保险精算学生存年金精算现值
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n
D
t 1
n
x t
1 D D x t x n t Dx t 1 t 1
1 N x 1 N x n1 Dx x:n 表示某x岁人投保一定期n年,每年年首得到给付1单位元的 用a 期首生命年金的现值。我们有, x:n 1 1 Ex 2 Ex 3 Ex n 1 Ex 1 ax:n 1 a N x 1 N x n Dx N x 1 N x n N x N x n 1 Dx Dx Dx
Dxt
t 1
N x 1 Dx
x 表示x岁人投保终身生命年金保险而在每年年首得到支付1 (3)a
从概率的角度看:每年一次的生存年金是在被保险人整 值余寿期间定期确定的年金,生存年金的精算现值是依赖于 被保险人整值余寿的期望值。
Let x 的整值余寿为K , 期首付终身生存年金是在K 1年内定 K 1的期望,即 期确定年金a x E a K 1 a k 1 k qx a
t
6.2.2 年付一次生存年金的精算现值
生存年金是以生存为条件发生给付的年金。 年金保险中,在保险期内年金的发放以被保险人存活为 条件。 终身和定期寿险的缴费方式通常也采取生存年金的方式。
基本类型
终身年金 定期年金
延期年金
期首年金与期末年金
1、终身生存年金
年金的支付以被保险人生存为条件,没有期间限制,称为 终身生命年金。
n E l v lx n n x x
即:
v nlx n Dx n n v n px n Ex lx Dx
n
( 3) n E x l x 1 i l x n 现实意义的解释: ( 4) n E x : 在利率和生者利下n年的折现系数; 1/ n Ex : 在利率和生者利下n年的累积系数。 1/ n Ex 1/(v
k 0 k n k 0
期末付定期生存年金给付精算现值是随机变量Y 满足: aK Y an 0K n K n
n 1
ax E Y ak k qx an n px .
k 0
可以证明两种推理方法和结论是等价的,如何证?
3、延期定期生存年金
用 n m ax 表示某x岁人投保一延期n年进入年金给付,定期m年每年末 表示某x岁人投保一延期 给付1单位元的延期生命年金的现值; a nm x n年进入年金给付,定期m年每年年首给付1单位元的延期生命年金 的现值. 1 a n t Ex nm x Dx t 1
m
D
t 1
m
x n t
1 Dx n t Dx m n t Dx t 1 t 1
1 N x n1 N x m n1 Dx n t Ex a nm x
t 0 m 1
1 N xn N xmn Dx
6.2 生存年金精算现值
• • • • • • 纯粹的生存保险 年付一次生存年金的精算现值 生存年金与寿险的关系 年付m次生存年金的精算现值 变额生存年金 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险,纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时,如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
纯粹的生存保险是指被保险人在保险合同签订的时间期 满存活,将得到合同规定的保险金。
假设(x)投纯粹的生存保险,保期为n年,如果n年后 仍存活,将得到1单位元的保险金,求这一保险在投保时的 现值。
( 1) n E x 表示这一现值 (2)设x岁时,有lx 人购买了这种保险,于是在x n岁 时,将有lx n人存活 则有:
显然,
nm
x a
n 1 m
ax
从概率的角度看:
期首付延期n年,定期m年生存年金给付精算现值是随机变量设 为Y,即 0 K 1 a n Y a a n m n a
nm
0K n n K mn K mn
m n 1 k n
x E Y a
n n
px ) 1 i
n
n
lx lx n
,
它是利率累积因子 1 i 与生存累积因子lx / lx n的乘积。
eg 6.5
对n t , 证明并解释下面两个式子: 1 n t E x t
1 n Ex t Ex n t Ex t
Ex 2 n Ex
从概率的角度看:
Let x 的整值余寿为K , 期首付定期n年生存年金给付精算现值是 随机变量,设为Y,即 K 1 a Y n a 0K n K n
n 1 n 1
x:n E Y a k 1 k qx a n k qx a k 1 k qx 年内定期确定年金aK 的期望,即 ax E aK ak k qx
k 0
可以证明两种推理方法和结论是等价的,如何证?
