机器人技术 第四章 动力学分析和力

虚功原理： W H F T H D T T D 微分运动： 结 论：
H
D JD
T J T H F
机器人静力平衡

对上式变换：
H
F (J ) T
T
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这就是关节空间与直角坐标空间之间力的相互变换！
机器人静力平衡
例题
如图所示，一个二自由度平面关节机械手，已知手 部端点力 F [ Fx , Fy ]T ，求相应的关节力矩。
i
dq j
i y
速度的平方：
T i2 y i2 z i2 Trace(ViVi ) x
多自由度机器人的动力学方程

某一连杆质量单元动能为：
T i dq p i dqr 1 (U ir dki dmi Trace ( U ) r )ri ip i 2 dt dt r 1 p 1
拉格朗日动力学方程分析

2的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 2 和 含有 2 1
含有 D122的项表示关节2速度引起的向心力对关节l的耦合力矩项； 含有 D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。
拉格朗日动力学方程分析

含有 12 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中： 含有 D112 的项表示哥氏力对关节1的耦合力短项；
积分后为
i i 1 T T pq r ki dki TraceUip( ri ri dmi )U ir q 2 p 1 r 1
上式积分项对于某一连杆而言是一个具有固定 值的矩阵！
多自由度机器人的动力学方程

机器人总动能为：
1 n i i T pq r K ki Trace(U ip J iU ir )q 2 i 1 p 1 r 1 i 1

用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤： (1) 选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 (2) 选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正 是角度变量时,则Fi为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
第四章 动力学分析和力
主要内容：

机器人静力平衡 拉格朗日动力学方程
机器人静力平衡



机器人与环境之间存在相互作用力和力矩； 机器人各关节的驱动力通过连杆传递到机器人 手； 在静止状态下，机器人各关节传递到机器人手 的力和力矩与外界作用在机器人手上的力和力 矩构成平衡关系。 因此，关节力和力矩与机器人手受到外界力和 力矩所作的功相等。
机器人静力平衡
H
D dx dy dz x y z
T
机器人手空间
H
F fx

fy
fz
mx
my
d5
T
mz

T
关节空间
D d1 d 2
d3 d 4
d5
T
T T1 T2 T3 T4 T5 T6
机器人静力平衡

根据虚功原理求关节力与机器人手受力之间的关系
0 1 1 0 转动： Qi 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 滑动：Q i 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
多自由度机器人的动力学方程

因此有：
q j q j 1 A2 Q j A j Ai U ij A 0Ti ( A1 A2 Ai )
机器人静力平衡

坐标系间力和力矩的变换
虚功原理：
微分运动： 力：
B
W F T D B F T B D
B
D B J D
Z f m a n
F BJ T B F
F ( J ) F
B T
X
1
Y
机器人静力平衡

当其中一个坐标系为参考坐标系时：
B
当已知机器人手在参考坐标系 中施加的力和力矩转换为相对 于手自身坐标系的力和力矩！
归结为两个问题


给出已知的轨迹点上的 、 、 ，即机器人关节 位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ 。这 可用于驱动器选型。 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运 动。也就是说，给出关节力矩向量τ, 求机器人所产 。这对模拟和优化机器人 生的运动 、 及 的运动是非常有用的。
可是，在考虑加、减速过程、摩擦 等情况下，前面所学知识并不能解 决关节力与关节运动之间的关系！ 汽车加速过程是怎样的？
机器人动力学分析的作用



用于机器人机械结构、驱动器、减速机构等的 选型和设计； 对于给定的机器人系统，用于校核机器人运动 目标是否能实现； 其它分析，如不同关节之间运动和力的相互影 响等。
自行练习！
多自由度机器人的动力学方程




