201x版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数模型及其综合应用文新人教A版

的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)＝12x(x＋1)(39
－2x)(x∈N*，且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：
解析 设增长率为 x，则有4400%0 ×(1＋x)2＝1 690，解得 1＋x ＝1130，因此 2015 年预计经营总收入为4400%0 ×130＝1 300(万元).
答案 1 300
一次函数，二次函数模型求解方法
在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增 长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变 量的系数小于0).有些问题的两变量之间是二次函数关系， 如面积问题、利润问题、产量问题等.对这类问题，可以 构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.
分段函数模型应用求解方略
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出， 这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函 数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、 函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段 上的最值，然后比较得最大值、最小值.
【例 2】某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数
图象的变化 与 y 轴接近平行 与x轴接近 平行
同
►一个易错点：函数定义域. (1)[要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数 的定义域]若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则 燃 烧 剩下的 高 度 h(cm) 与 燃烧 时间 t( 小 时 ) 的 函数 关系式为 ________. 解析 由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4). 答案 h＝20－5t(0≤t≤4)
知识点二 函数模型的应用 1.函数的实际应用问题
解答函数应用题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：
【例 1】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品， 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可 以近似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量 最大为 210 吨.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，
并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少
[点评] 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以 求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分 析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称 轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称 轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称 轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.
吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)每吨平均成本为yx(万元).
则yx＝5x＋8 0x00－48≥2 5x·8 0x00－48＝32，
当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元. (2)设可获得总利润为 R(x)万元，
(2)[三种函数模型：体会指数爆炸与对数增长]设函数f(x)＝x2， g(x) ＝ 2x ， h(x) ＝ log2x ， 若 x0 ∈ (4 ， ＋ ∞ ) ， 则 f′(x0) ， g ′ (x0) ， h′(x0)的大小关系为________. 解析 三个函数中g(x)增长最快，h(x)增长最慢，由在某点处 导数的几何意义知g′(x0)＞f′(x0)＞h′(x0). 答案 g′(x0)＞f′(x0)＞h′(x0)
第八节 函数模型及其综合应用
知识点一 常见函数模型 1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
源自文库
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1， 指数函数模型
b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，
则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0，210]上是增函数， ∴x＝210 时，
R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元.
2.函数的综合应用问题 函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学 知识相结合，根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建 立不同变量之间的关系，利用函数的单调性、最值等性质， 结合函数思想及方法，达到解决其他问题的目的，这也正体 现了函数的工具性作用.
►一个重要函数模型：指数函数模型. (3)[在实际问题中，有关人口增长、银行利率，细胞分裂等 增长率问题常用指数函数模型y＝N(1＋p)x表示，其中N为基 础数，p为增长率，x为时间.]某电脑公司2014年的各项经营 收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收 入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1 690万元，且 计划从2014年到2016年，每年经营总收入的年增长率相同， 2015年预计经营总收入为________万元.
b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型的性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 单调 递增 函数 单调 递增 函数 单调 递增函数
上的单调性
增长速度 越来越 快 越来越 慢
相对平稳
随x值增大，图象 随x值增大，图象 随n值变化而不