2、定期生存年金
用ax:n 表示某x岁人投保一定期n年,每年末得到给付1单位元的 期末生命年金的现值。 ax:n 1 t Ex Dx t 1
(1)用ax 表示某人x岁开始投保,支付年金的时间是每年年末,金额 1单位元的生命年金现值。 (2)计算ax , D 1 ax t Ex x t Dx t 1 t 1 Dx 单位元的现值。 x, (2)计算a N x 1 Dx N x 1 N x x t Ex 1 ax 1 a Dx Dx Dx t 0
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1 N x 1 N x n1 Dx x:n 表示某x岁人投保一定期n年,每年年首得到给付1单位元的 用a 期首生命年金的现值。我们有, x:n 1 1 Ex 2 Ex 3 Ex n 1 Ex 1 ax:n 1 a N x 1 N x n Dx N x 1 N x n N x N x n 1 Dx Dx Dx
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x 表示x岁人投保终身生命年金保险而在每年年首得到支付1 (3)a
从概率的角度看:每年一次的生存年金是在被保险人整 值余寿期间定期确定的年金,生存年金的精算现值是依赖于 被保险人整值余寿的期望值。
Let x 的整值余寿为K , 期首付终身生存年金是在K 1年内定 K 1的期望,即 期确定年金a x E a K 1 a k 1 k qx a
t
6.2.2 年付一次生存年金的精算现值
生存年金是以生存为条件发生给付的年金。 年金保险中,在保险期内年金的发放以被保险人存活为 条件。 终身和定期寿险的缴费方式通常也采取生存年金的方式。
基本类型
终身年金 定期年金
延期年金
期首年金与期末年金
1、终身生存年金
年金的支付以被保险人生存为条件,没有期间限制,称为 终身生命年金。
n E l v lx n n x x
即:
v nlx n Dx n n v n px n Ex lx Dx
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( 3) n E x l x 1 i l x n 现实意义的解释: ( 4) n E x : 在利率和生者利下n年的折现系数; 1/ n Ex : 在利率和生者利下n年的累积系数。 1/ n Ex 1/(v
k 0 k n k 0
期末付定期生存年金给付精算现值是随机变量Y 满足: aK Y an 0K n K n
n 1
ax E Y ak k qx an n px .
k 0
可以证明两种推理方法和结论是等价的,如何证?
3、延期定期生存年金
用 n m ax 表示某x岁人投保一延期n年进入年金给付,定期m年每年末 表示某x岁人投保一延期 给付1单位元的延期生命年金的现值; a nm x n年进入年金给付,定期m年每年年首给付1单位元的延期生命年金 的现值. 1 a n t Ex nm x Dx t 1
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1 N x n1 N x m n1 Dx n t Ex a nm x
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6.2 生存年金精算现值
• • • • • • 纯粹的生存保险 年付一次生存年金的精算现值 生存年金与寿险的关系 年付m次生存年金的精算现值 变额生存年金 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险,纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时,如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
纯粹的生存保险是指被保险人在保险合同签订的时间期 满存活,将得到合同规定的保险金。
假设(x)投纯粹的生存保险,保期为n年,如果n年后 仍存活,将得到1单位元的保险金,求这一保险在投保时的 现值。
( 1) n E x 表示这一现值 (2)设x岁时,有lx 人购买了这种保险,于是在x n岁 时,将有lx n人存活 则有:
显然,
nm
x a
n 1 m
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从概率的角度看:
期首付延期n年,定期m年生存年金给付精算现值是随机变量设 为Y,即 0 K 1 a n Y a a n m n a
nm
0K n n K mn K mn
m n 1 k n
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n n
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n
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它是利率累积因子 1 i 与生存累积因子lx / lx n的乘积。
eg 6.5
对n t , 证明并解释下面两个式子: 1 n t E x t
1 n Ex t Ex n t Ex t
Ex 2 n Ex
从概率的角度看:
Let x 的整值余寿为K , 期首付定期n年生存年金给付精算现值是 随机变量,设为Y,即 K 1 a Y n a 0K n K n
n 1 n 1
x:n E Y a k 1 k qx a n k qx a k 1 k qx 年内定期确定年金aK 的期望,即 ax E aK ak k qx
k 0
可以证明两种推理方法和结论是等价的,如何证?
2、定期生存年金
用ax:n 表示某x岁人投保一定期n年,每年末得到给付1单位元的 期末生命年金的现值。 ax:n 1 t Ex Dx t 1
(1)用ax 表示某人x岁开始投保,支付年金的时间是每年年末,金额 1单位元的生命年金现值。 (2)计算ax , D 1 ax t Ex x t Dx t 1 t 1 Dx 单位元的现值。 x, (2)计算a N x 1 Dx N x 1 N x x t Ex 1 ax 1 a Dx Dx Dx t 0
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