第3章 机械可靠性设计原理与可靠度计算产品可靠性设计分析(4h)—2015

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强度与应力之差的概率密度函数积分法
设应力X和强度Y是相互独立的两个随机变量，令y=δ-S,则： Y的联合概率密度函数为：
f ( y) f ( S ) g ( )
强度δ大于应力S的概率（可靠度）R为：
R P ( S ) P ( y 0) f ( S ) g ( )dsd
S 352 100 252MPa
2 2 S S S 40.2 2 162 43.2671 MPa
l Y
因给定的R 0.999,由标准正态分布表差的 相应的z值为： - 3.1， 代入联结方程： 502 252 3.1 ，可以求得 68.056MP a 2 2 43.2671
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在可靠性理论中，产品是正常还是失效决定于强度和 应力的关系。 当强度大于应力时，其能够正常工作； 当强度小于应力时，其发生失效。 因此，要求在规定的条件下和规定的时间内能 够承载，必须满足以下条件
S或 S 0 强度
S 应力
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0
140 -80
0
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
当强度和应力的均值相等时，可靠度等于0.5
4
3
s 10
2
f (s)
f ( )
f (s)
0.02 0.01 0
s 20
f ( )
1
0 160 20 180 40 60 80 100 120 140 160
S 0
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下面要解决的三个问题
知道了零件的应力和强度的分布后，如何求零 件的可靠度？ 一般的安全系数与可靠度意义下的安全系数的 区别？
一般机械零件设计中，应力和强度的分布怎么 知道？
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问题一：知道了应力和强度的分布，求零件的可靠度
特殊情况（公式法）： 1） 应力和强度均为正态分布时的可靠性计算
f d
s0
因为上式 s 0 为应力区间内的任意值，现考虑整个应力区间内的情况， 有强度大于应力的概率（可靠度）为 R dR f s f d ds s 当已知应力和强度的概率密度函数时，根据以上表达式即可求得可 靠度。
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3.应力-强度干涉模型
从可靠性角度考虑，影响产品失效的因素可概 括为两类：应力和强度。 应力：引起产品失效的各种因素的统称。 除机械应力外，还包括载荷（力、力矩、 转矩等）、位移、应变、温度等。 强度：产品抵抗失效发生的各种因素的统称。 除通常的机械强度外，还包括承受各种形 式应力的能力。
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例题2:
拟设计某一汽车的一种 新零件，根据应力分析 ，得知该零件的工作应 力 为拉应力且为正态分布 ，其均值Sl 352MPa, 标准差为 Sl 40.2MPa. 为了提高其疲劳寿命， 制造时使产生残余应力 ，亦为正态分布，其均 值
SY 100MPa, 标准差 SY 16MPa.零件的强度分析认为其 强度亦为正态
0
18
0
20
40
60
80
100
120
140
当强度均值大于应力的均值时，方差越大，可靠度越小。
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例题1：
已知汽车的某零件的工 作应力和材料强度均为 正态分布，且应力 的均值 S 380MPa, 标准差为: S 42MPa, 材料强度的均值为 850MPa, 标准差为 81MPa 。试确定零件的可靠度 。另一批零件由\ 于热处理不佳及环境温 度的较大变化，使零件 强度的标准差增大 到120MPa ,问其可靠度又如何？
当应力S和强度δ均为正态分布时，则它们的差也是正 态分布，且有
y＝－S
2 2 y＝ S
y S
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1.4 1.2 1 0.8
y＝－S
2 2 y＝ S
y S
0.6 0.4 0.2 0 -10
F ( y)
) P f (fy ( y 0)
1 0 f ( s )( y y ) ]dy exp[ 2 2 y 2 y
2
f ( )
0
y0
y ＝－S y0
10
20
30
S
40

