第三章 状态空间模型

间接法
一、由微分方程建立状态空间方程 设n 阶系统的输入输出方程为:
y ( n ) ( t ) + a n −1 y ( n −1) ( t ) + a n − 2 y ( n − 2 ) ( t ) + L + a1 y (1) ( t ) + a 0 y ( t )
= bm f ( m ) (t ) + bm −1 f ( m −1) (t ) + L + b1 f (1) (t ) + b0 f (t )
由观察法可得系统的输出方程为：
由上述例题，可以归纳出直接编写法列写电系统状态空间方程的 步骤如下： 第一步，选取系统中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 第二步，对与状态变量相联系的每个电容和电感分别列出独立的KCL方 程和KVL方程。 第三步，利用适当的KCL、KVL方程和元件伏安关系，消去上一步方程 中可能出现的“非法”变量，然后整理得出标准形式的状态方程。 第四步，用观察法列出输出方程。
相应的传输算子为:
bm p m + bm −1 p m −1 + L + b1 p + b0 H ( p) = n p + an −1 p n −1 + an − 2 p n − 2 + L + a1 p + a0
引入辅助变量 q 将其改写为:
( p n + an −1 p n −1 + an − 2 p n − 2 + L + a1 p + a0 )q = f y = (bm p m + bm −1 p m −1 + L + b1 p + b0 ) q
第三章 状态空间模型
3.1 引言
系统控制理论的直接对象不是工程系统本身，而是工程系统的 数学模型。 在六十年代以前，研究自动控制系统的传统方法主要是使用传 递函数模型，研究对象主要是单输入单输出的定常系统。这种基 于传递函数模型的控制理论称为“古典控制理论”。 随着科技和生产的发展，以及电子计算机的出现，控制系统日 渐复杂，传统的研究方法已难以适应形势发展的需要。因此从五 十年代后期开始，贝尔曼等人提议使用状态变量法。这种基于状 态空间模型的控制理论称为“现代控制理论”。
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下面，我们总结一下系统状态、状态空间描述等的有关基本问题。 （1）状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。只 有动态系统才存在状态和状态变量；而对于瞬时系统，则无状态和状 态变量可言。 （2）根据状态，状态变量的定义及其状态模型，一般可选取独立记忆 元件（储能元件）中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。 （3）给定系统的状态矢量，对其作可逆线性变换后得到的矢量同样也 是满足状态和状态变量定义的。可见，给定系统的状态变量的选择并 不是唯一的。在实际应用中，通常选取那些概念明确、测量容易并能 使计算简化的物理量作为状态变量。 （4）根据状态空间方程，可以先由状态方程解出状态矢量，然后由输 出方程得到输出矢量。提供系统的内部信息，给出系统的输出响应。 这种利用状态空间描述方程分析系统的方法称为状态空间分析法。它 是现代系统分析的理论基础。
3.3.1 能控性及其判据
1、能控性定义 线性定常系统的状态方程为:
& x = Ax + Bu
给定系统一个初始状态 x(t0 ) ，如果在 t1 >t0 的有限时间区间 [t0 , t1 ] 内， 存在容许控制变量 u(t ) ，使 x(t1 ) = 0，则称系统状态 x(t0 ) 是能控的；如果系 统对于任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。 上述状态方程的解析解为： x(t ) = e At x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu(τ )dτ 0 说明： 说明： 1）初始状态 x(t0 )是状态空间的任意非零有限点，控制的目标是状态空间 的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其
直接法
我们以电系统为例，介绍状态空间方程的直接编写法。 例：取图中电压 u3 和电流 i2 作为输出，试建立该网络的状态方程和输 出方程。
解：步骤一 取电感电流和电容电压为网络状态变量。 步骤二 对接有电容的节点b列写KCL方程为:
& x1 = C x 2 + 1 x2 R3
(1)
对含有电感的回路 l1 列写KVL方程为: (2) & Lx1 + x2 = R2i2 该式中 i2 是非法变量，应予以消去。为此列出回路 l1 的 KVL方程为: us = R1i1 + R2i2 (3) i1 = i2 + x1 对节点a列写KCL方程为 (4) 由(1)(2)(3)(4)消去非法变量化简后可得系统的状态方程为：
x(0) = − ∫ e − Aτ Bu(τ )dτ
0
t1
f 5）当系统存在不依赖于u(t )的确定性干扰 f (t ) 时， (t )不会改变系统的能 控性。
& x = Ax + Bu + f (t )
2、能控性的判据 定理1 定理1 上述线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的 n × n 维 格拉姆矩阵满秩。 t1 T Wc [0, t1 ] = ∫ e − Aτ BBT e − A τ dτ
3.3
系统的能控能观性
能控性和能观性是现代控制理论中两个重要的基本概念。1960年 由卡尔曼首先提出。 对经典控制理论着眼于研究对系统输出的控制，它所讨论的SISO 系统，其系统的输出量即是被控量，又是观测量。又由于它的输入量 和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输 入对应唯一输出，输出量即被输入量控制，又可观测，故不存在能控 能观性问题。 现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO系统内部特性和动态 变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还 不能测量，所以存在系统内部状态的能控性和能观性问题。