求解思路是一样的，仍然按照前述步骤； 当自由度增多时，求动能K采用更通用的方法。 求动能的思路是：通过对每个连杆的每个微元 求动能，然后积分。 通过先求连杆某一点位置坐标的方法求解该点 速度。 连杆某点的位置坐标采用第二章的运动学方程。
多自由度机器人的动力学方程
d L L ( ) i dt x xi
d L L ( ) dt i i
滑动关 节
Fi
Ti
Fi
d L L i qi dt q
求力 求力矩 转 动 关 节
式中 qi (i 1,2,, n) 机器人关节变量。
公式的合理性解释！
拉格朗日方程
动力学分析方法
动力学分析方法有多种，如： 拉格朗日(Lagrange)方法， 牛顿-欧拉(Newton· Euler)方法， 高斯(Gauss)方法， 凯恩(Kane)方法等。
拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的 系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较 明确，对理解机器人动力学比较方便。
杆1质心k1速度平方为
杆2质心k2速度平方为
拉格朗日动力学方程分析

或 的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有 1 2
含有 D11和 D 22 的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的 惯性力矩项;
含有 D12 的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项： 含有 D 21的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
Pi R Ti ri
多自由度机器人的动力学方程

涉及运动学方程对时间t求导
i ( 0Ti ) dq j d 0 连杆某点速度：Vi ( Ti ri ) ( )ri dt q j dt j 1
其中： 0Ti A1 A2 Ai
Ai Qi Ai d i
Ai Qi Ai i
ji
U ijk U ij qk
多自由度机器人的动力学方程

某一连杆上任一点速度为：
所以： Vi (U ij dt ) ri j 1 微元动能：
1 1 2 i 2 y i 2 z i 2 ) dk i dmi Vi dmi ( x 2 2
i x T i x ViVi y i i z i z
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
1 1 1 E p kx 2 2 E k mv 2 mx 2 2 2 1 1 2 kx 2 L E k E p mx 2 2
2、牛顿法
F kx ma F ma kx
, ) i f ( j , j j
1 j n
拉格朗日方程

拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek 和 势能 E P 之差，即
L Ek E p
式中 Ek 为系统动能总和；
E P 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
拉格朗日方程：

第二章回顾：
连杆坐标变换
C n S An n 0 0 S n C n C n C n S n 0 S n S n C n S n C n 0 a n C n a n S n dn 1
机器人手位姿 RTH A1 A2 An 连杆I任一点在参考坐标系中的坐标：
含有 D212 的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
拉格朗日动力学方程分析
只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中： 含有 D1 的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩 项； 含有 D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。

从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机 器人其动力学方程已经很复杂了，很多因素都在影响 机器人的动力学特性。

等项可以省略；

当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时， 、 的项有可能给予省略。 那么含 1 2
绕固定轴转动的连杆动能

分解为刚体上以某点为参考点的平动动 能和绕该参考点的转动动能。
1 1 2 2 K mV I 2 2
V
G
例4：连杆不再简化成质点，而是有分布质量
F ma
L L d (mx mx kx ) m x x x dt
拉格朗日方程
kx F m x
K
m
x
自己看懂P109的例2！
如图所示，选取坐标系。连杆1和连杆2的关节变量分别为转角 1 和 2 ， 相应的关节1和关节2的力矩是 1和 2 。连杆1和连杆2的质量分别是 m1 和 m2 ，杆长分别为 l1 和 l 2 ，质心分别在 k 1 和 k 2 处，离关节中心的距离分 别为 p1 和 p2 。 因此，杆1质心 k 1 的位置坐标为：
fz a f B fy o f
fx n f
mz a ( f p ) m
my
B
B
B
B
mx
o ( f p) m n ( f p) m
机器人静力平衡
例题P128
为什么要使用动力学分析

位置运动学解决的主要问题； 微分运动学解决的主要问题； 静力学分析解决的主要问题；
n
若考虑电机转子及减速机构在内：
1 n i 2 K act I i ( act ) q 2 i 1
• 机器人总势能为：
P Pi mi g T ( 0 Ti ri )
i 1 i 1 n n


多自由度机器人的动力学方程

拉格朗日函数：
P119开始看书，直到P125！
拉格朗日动力学方程分析
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂，推导过程 也更麻烦。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通 常，有一些简化问题的方法：

当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以 省略；
2 2 1 当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 、 2 、 1 2