第7章电力系统小干扰稳定分析.

d (X e ΔX) dF(X) F(X e ) |X X e ΔX R (ΔX ) dt dX

R(ΔX )为ΔX 的二阶及以上阶各项之和. 令

dF(X) |X X e A [aij ]nn dX
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理

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特征值
根在复平面上的 分 布
微分方程式的解
说明
正实根
解按指数规律不断增大， 系统将非周期性地失去稳 定
按指数规律不断减小，系 统是稳定的。
负实根
共轭虚根
周期性等幅振荡，稳定的 临界情况。
实部为正的 共轭复根
周期性振荡，其振荡幅值 按指数规律增大。系统发 生自发振荡，周期性地失 去稳定。 周期性振荡，其振荡幅值 按指数规律减小，系统是 稳定的。 6
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T
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dX AX , X dt 1 0 A N S Eq 0 TJ
T
S Eq
dPEq d
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

E q 0V0 X d
cos 0
代入
p det N S Eq TJ
电力系统小干扰法稳定分析

动力学系统运动的稳定性：由描述动力学系统的微分方程 组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。

李雅普诺夫运动稳定性理论：某一运动系统受到一个非常 微小并随即消失的力（小扰动）的作用，使某些相应的量 X1、X2……产生偏移，经过一段时间，这些偏移量都小于 某一预先指定的任意小的正数，则未受扰系统是稳定的， 否则不稳定。 如果未受扰系统是稳定的，并且： lim X i (t ) 0 t 则称为受扰系统是渐近稳定的。
矩阵A称为雅可比矩阵,其元素为: 计及
f i aij | X Xe x j


dX e dΔX 0 和 F(Xe) 0 ,展开式变为: A X R ( X ) dt dt dX 忽略高阶项: AX dt
这就是原非线性方程的线性近似(一次近似)方程,或呈线性化的小 扰动方程.

电力系统静态稳定属于渐近稳定。
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理

设有一个不显含时间变量t的非线性系统,其运动方程为: dX F(X) dt Xe是系统的一个平衡状态 ,如果系统受扰动偏离平衡状态,记X=Xe+ΔX 将其代入运动方程并展开成泰勒级数:
非线性系统的线性近似稳定性判断法
略去高阶项
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0
PEq ( ) PEq ( 0 ) S Eq
S Eq
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dPEq d
0
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe Pe S Eq
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d N f ( , ) dt d N [ PT 0 PEq ( )] f ( , ) dt TJ
dX AX , X dt 1 0 A N S Eq 0 TJ
d 0 1 dt d N S Eq 0 T J dt
d N f ( , ) dt d N [ PT 0 PEq ( )] f ( , ) dt TJ
dPEq d
2 1 d PEq 0 2! d 2
PEq ( ) PEq ( 0 ) PEq ( 0 )

稳定性判断
(1)若线性化方程A矩阵的所有特征值的实部均为负值,线 性化方程的解是稳定的,则非线性系统也是稳定的. (2)若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正值的特征值, 线性化方程的解是不稳定的,则非线性系统也是不稳定的. (3)若线性化方程A矩阵有零值或实部为零值的特征值,则 非线性系统稳定性需要计及非线性部分R(ΔX )才能判定.
代入
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe Pe S Eq
d d ( 0 ) d N dt dt dt N S Eq N d d ( N ) d Pe dt dt dt TJ TJ
1 N S Eq 2 p 0 p TJ
p1, 2
N S Eq
TJ
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对稳定性的简单分析
特征方程
线性化微分方程组 dX AX dt
det[A pI ] 0
a0 p n a1 p n1 an1 p an 0
x (t ) k e i i1 p1t k e i2 p2t k e in pn t
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理
实部为负的共 轭复根
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三、小干扰法分析电力系统暂态稳定性
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1.不计发电机组的阻尼作用
d N dt d N ( PT 0 Pe ) dt TJ
Pe PEq E q 0V0 X dΣ sin PEq ( )

李雅普诺夫稳定性判断原则为:若线性化方程中的雅可比矩阵
A没有零值或实部为零值的特征值,则非线性系统的稳定 性可以完全由线性化方程的稳定性来决定.
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理

小干扰法：用李雅普诺夫一次近似法分析电力系统静态稳 定性的方法，根据描述受扰系统的线性化微分方程组的特 征方程式的根的性质来判定为受扰运动是否稳定的方法。