静力法作静定单跨梁影响线
﹡结点荷载作用下的影响线
﹡静力法作桁架的影响线 ﹡影响线的应用
y0 N cC RA Q
0 CD
x 1 3）当P=1在被截的节间CD内移动时， 1/6 NcC＋ 影响线在此段应为一直线。
－
1
2/3
NcC影响线
h
（5）竖杆轴力NeE的影响线
1）当P=1沿下弦 移动，
N eE 0
A
RA
a
c
d P=1 e P=1 f P=1 g
b
C
D
E
2）当P=1在结点e 时， NeE = 1
mA 0
RB l Px 0 RB Px x l l
l
RB 1
yD
＋
RB影响线
x
影响线：在单位移动荷载（P=1）作用下，某量值变化规律 的函数图象，称为该量值的影响线。Z＝Z（x） •在Z的影响线中，横标表示的是P=1的作用位置； • 竖标表示的是量值Z的值。
§4－2 静力法绘制静定单跨梁的影响线
M C a M C b 1 d 0
a A y MC
b B
MC影响线
y 影响线顶点坐标y的求法： a a
y b 微小转角 b y y ab ab y 1 a b ab ab ab y ab l
（3）剪力影响线
x P=1 C l y2 QC A d B b
证明：根据W外=0
FB 1 1 d 0
A
＋
d FB
RB影响线
此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力 值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）
（2）弯矩影响线
x P=1 C l 1d ＋ B b
证明：根据W外=0
A a
d a b M C
当a b 1时 d MC
变
截面位置
（3）剪力影响线
x源自文库
A
当P=1在C截面以左作用时，
B
P=1
C
QC RB
a l b/l
x (0 x a ) l
b
RA
RB
当P=1在C截面以右移动时，
QC RA lx (a x l ) l
1
(1)
＋
a/l QC影响线
绘制简支梁任意截面剪力影响线 的规律： 先在支座A处取纵标1，以直线与 右支座B零点相连得右直线，再于 右支座B处，取纵标与左支座A零 点相连得左直线，然后由截面C引 下竖线与左、右直线相交。基线上 面纵标取正号，下面取负号。
0 Md 2d RA h h
3）当P=1在被截的节间DE内移动时， ＋ NDE影响线在此段应为一直线。
NDE影响线
4d/3h
h
（3）斜杆dE轴力的竖向分力YdE的影响线 1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
y0
0 YdE RB QDE
a
c
RA
RB
0 x a
a
b
ab/l
＋
当P=1在C右移动时，
M C RAa (l x ) a l
a x l
MC影响线
绘制简支梁任意截面弯矩影响线规律：先在左支座A处取纵标 a与右支座零点用直线相连得右直线，然后在B支座处取纵标b 与左支座A 相连得左直线或从截面C引下竖线与右直线相交， 再与A点相连得左直线。
Md 0 RB 4d N DE h 0 N DE
0 4d MD RB h h
P=1 C D I
RA
l=6d
E
NDEE
F P=1 F
G
RB
A
C
D
G
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
Md 0 RA 2d N DE h 0 N DE
ME 0 RB 3d N de h 0
0 3d ME N de RB h h
P=1
C D
I
E
F
G
RB
RA
l=6d
E P=1 F G
A
C
D
B
x
2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。
ME 0 RA 3d N de h 0
例4-2-1
作图示梁在结点荷载作用下的影响线。 FP=1 x d/2 d/2 2d/3 C d d/2 3d/4 F D d d/2 1/3 1/2
MC影响线 FQC影响线
A d 解：
E d
d
1/2 1/3
d/2 1/3
x A d
FP=1 d/2
d/2 F D
2d/3 E d
C d
d d/3
5d/12
d
I
NdE
e
f
g
b
P=1
C D
I
E
F
G
RB
RA
l=6d
E P=1 F G
A
C
D
B
2）当P=1在结点 E以右移动时，取 截面I-I以左部分 为隔离体。
y0
0 YbC RA QDE
x 1 3）当P=1在被截的节间DE内移动时， 2/3 Nde影响线在此段应为一直线。 ＋
－
1/3
YdE影响线
静力法：该法的原理是用建立平衡方程的方法求出某量值与 单位荷载移动位置的关系方程（影响线方程），再根据此方 程绘制出影响线的方法。
一、简支梁的影响线 （1）支座反力影响线
P=1
A
MB 0
B
x RA 1
＋
RA l Pl x 0
l
Pl x l x RA l l
x
P=1
D
a l
C
D
b a
l
P=1kN C
b
ab/l
yD
＋
MC.I.L
yD ab/l M图
(kN.m) (m) 弯矩影响线与弯矩图的比较
荷载位置 截面位置
横坐标
单位移动 荷载位置
竖坐标yD
单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩 C点的固定荷载作用下, 产生的D截面的弯矩
影响线
变
不变
弯矩图
不变
yc
yd
K D B
A
C
c) MK影响线（结点荷载）
在结点荷载作用下， FQK影响线如下图所示： A C K D
FQK影响线
B
作结点荷载下影响线的步骤为： 1）作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影 响线，并确定与各结点对应的竖标。 2）确定与各结点对应的竖标，在两结点之间连
以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。
a c d e f g b
A
P=1 C D E F P=1 F G
B
l=6d
A C D E G
B
x
RA RB
单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同， 故二者的支座反力影响线也完全一样。
二、桁架杆件内力影响线 （1）上弦杆轴力Nde的影响线
a c d
I
e
Nde
f
g
b
1）当P=1在结点D 以左移动时，取 截面I-I以右部分 A 为隔离体。
x E A RA l1
1
P=1 C a l b B RB l2
F
l1/l
b/l
a/l
1 b
l2/l
a
QC影响线
ab/l
bl1/l
MC影响线
al2/l
（2）剪力影响线与弯矩影响线 截面在跨外：
E x A RA B RB l
1
P=1 D F d
Q 当P=1位于D截面左侧时， D=0 Q 当P=1位于D截面右侧时，D =1
3)当P=1在其它结 点时， NeE = 0
l=6d
F P=1
G
RB
下承 NeE影响线
－
1
NeE影响线 上承
任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。 单跨梁式平行弦桁架 ①弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结 点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下 弦杆为拉。 ②斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作 出）是±梁的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影 响线时要注意区分是上承，还是下承。 ③静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的 影响线来绘制。
A
C
K
D
B
由下面的证明可以得出结论： 在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响 线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加 以证明。
证明： 1）在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画 出。当FP=1在截面C或D时，可得（见图a) ） M K yc 或 M K yd 。 yc yd a) A M 影响线（直接荷载） C K
M 当P=1位于D截面左侧时， D=0
当P=1位于D截面右侧时，
QD影响线 MD影响线
M D d l x P l x d x l d MD 0 xl
l d x l
M D d
d
§4-3 结点荷载作用下的影响线
如图简支梁AB，荷载FP=1在上部纵梁上移动， 纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB 某截面内力Z的影响线。 FP=1 x
1
h
（4）竖杆轴力NcC的影响线 1）当P=1在结点C 以左移动时，取 截面II-II以右部分 A 为隔离体。
y0
0 N cC RB QCD
a
II
c
NcC
d
e
f
g
b
P=1
C II D E F G
RB
RA
l=6d
D E P=1 F G
A
C
B
2）当P=1在结点 D以右移动时， 取截面II-II以左 部分为隔离体。