50
不可靠度：
F P ( y 0)
exp[ 2 y
1
0
( y y )2
2 2 y
]dy
机械可靠性设计原理与可靠度 计算
华北电力大学机械工程系
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概率设计的基本原理 常规设计方法与可靠性设计方法的比较 应力-强度干涉模型 可靠度的计算 解决的三个问题 根据零件的可靠度设计零件(计算零件主要尺寸
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1. 概率设计的基本原理
传统机械设计和强度校核是基于确定性分析，即： 设计中所采用的几何尺寸、载荷、材料性能等 数据，都是它们的平均值，没有考虑数据的分 散性。 实际上，这些参数都带有一定的随机性。 随机因素主要分为三类： （1）几何尺寸 几何尺寸的随机波动源于制造过程，不同制造工 艺所能达到的尺寸精度也不同。
Rt P S P( S 0)
失效概率为： 且有：
Pf t P S P( S 0)
Pf R 1
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对于机械产品而言，即使应力和强度在工作初期没有干涉，但在长期载荷 作用下，强度会逐渐衰减，可能发生干涉。因此，随工作时间的延长，机 械产品的可靠度一般逐渐降低直至产品失效。
分布，均值 502MPa, 但各种强度因素影响产 生的偏差尚不清楚，为 了 确保零件的可靠度不低 于0.999 ，问强度的标准差的最 大值是多少？
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解：已知拉应力与残余 应力分别服从正态分布 ： Sl ~ 352,40.2MPa SY ~ 100,16MPa 则有效应力的均值 S 和标准差 S 可分别求出：
S ln S
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实际工程中的应力和强 度都是呈分布状态的随 机变量，把应力和强度 的分布在同一坐标系中 表示. 当强度的均值大于应力 的均值时，在图中阴影 部分表示的应力和强度 “干涉区”内就可能发 生强度小于应力——即 失效的情况
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•根据应力和强度干涉情况，计算干涉区内强度小于应 力的概率（失效概率）的模型，称为应力——强度干 涉模型。 •在应力——强度干涉模型理论中，根据可靠度的定义， 强度大于应力的概率可表示为
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可靠性设计方法： 将载荷、材料性能与强度、零部件结构尺寸等 视为服从某种概率分布的随机变量； 利用概率与数理统计理论及强度理论，计算出 在给定设计条件下产品的失效概率和可靠度； 或给定可靠度要求直接确定零件的结构尺寸。 从对可靠性评价来看，常规设计只有安全系数 一个指标，可靠性设计有可靠度和安全系数两 个指标。
1 2
y z2 y exp[ 2 ]dz 1 ( y ) y

y z y
0
0
2
4
1 ( z )
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讨论
f (s)
0.02 0.015
4
f ( y) f ( s)
0.01 0.005
3
2
1
f ( )
0 20 40 60 80 100 120
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可靠度:
R P( y 0)
z
exp[ 2 y 0
1

( y y )2
2 2 y
]dy
化成标准正态分 布，令 则当y＝0时 令
y 1y
y z y
0.8 y
0.6
f ( z)
F ( z )
0.4 -6
联结方程
-4
-2
R
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和正态分布一样，化成标准 正态分布。令： 则
z
1 2

y y
y
R
z2 ]dz y exp[ 2 y
令 则有
y ln ln s zR 2 2 y ln ln s
1 R 2


zR
y z2 exp[ ]dz 1 ( ) 1 - (z R ) 2 y
dS dS P S 0 S S0 f S 0 dS 2 2
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dS dS S S0 假设 S 0 与 S0 为两个独立的随机事件，因此两独 2 2 立事件同时发生的概率为
dR f s0 ds
可靠度随工作时间降低
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5.可靠度的一般表达式
根据以上干涉模型计算在干涉区内强度大于应力的概 率—可靠度。当应力为S0时，强度大于应力的概率为
P S 0
S0
f d

应力概 率密度 函数
强度概 率密度 函数
应力 S 0 处于 dS 区间内的 概率为
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例题3 已知某机械零件的应力和强度都服从对数正态分布，应 力的均值和标准差分别为：60MPa和10MPa；强度的均 值和标准差分别为：100MPa和10MPa。试计算该零件的 可靠度。
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解：
2 10 2 ln S 1 0.0274 1 ln 60 1 2 1 ln S ln S ln S ln 60 0.0274 4.0806 2 2 2 2 10 2 ln ln 1 0.00995 1 ln 100 1 2 1 ln ln ln ln 100 0.00995 4.6002 2 2 ln S 联结方程：z R ln 2.6886 2 2 ln ln S 2
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2）当应力和强度均为对数正态分布时 设随机变量s和δ服从对数正态分布，即它们对数lns和lnδ服从 正态分布，它们的均值和标准差分别为：
s、 和 s、
分别是变量S和δ的均值和标准差， 分别是lns和lnδ的均值和标准差，即状 态分布下的均值和标准差
lns、ln 和 lns、 ln
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解：为计算可靠度可以 利用联结方程： z
S
来自百度文库2 2 S

850 380 81 42
2 2
5.1512
R 1 (5.1512 ) 0.9999999 当强度的标准差增大到 120MPa时： S 850 380 z 3.6968 2 2 2 2 S 120 42 R 0.99989
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（2）材料性能 材料经冶炼、轧制、锻造、机加工、热处理等工 艺过程，其机械性能指标必然有分散性，呈现 出随机变量的特性。
（3）载荷：力、力矩、温度，较宽的范围内波动。
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2.常规设计方法与可靠性设计方法的比较
常规设计方法： •引入安全系数考虑这些随机因素的影响； •是一种经验估计，没有对随机性加以量化；并且安 全系数的选取往往与设计者的经验和指导思想有很大 关系。 •安全系数法不能回答所设计的产品在多大程度上是 安全的，也不能预测产品在使用中发生失效的概率
则它们之间具有下列关系：
2 2 s ln s＝ln 2 1 s
2 2 ln ＝ln 2 1 1 2 ln ＝ln － ln 2
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1 2 ln s＝ln s－ ln s 2