给出了该式的信号流图表示如下：
若选 n维状态矢量为：
x1 q x pq x = 2 = M M n −1 xn p q
系统的状态空间方程为：
Bf & x x A x1 x 2+0 f y 0] { = [b0 b1 L4 bm 0 L 3 M { 14444 244444 y C Df xn { x & x1 0 1 0 L 0 x1 0 x 0 0 1 L 0 x & 2 = 2 + 0 f M M M M L M M M & xn −a0 − a1 − a2 L − an −1 xn 1 { 1444 24444 { { 4 3
由上讨论可知，依据系统微分方程建立状态空间方程的步骤是: 第一步，由系统微分方程确定系统的传输算子，并画出它的信号流图 表示; 第二步，选信号流图中积分器的输出信号作为系统的状态变量; 第三步，在各积分器的输人端写出状态方程; 第四步，在信号流图的输出端〔汇总)写出输出方程。
二、由传递函数建立状态空间方程 设系统的传递函数为：
t
在新的坐标系下是坐标原点。）
2）如果在有限时间区间 [t0 , t1 ]内，存在容许控制变量 u(t ) ，使系统状态空 间坐标原点推向预先制定的状态 x (t1 ) ，则称系统是状态能达的；由于连 续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价 的。 3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。 4）满足下式的初始状态必是能控状态。
3.2.2 动态系统的分离
动态系统的状态变量可以理解为系统的记忆元件。下面以一阶动态 系统为例，介绍如何对系统进行分离。
对于记忆部分，采用积分器模拟图中的记忆元件特性可得：
x (t ) =
∫
t −∞
m (τ ) d τ = x ( t 0 ) +
∫
t
t0
m (τ ) d τ
对于无记忆部分，将它视为瞬时子系统，且是线性时不变的，可 得：
−1 − 1 x 1 & x1 1 2 + 2 us x = 2 − x2 &2 3 0
0 u3 i = 1 − 2 2 1 0 x1 + 1 us 0 x2 4
m(t ) = ax(t ) + bf (t ) y (t ) = cx(t ) + df (t )
& x(t ) = ax(t ) + bf (t )
或
y (t ) = cx(t ) + df (t )
x(t0 )已知
3.2.3 状态变量的选取
1、对于由积分器、放大器和加法器组成的连续时间系统，选择积分器 的输出作为状态变量。 2、对于由单位延时器、放大器和加法器组成的离散时间系统，选择单 位延时期的输出作为系统的状态变量。 3、对于包含物理储能元件的连续时间系统，可以选择这些储能元件的 输出作为系统的状态变量。 4、如果系统是用差分方程或微分方程描述的，状态变量可以按照本章 后面所述的方法选择。
bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0 H (s) = n s + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a0
由于 H ( s ) 和传输算子 H ( p)在形式上的一致性，所以，前面对H ( p) 的讨论也同样适用于H ( s ) 。 但是应该指出，在本质上，传输算子 H ( p) 是系统的时域描述，而 系统函数 H ( s ) 是系统的S域描述，两者不能混为一谈。此外，微分方程 一般具有非零初始条件，相应初始状态不为零;而系统函数，按照定义 是零状态响应的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，故系统的 初始状态为零。
3.2 状态空间模型
控制理论工作一直主要集中在线性时不变系统，而状态空间理 论对于线性时不变系统，特别是对其响应速度、稳定性、敏感性等 最关键的性质，具有普遍、准确和简明的分析。这样的分析理解能 够有效地和普遍地用来指导复杂控制系统的设计，因而控制系统的 状态空间模型是现代控制理论和系统优化理论的重要基础。
3.2.3 状态空间方程的建立
建立状态空间方程是系统状态空间分析的一个重要环节。常用 的建立方法有直接法 间接法 直接法和间接法 直接法 间接法两类。直接法依据给定的系统结构直 接编写出系统的状态空间方程。这种方法直观、规律性强，特别适 用于电网络系统的分析与设计。间接法则从系统的输入输出描述 （系统输入输出方程、传递函数以及模拟框图、信号流图表示法等 ）出发来建立状态空间方程。这种方法常用于系统模拟和控制系统 的分析设计。
3.2.1系统状态变量描述的基本术语 3.2.1系统状态变量描述的基本术语
状态及状态变量 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量，只要知道 t=t0时这组变量的取值和t≥t0时的输入，那么就能完全确定系统在任 何时刻 t ≥ t0 的行为。这一组最少变量称为状态变量。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一 般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系式。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
3.2.4 状态空间模型的优势
和前面讲的系统的传递函数模型相比，状态空间模型的优势主要 有以下几点： 1．能够揭示系统的内部特征。 2．可以使我们用同一方法处理多输入和多输出系统。 3．这种方法可以扩展到非线性时变系统的研究。 4．由于状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，因而便于采用数 值解法，为使用计算机分析系统提供了有效的途径。
m (t ) = ax (t ) + bf (t ) y (t ) = cx (t ) + df (t ) 鉴于记忆元件的“拉”出过程，并没有改变系统内部各部分间的 连接 关系，因此可以用记忆元件和无记忆部分的输入输出关系来表征原系 统的特性，即：(t )已知 & x(t ) = m(t ) x 0